เป็นไปได้ว่าตัวแปรสุ่มสองตัวจากตระกูลการแจกจ่ายเดียวกันมีความคาดหวังและความแปรปรวนเหมือนกัน แต่ช่วงเวลาที่สูงกว่าต่างกันหรือไม่

ฉันกำลังคิดถึงความหมายของครอบครัวในระดับตำแหน่ง ความเข้าใจของฉันคือสำหรับสมาชิกทุกคนในตระกูลมาตราส่วนตำแหน่งที่ตั้งที่มีพารามิเตอร์ตำแหน่งและมาตราส่วนจากนั้นการกระจายของไม่ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ใด ๆ และมันก็เหมือนกันสำหรับทุกที่เป็นของตระกูลนั้น$X$$a$$b$$Z =(X-a)/b$$X$

ดังนั้นคำถามของฉันคือคุณสามารถให้ตัวอย่างที่สุ่มสองตัวจากตระกูลการแจกจ่ายเดียวกันเป็นมาตรฐาน แต่ไม่ส่งผลให้ตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงแบบเดียวกันได้หรือไม่

พูดว่าและมาจากตระกูลการแจกจ่ายเดียวกัน (โดยที่ครอบครัวฉันหมายถึงตัวอย่างเช่น Normal หรือ Gamma และอื่น ๆ .. ) กำหนด:$X$$Y$

$Z_1 = \dfrac{X-\mu}{\sigma}$

$Z_2 = \dfrac{Y-\mu}{\sigma}$

เรารู้ว่าทั้งสองและมีความคาดหวังเหมือนกันและแปรปรวน 1$Z_1$$Z_2$$\mu_Z =0, \sigma^2_Z =1$

แต่พวกเขาสามารถมีช่วงเวลาที่สูงขึ้นแตกต่างกันได้หรือไม่

ความพยายามของฉันที่จะตอบคำถามนี้คือถ้าการแจกแจงของและขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์มากกว่า 2 ตัว และฉันกำลังคิดถึง general ทั่วไปที่มี 3 พารามิเตอร์$X$$Y$$t-student$

แต่ถ้าจำนวนพารามิเตอร์คือและและมาจากตระกูลการกระจายเดียวกันที่มีความคาดหวังและความแปรปรวนเหมือนกันหมายความว่าและมีการแจกแจงแบบเดียวกัน (ช่วงเวลาที่สูงขึ้น) หรือไม่$\le2$$X$$Y$$Z_1$$Z_2$

เห็นได้ชัดว่ามีความสับสนเกี่ยวกับตระกูลของการแจกแจงและวิธีการนับพารามิเตอร์ฟรีกับพารามิเตอร์ฟรีและคงที่ (กำหนด) คำถามเหล่านั้นเป็นสิ่งที่ไม่เกี่ยวข้องกับเจตนาของ OP และจากคำตอบนี้ ฉันไม่ได้ใช้คำว่าครอบครัวในที่นี้เพราะมันทำให้เกิดความสับสน ตัวอย่างเช่นตระกูลตามแหล่งเดียวคือผลลัพธ์ของการเปลี่ยนแปลงพารามิเตอร์รูปร่าง @whuber ระบุว่า"การกำหนดพารามิเตอร์" ของตระกูลนั้นเป็นแผนที่ต่อเนื่องจากเซตย่อยของwithโดยมีโทโพโลยีทั่วไปอยู่ในพื้นที่ของการกระจายซึ่งมีภาพคือครอบครัวนั้น $^n$ ฉันจะใช้รูปแบบคำที่ครอบคลุมทั้งการใช้งานที่ตั้งใจของคำ x 2 -2x+4 a 2 x 2 + a 1 x+ a 0 a 1 =0 a 2 =0การระบุตระกูลและพารามิเตอร์และการนับ ตัวอย่างเช่นสูตรมีรูปแบบของสูตรกำลังสองเช่นและถ้าสูตรยังคงเป็นรูปสี่เหลี่ยมกำลังสอง อย่างไรก็ตามเมื่อสูตรเป็นเส้นตรงและแบบฟอร์มไม่สมบูรณ์เพียงพอที่จะมีคำที่มีรูปร่างเป็นกำลังสอง ผู้ที่ต้องการที่จะใช้คำว่าครอบครัวในบริบททางสถิติที่เหมาะสมมีกำลังใจที่จะนำไปสู่คำถามที่แยกต่างหากที่$x^2-2x+4$$a_2x^2+a_1x+a_0$$a_1=0$$a_2=0$

