วิธีตั้งโปรแกรมการจำลอง Monte Carlo ของกล่องเส้นขนานของ Bertrand ได้อย่างไร

ปัญหาต่อไปนี้ได้รับการโพสต์ในหน้า Facebook ของ Mensa International:

$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$

โพสต์นั้นได้รับความคิดเห็นมากกว่า 1,000 ข้อ แต่ฉันจะไม่ลงรายละเอียดเกี่ยวกับการอภิปรายที่นั่นเพราะฉันรู้ว่านี่คือกล่องความขัดแย้งของเบอร์ทรานด์และคำตอบคือ . สิ่งที่ทำให้ฉันสนใจที่นี่คือหนึ่งจะตอบปัญหานี้โดยใช้วิธีการ Monte Carlo ได้อย่างไร อัลกอริทึมเป็นวิธีการแก้ปัญหานี้อย่างไร$\frac23$

นี่คือความพยายามของฉัน:

1. สร้างกระจายอย่างสม่ำเสมอตัวเลขสุ่มระหว่าง0และ1$N$$0$$1$
2. ให้เหตุการณ์ของกล่องมี 2 ลูกทองคำ (กล่อง 1) เลือกน้อยกว่าครึ่ง
3. $0.5$$S$
4. $$P(B2=G|B1=G)=\frac{S}{S+0.5(N-S)}$$

การใช้อัลกอริทึมด้านบนใน R:

N <- 10000
S <- sum(runif(N)<0.5)
S/(S+0.5*(N-S))

$0.67$

เช่น@Henryฉันไม่รู้สึกว่าทางออกของคุณคือ Monte Carlo แน่นอนว่าคุณสุ่มตัวอย่างจากการแจกจ่าย แต่มันไม่มีส่วนเกี่ยวข้องกับการเลียนแบบกระบวนการสร้างข้อมูล หากคุณต้องการใช้ Monte Carlo เพื่อโน้มน้าวใจผู้อื่นว่าวิธีแก้ปัญหาเชิงทฤษฎีนั้นถูกต้องคุณจะต้องใช้โซลูชันที่เลียนแบบกระบวนการสร้างข้อมูล ฉันคิดว่ามันจะเป็นสิ่งที่ด้านล่าง:

boxes <- list(
  c(0, 0),
  c(0, 1),
  c(1, 1)
)

count_successes = 0
count_valid_samples = 0

for (i in 1:5000) {
  sampled_box <- unlist(sample(boxes, 1)) # sample box
  sampled_balls <- sample(sampled_box)    # shuffle balls in the box

  if (sampled_balls[1] == 1) {            # if first ball is golden
    if (sampled_balls[2] == 1) {          # if second ball is golden
      count_successes = count_successes + 1
    }
    count_valid_samples = count_valid_samples + 1
  }
}
count_successes / count_valid_samples

หรือใช้รหัส "vectorized":

mean(replicate(5000, {       # repeat 5000 times, next calculate empirical probability
  x <- boxes[[sample(3, 1)]] # pick a box
  if (x[sample(2, 1)] == 1)  # pick a ball, check if it is golden
    return(sum(x) == 2)      # check if you have two golden balls in the box
  else
    return(NA)               # ignore if sampled ball is silver
  }), na.rm = TRUE)          # not count if silver

โปรดสังเกตว่าเนื่องจากสภาพของคุณที่ลูกบอลลูกแรกถูกดึงไปแล้วและมันเป็นสีทองดังนั้นโค้ดข้างต้นสามารถใช้สองกล่องboxes <- list(c(0, 1), c(1, 1))จากนั้นสุ่มตัวอย่างจากพวกเขาx <- boxes[[sample(2, 1)]]ดังนั้นรหัสจะเร็วขึ้นเนื่องจากจะไม่ทำให้ 1/3 วิ่งเปล่า ๆ ที่เราลดราคา อย่างไรก็ตามเนื่องจากปัญหานั้นง่ายและรหัสทำงานได้อย่างรวดเร็วเราจึงสามารถจำลองกระบวนการสร้างข้อมูลทั้งหมดได้อย่างชัดเจนเพื่อให้แน่ใจว่าผลลัพธ์นั้นถูกต้อง นอกจากนั้นขั้นตอนนี้ไม่จำเป็นเนื่องจากจะให้ผลลัพธ์ที่เหมือนกันในทั้งสองกรณี

ฉันรู้สึกว่าการS/(S+0.5*(N-S))คำนวณของคุณไม่ใช่การจำลอง

ลองอะไรเช่นนี้

N <- 10^6
ballsinboxes <- c("G","G", "G","S", "S","S")
selectedbox <- sample(c(1,2,3), N, replace=TRUE)
selectedball <- sample(c(1,2), N, replace=TRUE)
selectedcolour <- ballsinboxes[(selectedbox-1)*2 + selectedball ]
othercolour <- ballsinboxes[(selectedbox-1)*2 + 3 - selectedball ]
sum(selectedcolour == "G" & othercolour == "G") / sum(selectedcolour == "G")

ทำไมไม่เพียงแค่เขียนรายกรณี?

ที่นี่: G มีไว้สำหรับ "ทองคำ" S ใช้สำหรับ "เงิน" ทุนสำหรับการสกัดครั้งแรก:

gg

GG

Gs

... กรณีอื่น ๆ ทั้งหมดเรียกใช้การสกัดเงินเริ่มต้น (S) และไม่เป็นไปตามเงื่อนไข (การสกัดเริ่มต้น G)

เช่น P (g | G) = 2/3