ถ้าฉันสร้างเมทริกซ์สมมาตรแบบสุ่มโอกาสที่จะเป็นบวกแน่นอนคืออะไร

ฉันมีคำถามแปลก ๆ เมื่อฉันทดลองการเพิ่มประสิทธิภาพของนูน คำถามคือ:

สมมติว่าฉันสุ่ม (พูดการแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน) สร้างเมทริกซ์สมมาตร (ตัวอย่างเช่นฉันสร้างเมทริกซ์สามเหลี่ยมด้านบนและเติมครึ่งล่างเพื่อให้แน่ใจว่ามันสมมาตร) โอกาสที่จะเป็นบวกแน่นอน เมทริกซ์? อย่างไรก็ตามมีการคำนวณความน่าจะเป็นหรือไม่?$N \times N$

หากเมทริกซ์ของคุณถูกดึงมาจากรายการ iid มาตรฐานปกติความน่าจะเป็นที่จะเป็นบวกแน่นอนคือประมาณดังนั้นตัวอย่างเช่นถ้าโอกาสคือ 1/1000 และลงไปอย่างรวดเร็วหลังจากนั้น คุณสามารถค้นหาขยายการสนทนาของคำถามนี้ที่นี่$p_N\approx 3^{-N^2/4}$$N=5$

คุณค่อนข้างสามารถตอบคำถามนี้ได้ด้วยการยอมรับว่าการกระจายค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ของคุณจะเป็นครึ่งวงกลม Wignerซึ่งมีความสมมาตรประมาณศูนย์ หากค่าลักษณะเฉพาะเป็นอิสระทั้งหมดคุณจะมีโอกาสในเชิงบวกโดยตรรกะนี้ ในความเป็นจริงคุณจะได้รับพฤติกรรมทั้งเนื่องจากความสัมพันธ์ระหว่างค่าลักษณะเฉพาะและกฎหมายที่ควบคุมค่าเบี่ยงเบนขนาดใหญ่ของค่าลักษณะเฉพาะโดยเฉพาะขนาดที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุด โดยเฉพาะค่าลักษณะเฉพาะแบบสุ่มคล้ายมากที่อนุภาคที่มีประจุและไม่ชอบที่จะได้อยู่ใกล้ชิดกับแต่ละอื่น ๆ พวกเขาจึงขับไล่แต่ละอื่น ๆ (แปลกพอมีข้อมูลที่อาจเกิดขึ้นเช่นเดียวกับอนุภาคที่มีประจุ,ที่$(1/2)^N$$N^2$$\propto 1/r$$r$คือระยะห่างระหว่างค่าลักษณะเฉพาะที่อยู่ติดกัน) ขอให้พวกเขาทั้งหมดเป็นบวกจึงจะขอสูงมาก

นอกจากนี้เนื่องจากกฎความเป็นสากลในทฤษฎีเมทริกซ์แบบสุ่มฉันสงสัยอย่างยิ่งน่าจะเป็นที่สูงกว่าน่าจะเหมือนกันสำหรับเมทริกซ์แบบสุ่มที่ "สมเหตุสมผล" ใด ๆ โดยมีรายการ iid ที่มีค่าเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน$p_N$