ให้เราตอบคำถามว่า "พวกเขามีช่วงเวลาที่แตกต่างกันหรือไม่" มีตัวอย่างมากมาย เราทราบว่าในการผ่านคำถามนี้ดูเหมือนจะเกี่ยวกับ PDF สมมาตรซึ่งเป็นคำถามที่มีแนวโน้มที่จะมีสถานที่ตั้งและขนาดในกรณีที่พารามิเตอร์ bi ง่าย ตรรกะ: สมมติว่ามีฟังก์ชั่นความหนาแน่นสองฟังก์ชั่นที่มีรูปร่างแตกต่างกันซึ่งมีพารามิเตอร์ที่เหมือนกันสองตำแหน่ง (ตำแหน่งระดับ) จากนั้นจะมีพารามิเตอร์รูปร่างที่ปรับรูปร่างหรือฟังก์ชั่นความหนาแน่นไม่มีพารามิเตอร์รูปร่างทั่วไปจึงเป็นฟังก์ชันความหนาแน่นของรูปแบบทั่วไป

นี่คือตัวอย่างของวิธีที่พารามิเตอร์รูปร่างมีรูปร่างเป็นอย่างไร ทั่วไปฟังก์ชั่นความหนาแน่นของข้อผิดพลาดและนี่คือคำตอบที่ดูเหมือนจะมีความโด่งเลือกได้อย่างอิสระ

โดย Skbkekas - งานของตัวเอง CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=6057753

ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น PDF (AKA "ความน่าจะเป็น" โปรดทราบว่าคำว่า "ความน่าจะเป็น" นั้นไม่จำเป็น) คือ

$$\dfrac{\beta}{2\alpha\Gamma\Big(\dfrac{1}{\beta}\Big)} \; e^{-\Big(\dfrac{|x-\mu|}{\alpha}\Big)^\beta}$$

ค่าเฉลี่ยและตำแหน่งคือมาตราส่วนคือและคือรูปร่าง โปรดทราบว่ามันง่ายกว่าที่จะนำเสนอ PDF แบบสมมาตรเนื่องจากไฟล์ PDF เหล่านั้นมักจะมีตำแหน่งและสเกลเป็นพารามิเตอร์สองกรณีที่ง่ายที่สุดในขณะที่ PDF แบบอสมมาตรเช่นแกมมา PDFมีแนวโน้มที่จะมีรูปร่างและขนาดเป็นพารามิเตอร์กรณีที่ง่ายที่สุด ต่อเนื่องกับฟังก์ชันความหนาแน่นของข้อผิดพลาดความแปรปรวนคือความเบ้เป็นและ kurtosis คือ$\mu$$\alpha$$\beta$อัลฟ่า2 Γ ( 3$\dfrac{\alpha^2\Gamma\Big(\dfrac{3}{\beta}\Big)}{\Gamma\Big(\dfrac{1}{\beta}\Big)}$$0$$\dfrac{\Gamma\Big(\dfrac{5}{\beta}\Big)\Gamma\Big(\dfrac{1}{\beta}\Big)}{\Gamma\Big(\dfrac{3}{\beta}\Big)^2}-3$. ดังนั้นหากเราตั้งค่าความแปรปรวนเป็น 1 เราจะกำหนดค่าของจากในขณะที่ที่แตกต่างกันเพื่อให้โด่งคือเลือกได้ในช่วงตั้งแต่ไป\$\alpha$$\alpha ^2=\dfrac{\Gamma \left(\dfrac{1}{\beta }\right)}{\Gamma \left(\dfrac{3}{\beta }\right)}$$\beta>0$$-0.601114$$\infty$

นั่นคือถ้าเราต้องการเปลี่ยนแปลงช่วงเวลาการสั่งซื้อที่สูงขึ้นและถ้าเราต้องการรักษาค่าเฉลี่ยของศูนย์และความแปรปรวนเท่ากับ 1 เราต้องเปลี่ยนรูปร่าง นี่หมายถึงสามพารามิเตอร์ซึ่งโดยทั่วไปคือ 1) ค่าเฉลี่ยหรือมิฉะนั้นการวัดที่ตั้งที่เหมาะสม 2) ขนาดเพื่อปรับความแปรปรวนหรือการวัดความแปรปรวนอื่น ๆ และ 3) รูปร่าง มันใช้เวลาอย่างน้อยสามพารามิเตอร์ในการทำมัน

