การดำรงอยู่ของฟังก์ชั่นการสร้างโมเมนต์และความแปรปรวน

การแจกแจงที่มีค่าเฉลี่ย จำกัด และความแปรปรวนแบบไม่สิ้นสุดมีฟังก์ชันสร้างช่วงเวลาได้หรือไม่? แล้วการกระจายตัวที่มีค่าเฉลี่ย จำกัด และความแปรปรวนอัน จำกัด แต่ช่วงเวลาที่สูงขึ้นไม่มีที่สิ้นสุด?

variance moments mgf

— Mgf
แหล่งที่มา

คำแนะนำ : ถ้า mgf อยู่ในช่วงรอบศูนย์ให้พูดสำหรับบาง

ดังนั้นให้พิจารณาการขยายตัวของเทย์เลอร์เป็น

และโมโนโทนิตี้ของอินทิกรัลเพื่อค้นหาวิธีแก้ปัญหา :)

(- t_{0}, t_{0})

$(-t_0,t_0)$

t_{0} > 0

$t_0 > 0$

e^{x}

$e^x$

— พระคาร์ดินัล

ไม่สนใจประเด็นของการคอนเวอร์เจนซ์ (คิดเกี่ยวกับ mgf เป็นชุดพลังงานอย่างเป็นทางการเท่านั้น) mgf จะเป็นอย่างไรถ้ามีช่วงเวลาใดที่ล้มเหลว?

— whuber

พระคาร์ดินัลคุณช่วยให้เราอ้างอิงบางส่วนเกี่ยวกับข้อเสนอที่คุณให้?

คำถามนี้ให้โอกาสที่ดีในการรวบรวมข้อเท็จจริงบางอย่างเกี่ยวกับฟังก์ชั่นการสร้างช่วงเวลา ( mgf )

ในคำตอบด้านล่างเราทำดังต่อไปนี้:

แสดงว่าหาก mgf มีค่า จำกัด สำหรับค่าบวก (อย่างเคร่งครัด) อย่างน้อยหนึ่งค่า และค่าลบหนึ่งค่าดังนั้นช่วงเวลาบวกทั้งหมดของ $X$ จะมีค่า จำกัด
พิสูจน์ว่าเงื่อนไขในรายการแรกข้างต้นเทียบเท่ากับการแจกแจงของ $X$ มีหางที่มีขอบเขต จำกัด ชี้แจง ในคำอื่น ๆ หางของ $X$ หลุดออกอย่างน้อยเป็นอย่างรวดเร็วเป็นผู้ชี้แจงของตัวแปรสุ่ม $Z$ (ถึงคงที่)
ระบุข้อมูลย่อเกี่ยวกับลักษณะของการแจกแจงโดย mgf ของมันหากเป็นไปตามเงื่อนไขในข้อ 1
สำรวจตัวอย่างและตัวอย่างตอบโต้เพื่อช่วยปรีชาญาณของเราและโดยเฉพาะอย่างยิ่งเพื่อแสดงให้เห็นว่าเราไม่ควรอ่านความสำคัญที่ไม่เหมาะสมต่อการขาดความสมบูรณ์ของ mgf

คำตอบนี้ค่อนข้างยาวซึ่งฉันต้องขออภัยล่วงหน้า ถ้าสิ่งนี้จะถูกวางไว้ที่ดีขึ้นเช่นเป็นบล็อกโพสต์หรือที่อื่นโปรดแสดงความคิดเห็นดังกล่าวในความคิดเห็น

mgf พูดว่าอย่างไรเกี่ยวกับช่วงเวลา?

