ทำไมสถิติแบบ T ต้องการข้อมูลเพื่อติดตามการแจกแจงแบบปกติ

ฉันกำลังดูสมุดบันทึกนี้และฉันรู้สึกสับสนกับคำสั่งนี้:

เมื่อเราพูดถึงเรื่องปกติวิสัยสิ่งที่เราหมายถึงคือข้อมูลควรดูเหมือนการแจกแจงแบบปกติ สิ่งนี้มีความสำคัญเนื่องจากการทดสอบสถิติหลายอย่างขึ้นอยู่กับเรื่องนี้ (เช่นสถิติ t)

ฉันไม่เข้าใจว่าทำไมสถิติแบบ T ต้องการข้อมูลเพื่อติดตามการแจกแจงแบบปกติ

แท้จริงแล้ว Wikipedia พูดในสิ่งเดียวกัน:

การแจกแจงแบบ t (หรือการแจกแจงแบบที) เป็นสมาชิกของตระกูลการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบต่อเนื่องที่เกิดขึ้นเมื่อประมาณค่าเฉลี่ยของประชากรที่กระจายตัวแบบปกติ

อย่างไรก็ตามฉันไม่เข้าใจว่าทำไมจึงจำเป็นต้องใช้สมมติฐานนี้

ไม่มีสิ่งใดในสูตรที่บ่งบอกว่าข้อมูลต้องเป็นไปตามการแจกแจงแบบปกติ:

ฉันดูคำจำกัดความของมันเล็กน้อยแต่ฉันไม่เข้าใจว่าทำไมถึงมีความจำเป็น

ข้อมูลที่คุณต้องการคือในส่วน "ลักษณะ" ของหน้าวิกิพีเดีย -distribution กับองศาอิสระνอาจจะกำหนดเป็นการกระจายของตัวแปรสุ่มTดังกล่าวที่ T = $t$$\nu$$T$ ที่ Zคือการกระจายปกติตัวแปรสุ่มมาตรฐานและ Vเป็น χ 2ตัวแปรสุ่มที่มีองศาอิสระν นอกจากนี้ Zและ Vต้องเป็นอิสระ ดังนั้นใดก็ตาม Zและ V ที่เป็นไปตามนิยามข้างต้นแล้วคุณสามารถประสบความสำเร็จในตัวแปรสุ่มที่มีเสื้อ -distribution

$$T = \dfrac{Z}{\sqrt{V/\nu}} \,,$$ $Z$$V$$\chi^2$$\nu$$Z$$V$$Z$$V$$t$

ตอนนี้สมมติว่ามีการกระจายไปตามการกระจายF Let Fมีค่าเฉลี่ยμและแปรปรวนσ 2 ให้ˉ Xเป็นค่าเฉลี่ยตัวอย่างและS 2เป็นความแปรปรวนตัวอย่าง จากนั้นเราจะดูสูตร:$X_1, X_2, \dots, X_n$$F$$F$$\mu$$\sigma^2$$\bar{X}$$S^2$

$$\dfrac{\bar{X} - \mu}{S/\sqrt{n}} = \dfrac{\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}}{\sqrt{\frac{(n-1)S^2}{(n-1)\sigma^2}}} \,.$$

ถ้า, หมายถึงการแจกแจงแบบปกติ, ดังนั้นˉ X ∼ N ( μ , σ 2 / n ) , ดังนั้นˉ X - $F$$\bar{X} \sim N(\mu, \sigma^2/n)$) นอกจากนี้(n-1)S$\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0,1)$โดยCochran ทฤษฎีบท ในที่สุดโดยการประยุกต์ใช้ของทฤษฎีบทของซึ, ˉ XและS2มีความเป็นอิสระ นี่ก็หมายความว่าสถิติที่เกิดขึ้นมีการแจกแจงแบบt-กับn-1องศาอิสระ$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n-1}$$\bar{X}$$S^2$$t$$n-1$

ถ้าการกระจายข้อมูลเดิมไม่ได้ตามปกติแล้วการกระจายแน่นอนของเศษและส่วนจะไม่เป็นมาตรฐานปกติและไค2ตามลำดับและทำให้สถิติที่เกิดจะไม่ได้มีเสื้อ -distribution$F$$\chi^2$$t$

ฉันคิดว่าอาจมีความสับสนระหว่างสถิติและสูตรเทียบกับการกระจายและสูตร คุณสามารถใช้สูตร t-statistic กับชุดข้อมูลใด ๆ และรับ "t-statistic" แต่สถิตินี้จะไม่ถูกกระจายตามการกระจายของนักเรียน -t เว้นแต่ว่าข้อมูลมาจากการแจกแจงแบบปกติ (หรืออย่างน้อยจะไม่เป็น รับประกันได้ว่าฉันเดาว่าการแจกแจงแบบไม่ปกติจะไม่ทำให้เกิดการกระจายตัวของนักเรียนเมื่อสูตร t-statistic ถูกนำไปใช้ แต่ฉันไม่แน่ใจเลย) เหตุผลนี้ก็คือการกระจายตัวของสถิติที่คำนวณจากการกระจายของข้อมูลที่สร้างขึ้นดังนั้นหากคุณมีการกระจายพื้นฐานที่แตกต่างกันแล้วคุณจะไม่รับประกันว่าจะมีการกระจายตัวเดียวกันสำหรับสถิติที่ได้รับ