โปรดทราบว่าหากเราทำการแทนที่ ,ใน PDF ด้านบนเราจะได้รับ$\beta=2$$\alpha=\sqrt{2}\sigma$

$$\frac{e^{-\frac{(x-\mu )^2}{2 \sigma ^2}}}{\sqrt{2 \pi } \sigma }\;,$$

ซึ่งเป็นฟังก์ชันความหนาแน่นของการแจกแจงแบบปกติ ดังนั้นฟังก์ชั่นความหนาแน่นข้อผิดพลาดทั่วไปคือลักษณะทั่วไปของฟังก์ชั่นความหนาแน่นของการแจกแจงปกติ มีหลายวิธีในการสรุปฟังก์ชันความหนาแน่นของการแจกแจงแบบทั่วไป อีกตัวอย่างหนึ่ง แต่มีฟังก์ชั่นความหนาแน่นของการกระจายปกติเท่านั้นเป็นค่า จำกัด และไม่ได้มีค่าทดแทนช่วงกลางทั่วไปเช่นฟังก์ชั่นความหนาแน่นของข้อผิดพลาดเป็นนักศึกษา 's ฟังก์ชันความหนาแน่น การใช้ของนักเรียนฟังก์ชั่นความหนาแน่นของเราจะมีตัวเลือกค่อนข้าง จำกัด มากขึ้นของความโด่งและเป็นพารามิเตอร์รูปร่างเพราะช่วงเวลาที่สองไม่ได้มีอยู่สำหรับ<2 ยิ่งกว่านั้นdf$-t$$-t$$\textit{df}\geq2$$\textit{df}<2$≥ 1 - t df → ∞ไม่ จำกัด จริงกับค่าจำนวนเต็มบวกมันเป็นจริงทั่วไป\นักเรียนกลายเป็นปกติในขีด จำกัด เป็นซึ่งเป็นเหตุผลที่ฉันไม่ได้เลือกมันเป็นตัวอย่าง มันไม่ใช่ตัวอย่างที่ดีหรือเป็นตัวอย่างที่เคาน์เตอร์และในครั้งนี้ฉันไม่เห็นด้วยกับ @ ซีอานและ @whuber$\geq1$$-t$$\textit{df}\rightarrow\infty$

ให้ฉันอธิบายเพิ่มเติมต่อไป เราสามารถเลือกฟังก์ชั่นความหนาแน่นตามอำเภอใจสองตัวของพารามิเตอร์สองตัวที่มีตัวอย่างเช่นค่าเฉลี่ยของศูนย์และความแปรปรวนของหนึ่ง อย่างไรก็ตามพวกเขาจะไม่ทั้งหมดอยู่ในรูปแบบเดียวกัน อย่างไรก็ตามคำถามเกี่ยวข้องกับฟังก์ชั่นความหนาแน่นของแบบฟอร์มเดียวกันไม่ใช่แบบฟอร์มที่แตกต่างกัน การอ้างสิทธิ์ได้ทำขึ้นแล้วว่าฟังก์ชันความหนาแน่นใดมีรูปแบบเดียวกันคือการมอบหมายโดยพลการเนื่องจากนี่เป็นเรื่องของคำจำกัดความและในความเห็นของฉันนั้นแตกต่างกัน ฉันไม่เห็นด้วยว่านี่เป็นกฎเกณฑ์เนื่องจากเราสามารถทำการทดแทนเพื่อแปลงฟังก์ชันความหนาแน่นหนึ่งฟังก์ชันให้เป็นฟังก์ชันอื่นได้หรือไม่สามารถทำได้ ในกรณีแรก, ฟังก์ชั่นความหนาแน่นจะคล้ายกัน, และโดยการแทนที่เราสามารถแสดงว่าฟังก์ชันความหนาแน่นไม่เท่ากัน, ฟังก์ชันความหนาแน่นเหล่านั้นมีรูปแบบที่แตกต่างกัน