MGF ของตัวแปรสุ่มถูกกำหนดให้เป็น{} โปรดทราบว่ามีอยู่เสมอเนื่องจากเป็นส่วนที่สำคัญของฟังก์ชั่นที่ไม่สามารถลบได้ แต่ถ้าอาจจะไม่ แน่นอน ถ้ามันมีจำกัด (ในตำแหน่งที่ถูกต้อง) ดังนั้นสำหรับ (ไม่จำเป็นต้องเป็นจำนวนเต็ม) ช่วงเวลาที่แน่นอน (และดังนั้นยังคือ จำกัด ) นี่คือหัวข้อของข้อเสนอต่อไป $X \sim F$ $m(t) = \mathbb E e^{tX}$ $m(t)$ $p > 0$ $\mathbb E |X|^p < \infty$ $\mathbb E X^p$

ข้อเสนอ : หากมีและเช่นนั้นและดังนั้นช่วงเวลาของคำสั่งทั้งหมดของมีอยู่และมีขอบเขต จำกัด $\newcommand{\tn}{t_{n}}\newcommand{\tp}{t_{p}}\tn < 0$ $\tp > 0$ $m(\tn) < \infty$ $m(\tp) < \infty$ $X$

ก่อนดำน้ำเพื่อพิสูจน์นี่คือบทแทรกที่มีประโยชน์สองประการ

เล็มม่า 1 : สมมติว่าและมีอยู่ แล้วสำหรับการใด ๆ ,<\ พิสูจน์ สิ่งนี้ตามมาจากความนูนของและ monotonicity ของอินทิกรัล สำหรับเช่นใดมีอยู่เช่นว่า\ แต่แล้ว ดังนั้นด้วยการรวมตัวของส่วนประกอบinfty $\tn$ $\tp$ $t_0 \in [\tn,\tp]$ $m(t_0) < \infty$
$e^x$ $t_0$ $\theta \in [0,1]$ $t_0 = \theta \tn + (1-\theta) \tp$

e^{t_{0} X} = e^{θ t_{n} X + (1 - θ) t_{p} X} \leq θ e^{t_{n} X} + (1 - θ) e^{t_{p} X} .

$e^{t_0 X} = e^{\theta \tn X + (1-\theta) \tp X} \leq \theta e^{\tn X} + (1-\theta) e^{\tp X} \>.$

E e^{t_{0} X} \leq θ E e^{t_{n} X} + (1 - θ) E e^{t_{p} X} < \infty

$\mathbb E e^{t_0 X} \leq \theta \mathbb E e^{\tn X} + (1-\theta) \mathbb E e^{\tp X} < \infty$

ดังนั้นถ้า mgf มี จำกัด ที่จุดสองจุดที่แตกต่างกันมันจะ จำกัด สำหรับค่าทั้งหมดในช่วงเวลาระหว่างจุดเหล่านั้น

บทแทรก 2 ( รังของช่องว่าง $L_p$ ): สำหรับถ้าแล้ว<\ หลักฐาน : สองวิธีจะได้รับในเรื่องนี้คำตอบและความคิดเห็นที่เกี่ยวข้อง $0 \leq q \leq p$ $\mathbb E |X|^p < \infty$ $\mathbb E |X|^q < \infty$

สิ่งนี้ทำให้เราเพียงพอที่จะดำเนินการต่อด้วยหลักฐานการเสนอ

หลักฐานของเรื่อง ถ้าและมีอยู่ตามที่ระบุไว้ในข้อเสนอจากนั้นรับเรารู้โดยบทแทรกแรกที่และ<\ แต่ และด้านขวามือที่ประกอบด้วยแง่ไม่ติดลบดังนั้นโดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับการใด ๆ คงที่ ตอนนี้โดยสมมติฐาน<\ monotonicity ของอัตราผลตอบแทนหนึ่ง<\ ดังนั้นทั้งหมด $\tn < 0$ $\tp > 0$ $t_0 = \min(-\tn,\tp) > 0$ $m(-t_0) < \infty$ $m(t_0) < \infty$

e^{- t_{0} X} + e^{t_{0} X} = 2 \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{t_{0}^{2 n} X^{2 n}}{(2 n)!},

$e^{-t_0 X} + e^{t_0 X} = 2 \sum_{n=0}^\infty \frac{t_0^{2n} X^{2n}}{(2n)!} \>,$

k

$k$

e^{- t_{0} X} + e^{t_{0} X} \geq 2 t_{0}^{2 k} X^{2 k} / (2 k)! .