ดังนั้นการใช้ตัวอย่างของนักศึกษาของ PDF, เลือกที่มีทั้งพิจารณาให้เป็นลักษณะทั่วไปของรูปแบบไฟล์ PDF ปกติซึ่งในกรณีที่ไฟล์ PDF ปกติมีรูปแบบที่อนุญาตสำหรับนักศึกษาของ 's PDF, หรือไม่ ซึ่งในกรณีของนักเรียน 's PDF เป็นรูปแบบที่แตกต่างจากรูปแบบไฟล์ PDF ปกติจึงไม่เกี่ยวข้องกับคำถามที่ถูกวาง$-t$$-t$$-t$

เราสามารถโต้แย้งได้หลายวิธี ความเห็นของผมก็คือว่ารูปแบบไฟล์ PDF ปกติเป็นรูปแบบย่อยเลือกของนักเรียน 's PDF, แต่ที่ไฟล์ PDF ปกติไม่ได้เป็นย่อยการเลือกของแกมมา PDF แม้ว่าค่าการ จำกัด ของแกมมา PDF สามารถแสดงให้เห็นว่า เป็น PDF ปกติและเหตุผลของฉันคือในกรณีปกติ / Student 'การสนับสนุนเหมือนกัน แต่ในกรณีปกติ / gamma การสนับสนุนไม่มีที่สิ้นสุดกับ semi-infinite ซึ่งเป็นความไม่ลงรอยกันที่จำเป็น .$-t$$-t$

หากคุณต้องการตัวอย่างซึ่งเป็น "ตระกูลการแจกแจงแบบกำหนดพารามิเตอร์อย่างเป็นทางการคุณสามารถตรวจสอบการแจกแจงแกมม่าทั่วไปได้ที่https://en.wikipedia.org/wiki/Generalized_gamma_distributionตระกูลการแจกจ่ายนี้มีพารามิเตอร์สามตัวดังนั้นคุณสามารถแก้ไขค่าเฉลี่ยได้ และความแปรปรวนและยังคงมีอิสระในการเปลี่ยนแปลงช่วงเวลาที่สูงขึ้นจากหน้า wiki พีชคณิตไม่ได้ดูน่าชวนชวนฉันอยากจะทำมันเป็นตัวเลขสำหรับแอปพลิเคชันทางสถิติให้ค้นหาไซต์นี้สำหรับ gamlss ซึ่งเป็นส่วนเสริมของเกม รุ่นในตัวเองเป็นลักษณะทั่วไปของ glm's) ซึ่งมีพารามิเตอร์สำหรับ "สถานที่ตั้งขนาดและรูปร่าง"

อีกตัวอย่างหนึ่งคือ -distribution ซึ่งขยายเป็นตระกูลระดับตำแหน่ง จากนั้นพารามิเตอร์ตัวที่สามจะเป็นดีกรีอิสระซึ่งจะระวังรูปร่างของตำแหน่งและสเกลที่แน่นอน$t$

มีจำนวนอนันต์ของการแจกแจงที่มีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์และความแปรปรวนอันหนึ่งดังนั้นรับจากการแจกแจงแบบใดแบบหนึ่งเหล่านี้พูดและจากการแจกแจงแบบอื่นพูดนักเรียนกับ 54 องศาอิสระ rescaled โดยเพื่อให้มันแปรปรวนเป็นหนึ่งแล้ว เพลิดเพลินไปกับคุณสมบัติที่คุณพูดถึง พารามิเตอร์ "จำนวน" ไม่เกี่ยวข้องกับคุณสมบัติN ( 0 , 1 ) ϵ 2 t $\epsilon_1$$\mathcal{N}(0,1)$$\epsilon_2$$t$ X=μ+σϵ$\sqrt\frac{1}{3}$

$$X=\mu+\sigma\epsilon_1\qquad\text{and}\qquad Y=\mu+\sigma\epsilon_2$$

เห็นได้ชัดว่าถ้าคุณตั้งกฎเพิ่มเติมเพื่อนิยามของตระกูลนี้เช่นระบุว่ามีความหนาแน่นคงที่เช่นนั้นความหนาแน่นของคือคุณอาจท้ายด้วยการกระจายที่เป็นไปได้เดียวX $f$$X$

$$\frac{1}{\sigma^d} f(\{x-\mu\}/\sigma)$$

ฉันคิดว่าคุณกำลังถามว่าตัวแปรสุ่มสองตัวที่มาจากตระกูลระดับตำแหน่งเดียวกันนั้นสามารถมีค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนเหมือนกันหรือไม่ คำตอบคือไม่