$e^{-t_0 X} + e^{t_0 X} \geq 2 t_0^{2k} X^{2k}/(2k)! \>.$

E e^{- t_{0} X} + E e^{t_{0} X} < \infty

$\mathbb E e^{-t_0 X} + \mathbb E e^{t_0 X} < \infty$

E X^{2 k} < \infty

$\mathbb E X^{2k} < \infty$ แม้แต่ช่วงเวลาของก็มีขอบเขต จำกัด เลมม่า 2 ช่วยให้เรา "เติมช่องว่าง" ได้ทันทีและสรุปได้ว่าทุกช่วงเวลาต้องมีขอบเขตแน่นอน

X

$X$

ผลที่สุด

ผลสุดท้ายของคำถามในมือคือถ้าช่วงเวลาใดของไม่มีที่สิ้นสุดหรือไม่มีตัวตนเราสามารถ สรุปได้ทันทีว่า mgf นั้นไม่แน่นอนในช่วงเวลาเปิดที่มีต้นกำเนิด (นี่เป็นเพียงคำแถลงที่ขัดแย้งกันของข้อเสนอ) $X$

ดังนั้นข้อเสนอข้างต้นให้เงื่อนไข "ถูกต้อง" เพื่อพูดอะไรบางอย่างเกี่ยวกับช่วงเวลาของโดยยึดตาม mgf ของมัน $X$

หางที่ล้อมรอบชี้แจงและ mgf

ข้อเสนอ : mgfมีขอบเขต จำกัด ในช่วงเวลาเปิด ที่มีต้นกำเนิดถ้าหากหางของถูกจำกัด ขอบเขตอย่างแทนเช่นสำหรับบางและ0 $m(t)$ $(\tn,\tp)$ $F$ $\mathbb P( |X| > x) \leq C e^{-t_0 x}$ $C > 0$ $t_0 > 0$

พิสูจน์ เราจะจัดการกับหางขวาแยกจากกัน หางด้านซ้ายได้รับการจัดการอย่างสมบูรณ์แบบอะนาล็อก

$(\Rightarrow)$ สมมติสำหรับบาง0 แล้วหางขวาของถูกล้อมรอบชี้แจง ; กล่าวอีกอย่างหนึ่งว่ามีและซึ่ง หากต้องการดูสิ่งนี้โปรดทราบว่าสำหรับโดยความไม่เท่าเทียมของมาร์คอฟ ใช้และเพื่อให้ทิศทางการพิสูจน์นี้สมบูรณ์ $m(t_0) < \infty$ $t_0 > 0$ $F$ $C > 0$ $b > 0$

P (X > x) \leq C e^{- b x} .

$\mathbb P(X > x) \leq C e^{-b x} \>.$

t > 0

$t > 0$

P (X > x) = P (e^{t X} > e^{t x}) \leq e^{- t x} E e^{t X} = m (t) e^{- t x} .

$\mathbb P(X > x) = \mathbb P(e^{tX} > e^{tx}) \leq e^{-tx} \mathbb E e^{t X} = m(t) e^{-t x} \>.$

C = m (t_{0})

$C = m(t_0)$

b = t_{0}

$b = t_0$

$(\Leftarrow)$ สมมติว่ามีอยู่และดังกล่าวว่า x} จากนั้นสำหรับ , ที่เท่าเทียมกันครั้งแรกต่อจากความจริงมาตรฐานเกี่ยวกับความคาดหวังของตัวแปรสุ่มที่ไม่จำเป็น เลือกใด ๆที่ ; อินทิกรัลทางด้านขวามือจะมี จำกัด $C >0$ $t_0 > 0$ $\mathbb P(X > x) \leq C e^{-t_0 x}$ $t > 0$