พิสูจน์ : ให้และเป็นตัวแปรสุ่มสองตัว เนื่องจากและอยู่ในตระกูลระดับตำแหน่งเดียวกันจึงมีตัวแปรสุ่มและตัวเลขจริงซึ่งและb_2 เนื่องจากและมีค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนเหมือนกันเราจึง:X 2 X 1 X 2 X a 1 > 0 , a 2 > 0 , b 1 , b 2 X 1 d = a 1 X + b 1 X 2 d = a 2 X + b 2 X 1 X $X_1$$X_2$$X_1$$X_2$$X$$a_1>0, a_2>0, b_1, b_2$$X_1 \stackrel{d}{=} a_1 X + b_1$$X_2 \stackrel{d}{=} a_2 X + b_2$$X_1$$X_2$

1. $E[X_1] = E[X_2] \implies a_1 E[X] + b_1 = a_2 E[X] + b_2$b_2
2. $\operatorname{Var}[X_1] = \operatorname{Var}[X_2] \implies a_1^2 \operatorname{Var}[X] = a_2^2 \operatorname{Var}[X]$[X]

ถ้าดังนั้นมีความน่าจะเป็นและด้วยเหตุนี้ช่วงเวลาที่สูงขึ้นของและจะเท่ากันทั้งหมด ดังนั้นเราอาจคิดว่า0 เมื่อใช้สิ่งนี้ (2) ก็หมายความว่า. ตั้งแต่และ , เรามีในความจริงที่ว่าa_1ในทางกลับกัน (1) ข้างต้นในขณะนี้ก็หมายความว่าb_1เรามี: สำหรับใด ๆเช่นทุกช่วงเวลาของและX 1 = E [ X 1 ] = X 2 = E [ X 2 ] 1 X 1 X 2 Var [ X ] ≠ 0 | 1 | = | 2 | a 1 > 0 a 2 > 0 a 1 = a 2 b 1 = b $\operatorname{Var}[X] = 0$$X_1=E[X_1]=X_2=E[X_2]$$1$$X_1$$X_2$$\operatorname{Var}[X] \neq 0$$|a_1|=|a_2|$$a_1>0$$a_2>0$$a_1=a_2$$b_1=b_2$k X 1 X

$$E[X_1^k] = E[(a_1X+b_1)^k] = E[(a_2X+b_2)^k] = E[X_2^k],$$ $k$$X_1$$X_2$ มีความเท่าเทียมกัน

เนื่องจากคำถามสามารถตีความได้หลายวิธีฉันจะแยกคำตอบนี้ออกเป็นสองส่วน

• A: ครอบครัวกระจาย
• B: ตระกูลการกระจายในระดับตำแหน่ง

ปัญหาเกี่ยวกับกรณี A สามารถตอบ / แสดงได้ง่าย ๆ โดยหลายครอบครัวที่มีพารามิเตอร์รูปร่าง

ปัญหาเกี่ยวกับกรณี B นั้นยากกว่าเนื่องจากพารามิเตอร์หนึ่งพารามิเตอร์ครึ่งนั้นเพียงพอที่จะระบุตำแหน่งและสเกล (ตำแหน่งในและสเกลใน ) และปัญหาจะกลายเป็นว่า สามารถใช้พารามิเตอร์สองตัวเพื่อเข้ารหัสรูปร่าง (หลายตัว) ได้เช่นกัน เรื่องนี้ไม่สำคัญเลย เราสามารถมาพร้อมกับตระกูลมาตราส่วนตำแหน่งที่ตั้งพารามิเตอร์สองแบบได้อย่างง่ายดายและแสดงให้เห็นว่าคุณไม่มีรูปร่างที่แตกต่างกัน แต่ก็ไม่ได้พิสูจน์ว่านี่เป็นกฎถาวรสำหรับตระกูลระดับตำแหน่งพารามิเตอร์สองพารามิเตอร์ใด ๆ$\mathbb{R}$$\mathbb{R_{>0}}$

ตอบ: การแจกแจงสองแบบที่แตกต่างจากตระกูลการกระจายพารามิเตอร์ 2 ตัวเดียวกันมีค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนเหมือนกันหรือไม่

คำตอบคือใช่และสามารถแสดงได้โดยใช้หนึ่งในตัวอย่างที่กล่าวถึงอย่างชัดเจน: การแจกแจงแกมมาปกติ

ตระกูลของการแจกแจงแกมมาปกติ

ปล่อยให้ด้วย a แกมมากระจายตัวแปร การกระจาย (สะสม) ของมีดังนี้:$Z = \frac{X-\mu}{\sigma}$$X$$Z$

$$F_Z(z;k) = \begin{cases} 0 & \quad \text{if} & z < -\sqrt{k}\\ \frac{1}{\Gamma(k)} \gamma(k, {z\sqrt{k}+k}) & \quad \text{if} & z \geq -\sqrt{k} \end{cases}$$

โดยที่เป็นฟังก์ชันแกมม่าที่ไม่สมบูรณ์$\gamma$

ดังนั้นที่นี่จึงเป็นกรณีที่และที่แตกต่างกัน(การแจกแจงจากตระกูลของการแจกแจงแกมมาปกติ) สามารถมีค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนเหมือนกัน (คือและ ) แต่แตกต่างกันตามพารามิเตอร์ ( พารามิเตอร์ 'รูปร่าง') นี่คือการเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับความจริงที่ว่าครอบครัวของการแจกแจงแกมมาไม่ได้เป็นครอบครัวระดับสถานที่$Z_1$$Z_2$$\mu=0$$\sigma=1$$k$

B: การกระจายสองแบบที่แตกต่างกันจากตระกูลการกระจายขนาดพารามิเตอร์ 2 ตำแหน่งเดียวกันมีค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนเหมือนกันหรือไม่

ฉันเชื่อว่าคำตอบคือไม่ถ้าเราพิจารณาเฉพาะตระกูลที่ราบรื่น (ราบรื่น: การเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในพารามิเตอร์จะส่งผลให้เกิดการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยของการกระจาย / ฟังก์ชัน / เส้นโค้ง) แต่คำตอบนั้นไม่ค่อยน่าสนใจและเมื่อเราจะใช้ครอบครัวทั่วไป (ไม่ราบเรียบ) มากกว่านี้เราก็สามารถตอบตกลงได้แม้ว่าครอบครัวเหล่านี้จะมีอยู่ในทฤษฎีเท่านั้นและไม่มีความเกี่ยวข้องในทางปฏิบัติ

การสร้างตระกูลระดับตำแหน่งจากการกระจายแบบครั้งเดียวโดยการแปลและการปรับสเกล

จากการกระจายเดี่ยวใด ๆ โดยเฉพาะเราสามารถสร้างตระกูลระดับตำแหน่งด้วยการแปลและปรับ ถ้าเป็นฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของการแจกแจงเดี่ยวดังนั้นฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นสำหรับสมาชิกในครอบครัวจะเป็น$f(x)$

$$f(x;\mu,\sigma) = \frac{1}{\sigma}f(\frac{x-\mu}{\sigma})$$

สำหรับครอบครัวระดับตำแหน่งที่สามารถสร้างได้ในลักษณะดังกล่าวเรามี:

• สำหรับสมาชิกสองคนและถ้าค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนเท่ากันจากนั้น$f(x;\mu_1,\sigma_1)$$f(x;\mu_2,\sigma_2)$$f(x;\mu_1,\sigma_1) = f(x;\mu_2,\sigma_2)$

สำหรับครอบครัวที่มีขนาดตามตำแหน่งพารามิเตอร์ทั้งสองสามารถกระจายการเป็นสมาชิกของพวกเขาจากการกระจายสมาชิกเดี่ยวโดยการแปลและการปรับขนาด

ดังนั้นการแปลและการปรับสเกลสามารถแปลงการแจกแจงเดี่ยวให้เป็นตระกูลระดับตำแหน่ง คำถามคือว่าการย้อนกลับเป็นจริงหรือไม่และทุกตระกูลพารามิเตอร์ตำแหน่งสองขนาด (ซึ่งพารามิเตอร์และไม่จำเป็นต้องตรงกับตำแหน่งและมาตราส่วน ) สามารถอธิบายได้โดยการแปลและการปรับ ของสมาชิกคนเดียวจากครอบครัวนั้น$\theta_1$$\theta_2$$\mu$$\sigma$