E e^{t X} = \int_{0}^{\infty} P (e^{t X} > y) d y \leq 1 + \int_{1}^{\infty} P (e^{t X} > y) d y \leq 1 + \int_{1}^{\infty} C y^{- t_{0} / t} d y,

$\mathbb E e^{t X} = \int_0^\infty \mathbb P( e^{t X} > y)\,\mathrm dy \leq 1 + \int_1^\infty \mathbb P( e^{t X} > y)\,\mathrm dy \leq 1 + \int_1^\infty C y^{-t_0/t} \, \mathrm dy \>,$

t

$t$

0 < t < t_{0}

$0 < t < t_0$

นี่เป็นการพิสูจน์ที่สมบูรณ์

หมายเหตุเกี่ยวกับความเป็นเอกลักษณ์ของการแจกแจงที่ให้ mgf

หาก MGF คือ จำกัด ในช่วงเวลาที่มีการเปิดศูนย์แล้วการกระจายที่เกี่ยวข้องจะโดดเด่นด้วยช่วงเวลาของมันคือมันคือการกระจายเฉพาะกับช่วงเวลา n หลักฐานมาตรฐานคือสั้นครั้งหนึ่งเคยมีในมือบางคน (ที่ค่อนข้างตรงไปตรงมา) ข้อเท็จจริงเกี่ยวกับฟังก์ชั่นลักษณะ รายละเอียดสามารถพบได้ในตำราความน่าจะเป็นที่ทันสมัยที่สุด (เช่น Billingsley หรือ Durrett) มีการพูดคุยกันในเรื่องที่เกี่ยวข้องกับคู่ในคำตอบนี้ $\mu_n = \mathbb E X^n$

ตัวอย่างและตัวอย่าง

( ) กระจาย Lognormal :เป็น lognormal ถ้าสำหรับตัวแปรสุ่มบางปกติYดังนั้นด้วยความน่าจะเป็น เพราะสำหรับทุกนี้ทันทีบอกเราว่าสำหรับทุก<0 ดังนั้น MGF คือ จำกัด ในจำนวนที่ไม่ติดลบครึ่งบรรทัด . ( NBเราได้ใช้เพียง nonnegativity ของที่จะสร้างความเป็นจริงนี้ดังนั้นนี่คือความจริงจากทุกตัวแปรสุ่มที่ไม่เป็นลบ). $X$ $X = e^Y$ $Y$ $X \geq 0$ $e^{-x} \leq 1$ $x \geq 0$ $m(t) = \mathbb E e^{t X} \leq 1$ $t < 0$ $(-\infty,0]$ $X$

อย่างไรก็ตามสำหรับทุก0 เราจะนำ lognormal มาตรฐานเป็นเคสมาตรฐาน ถ้าแล้ว 3 จากการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรเรามี สำหรับและใหญ่พอเรามีตามขอบเขตที่ระบุไว้ด้านบน แต่ สำหรับใด ๆและดังนั้น mgf จึงไม่มีที่สิ้นสุดสำหรับทั้งหมด $m(t) = \infty$ $t > 0$ $x > 0$ $e^{x} \geq 1 + x + \frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{6} x^3$

E e^{t X} = (2 π)^{- 1 / 2} \int_{- \infty}^{\infty} e^{t e^{u} - u^{2} / 2} d u .

$\mathbb E e^{t X} = (2\pi)^{-1/2} \int_{-\infty}^\infty e^{t e^u - u^2/2} \,\mathrm d u \>.$

t > 0

$t > 0$

u

$u$

t e^{u} - u^{2} / 2 \geq t + t u

$t e^u - u^2/2 \geq t+tu$

\int_{K}^{\infty} e^{t + t u} d u = \infty

$\int_{K}^\infty e^{t + tu} \,\mathrm du = \infty$

K

$K$

t > 0

$t > 0$

ในอีกทางหนึ่งช่วงเวลาทั้งหมดของการแจกแจงแบบปกตินั้นมี จำกัด ดังนั้นการดำรงอยู่ของ MGF ในช่วงเวลาเกี่ยวกับศูนย์คือไม่จำเป็นสำหรับข้อสรุปของข้อเสนอดังกล่าวข้างต้น