สำหรับตระกูลขนาดตำแหน่งพารามิเตอร์สองแบบเช่นตระกูลของการแจกแจงแบบปกติมันไม่ยากเกินไปที่จะแสดงว่าพวกมันสามารถสร้างขึ้นได้ตามกระบวนการข้างต้น (การปรับขนาดและการแปลของสมาชิกตัวอย่างเดียว)

หนึ่งอาจสงสัยว่ามันเป็นไปได้สำหรับทุกสองพารามิเตอร์ครอบครัวตั้งขนาดจะถูกสร้างออกมาจากสมาชิกโดยการแปลและปรับ หรือคำแถลงที่ขัดแย้งกัน: "ครอบครัวขนาดพารามิเตอร์สองตำแหน่งสามารถมีการแจกแจงสมาชิกที่แตกต่างกันสองรายการที่มีค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนเดียวกันได้หรือไม่" ซึ่งเป็นสิ่งจำเป็นที่ครอบครัวต้องเป็นสมาชิกสหภาพของครอบครัวย่อยหลายครอบครัว การปรับขนาด

กรณีที่ 1: ครอบครัวของการแจกแจงแบบทั่วไปของนักเรียนซึ่งมีพารามิเตอร์สองตัว

ตัวอย่างที่ถูกประดิษฐ์เกิดขึ้นเมื่อเราทำการแมปจากไปเป็น ( cardinality-of-mathbbr-and-mathbbr2 ) ซึ่งอนุญาตให้อิสระในการใช้พารามิเตอร์สองตัวและเพื่ออธิบายการรวมกันของครอบครัวย่อยหลายครอบครัว สร้างขึ้นโดยการแปลและการปรับขนาด$R^2$$R^3$θ 1 θ 2$\theta_1$$\theta_2$

ลองใช้การแจกแจงทั่วไปของ t (พารามิเตอร์สามตัว):

$f(x;\nu,\mu,\sigma) = \frac{\Gamma \left( \frac{\nu + 1}{2} \right) }{\Gamma \left( \frac{\nu}{2} \right) \sqrt{\pi\nu}\sigma} \left(1 + \frac{1}{\nu} \left( \frac{x-\mu}{\sigma} \right)^2 \right)^{-\frac{\nu+1}{2}}$

เมื่อพารามิเตอร์ทั้งสามเปลี่ยนไปดังนี้

$$\begin{array}{rcl} \mu &=& \tan (\theta_1)\\ \sigma &=& \theta_2\\ \nu &=& \lfloor 0.5+\theta_1/\pi \rfloor \end{array}$$

จากนั้นเรามี

$f(x;\theta_1,\theta_2) = \frac{\Gamma \left( \frac{\lfloor 0.5+\theta_1/\pi \rfloor + 1}{2} \right) }{\Gamma \left( \frac{\lfloor 0.5+\theta_1/\pi \rfloor}{2} \right) \sqrt{\pi\lfloor 0.5+\theta_1/\pi \rfloor}\theta_2} \left(1 + \frac{1}{\lfloor 0.5+\theta_1/\pi \rfloor} \left( \frac{x-\tan(\theta_1)}{\theta_2} \right)^2 \right)^{-\frac{\lfloor 0.5+\theta_1/\pi \rfloor+1}{2}}$

ซึ่งอาจพิจารณาว่าเป็นพารามิเตอร์ระดับครอบครัวสองตำแหน่ง (แม้ว่าจะไม่ค่อยมีประโยชน์) ซึ่งไม่สามารถสร้างได้โดยการแปลและการปรับขนาดของสมาชิกเพียงคนเดียว

กรณีที่ 2: ตระกูลระดับตำแหน่งที่สร้างโดยการปรับขนาดเชิงลบของการแจกแจงเดี่ยวด้วยค่าที่ไม่ใช่ศูนย์

ตัวอย่างที่มีการประดิษฐ์น้อยกว่าการใช้ฟังก์ชั่นแทนซาเนียนั้นได้รับจาก Whuber ภายใต้ความเห็นของคำตอบของคาร์ล เราสามารถมีครอบครัวโดยที่การพลิกสัญญาณของทำให้ค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนไม่เปลี่ยนแปลง แต่อาจเปลี่ยนแปลงช่วงเวลาที่สูงขึ้นไม่สม่ำเสมอ ดังนั้นสิ่งนี้จะช่วยให้ครอบครัวตระกูลพารามิเตอร์ตำแหน่งสองขนาดง่ายขึ้นซึ่งสมาชิกที่มีค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนเดียวกันสามารถมีช่วงเวลาการสั่งซื้อที่สูงขึ้นแตกต่างกัน ตัวอย่างจาก Whuber สามารถแบ่งออกเป็นสองครอบครัวย่อยซึ่งแต่ละอันสามารถสร้างขึ้นจากสมาชิกคนเดียวโดยการแปลและการปรับสเกล$x \mapsto f(x/b + a)$$b$

ครอบครัวราบรื่น

หากเราพยายามทำให้การกระจายพารามิเตอร์สองอย่างราบรื่น (ราบรื่น: การเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในพารามิเตอร์จะส่งผลให้เกิดการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยของการแจกแจง / ฟังก์ชัน / เส้นโค้ง) โดยการสร้างองค์ประกอบของครอบครัวสองครอบครัวขึ้นไปที่สร้างขึ้นโดยการแปล และการปรับขนาดจากนั้นเราจะพบปัญหาเพื่อให้พารามิเตอร์ทั้งสองครอบคลุมทั้งการเปลี่ยนแปลงของ 'ค่าเฉลี่ย' และ 'ความแปรปรวน' เช่นเดียวกับพารามิเตอร์ที่สาม 'รูปร่าง' หลักฐานที่เป็นทางการจะต้องไปตามบรรทัดเดียวกับคำตอบของคำถาม: มีฟังก์ชั่น surjective ที่ราบรื่นหรือไม่? $f:\mathbb{R}^2 \mapsto \mathbb{R}^3$(ที่คำตอบคือไม่ในกรณีที่ราบรื่นเช่น. ฟังก์ชั่นที่แตกต่างกันอนันต์แม้ว่าจะมีอย่างต่อเนื่อง ฟังก์ชั่นที่จะทำงานเช่น Peano curves)

สัญชาตญาณ: ลองนึกภาพว่าจะมีพารามิเตอร์ ,ที่อธิบายการแจกแจงในตระกูลการกระจายขนาดตำแหน่งและเราสามารถเปลี่ยนค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนเช่นเดียวกับช่วงเวลาอื่น ๆ จากนั้นเราควรจะสามารถแสดง , , ในแง่ของค่าเฉลี่ยและความแปรปรวน$\theta_1$$\theta_2$$\theta_1$$\theta_2$$\mu$$\sigma$

$$\begin{array}{rcl} \theta_1 &= &f_{\theta_1}(\mu,\sigma) \\ \theta_2 &=& f_{\theta_2}(\mu,\sigma)\end{array}$$

แต่สิ่งเหล่านี้จำเป็นต้องมีฟังก์ชั่นที่มีคุณค่าหลายอย่างและสิ่งเหล่านี้ไม่สามารถทำการเปลี่ยนอย่างต่อเนื่องได้ค่าที่แตกต่างจากสำหรับและนั้นไม่ต่อเนื่องและจะไม่สามารถ ทำโมเดลพารามิเตอร์รูปร่างอย่างต่อเนื่อง$f_{\theta_1}(\mu,\sigma)$$\mu$$\sigma$

จริง ๆ แล้วฉันไม่แน่ใจเกี่ยวกับส่วนสุดท้ายนี้ เราอาจใช้เส้นโค้งการเติมช่องว่าง (เช่นเส้นโค้ง Peano ถ้าเพียง แต่เรารู้วิธีแสดงพิกัดบนเส้นโค้งถึงพิกัดของ hypercube) เพื่อให้มีพารามิเตอร์เดียวแบบจำลองคุณสมบัติหลายอย่างสมบูรณ์เช่นค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนโดยไม่มี การละทิ้งคุณสมบัติที่การเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยของพารามิเตอร์เทียบเท่ากับการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยของฟังก์ชันทุก ๆ$\theta_1$$\theta_1$$f(x;\theta_1)$$x$