( b ) symmetrized lognormal : เราสามารถได้รับกรณีที่รุนแรงยิ่งขึ้นโดย "symmetrizing" การกระจาย lognormal พิจารณาความหนาแน่นสำหรับซึ่ง มันไม่ได้ยากที่จะเห็นในแง่ของตัวอย่างก่อนหน้านี้ว่า MGF คือ จำกัดเฉพาะสำหรับ0 ทว่าช่วงเวลาคู่นั้นเหมือนกันกับช่วงเวลาปกติและช่วงเวลาคี่จะเป็นศูนย์! ดังนั้น mgf จึงไม่มีที่ไหนเลย (ยกเว้นที่จุดกำเนิดที่มีอยู่เสมอ) และเราสามารถรับประกันช่วงเวลาที่แน่นอนของคำสั่งซื้อทั้งหมด $f(x)$ $x \in \mathbb R$

f (x) = \frac{1}{2 \sqrt{2 π} | x |} e^{- \frac{1}{2} (\log | x |)^{2}} .

$f(x) = \frac{1}{2\sqrt{2\pi}|x|} e^{-\frac{1}{2} (\log |x|)^2} \>.$

t = 0

$t = 0$

( ค ) Cauchy กระจาย : การกระจายนี้ยังมี MGF ซึ่งเป็นที่ไม่มีที่สิ้นสุดสำหรับทุกแต่ไม่มีช่วงเวลาที่แน่นอนมี จำกัด สำหรับ1 ผลลัพธ์สำหรับ mgf ต่อไปนี้สำหรับตั้งแต่สำหรับและดังนั้น การพิสูจน์สำหรับนั้นคล้ายคลึงกัน (บางทีอาจจะค่อนข้างน้อยที่รู้จักกันดีก็คือว่าช่วงเวลาสำหรับทำอยู่สำหรับ Cauchy. ดูคำตอบนี้ $t \neq 0$ $\mathbb E|X|^p$ $p \geq 1$ $t > 0$ $e^x \geq x^3 / 6$ $x > 0$

E e^{t X} \geq \int_{1}^{\infty} \frac{t^{3} x^{3}}{6 π (1 + x^{2})} d x \geq \frac{t^{3}}{12 π} \int_{1}^{\infty} x d x = \infty .

$\mathbb E e^{tX} \geq \int_1^\infty \frac{t^3 x^3}{6\pi(1+x^2)} \,\mathrm dx \geq \frac{t^3}{12\pi} \int_1^\infty x \,\mathrm dx = \infty \>.$

t < 0

$t < 0$

0 < p < 1

$0 < p < 1$ .)

( d ) การกระจาย Half-Cauchy : หากคือ (มาตรฐาน) Cauchy ให้โทรตัวแปรสุ่มครึ่งโคชี จากนั้นจะเห็นได้ง่ายจากตัวอย่างก่อนหน้านี้ว่าสำหรับทั้งหมด ยังมี จำกัด สำหรับ0] $X$ $Y = |X|$ $\mathbb E Y^p = \infty$ $p \geq 1$ $\mathbb E e^{tY}$ $t \in (-\infty,0]$

— พระราชาคณะ
แหล่งที่มา

ขอบคุณสำหรับการโพสต์สิ่งนี้ - นี่เป็นเรื่องที่เข้าใจได้ง่ายอย่างน่าประหลาดใจโดยพิจารณาว่าเป็นเรื่องเทคนิคอย่างไร - ทำได้ดีมาก

— แมโคร

คุณรู้ผลลัพธ์ใด ๆ เกี่ยวกับ mgf ใน Hilbert space หรือไม่

— badatmath