ทำไมเราไม่ใช้ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักแทนค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก

ฉันสงสัยว่าอะไรคือคุณค่าที่แท้จริงของการใช้ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก (ตัวอย่างเช่นการคำนวณค่า F- มาตรการ) ซึ่งต่างจากค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ำหนักในการรวมความแม่นยำและการเรียกคืน? ฉันคิดว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ำหนักสามารถเล่นบทบาทของค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกได้หรือฉันขาดอะไรไป?

— olga
แหล่งที่มา

ค่าเฉลี่ยฮาร์โมนิเป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ำหนักแต่ละมีสัดส่วนน้ำหนัก 2

x_{i}

$x_i$

1 / x_{i}^{2}

$1/x_i^2$

— whuber

คุณช่วยพูดเพิ่มเกี่ยวกับความแม่นยำและการเรียกคืนในแบบนี้ได้อย่างไร

— AdamO

@whuber ไม่แน่ใจว่าความคิดเห็นของคุณจริงจังหรือไม่ น้ำหนักมักจะสันนิษฐานว่าจะเป็นฟังก์ชั่นของตัวอย่างดัชนีไม่ได้ของกลุ่มตัวอย่างค่า มิฉะนั้นค่าเฉลี่ยใด ๆคือค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ำหนัก

— Luis Mendo

@Luis ความจริงอยู่ระหว่าง ดัชนีตัวอย่างมักไม่มีความหมาย น้ำหนักเป็นฟังก์ชั่นของวัตถุ แต่โดยทั่วไปแล้วฟังก์ชั่นเหล่านั้นจะไม่ขึ้นอยู่กับค่าเฉลี่ย ตัวอย่างคือน้ำหนักที่สัมพันธ์กับเวลา (EWMA) โดยมีที่ตั้ง (ในการวัดความสัมพันธ์เชิงพื้นที่) อันดับ (ในการทดสอบ Shapiro-Wilk) และการสุ่มตัวอย่างที่น่าจะเป็น แต่ไม่ใช่ว่าทุกคนจะมีน้ำหนัก AMs: GM ไม่เช่น เนื่องจากฟีลิปปาถามเกี่ยวกับ "คุณค่าของคำสั่ง" ดูเหมือนว่าจะเป็นการชี้ให้เห็นความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์ระหว่างค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกและค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก

— whuber

คำตอบ:

โดยทั่วไปแล้วค่าฮาร์มอนิกจะเหมาะสมกว่าเมื่อเราพยายามหาอัตราเฉลี่ยแทนที่จะเป็นจำนวนเต็ม ในกรณีของการวัด F1 ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกจะลงโทษพื้นที่ขนาดเล็กมากหรือเรียกคืนในขณะที่ค่าเฉลี่ยเลขคณิตที่ไม่ถ่วง ลองจินตนาการถึงค่าเฉลี่ย 100% และ 0%: ค่าเฉลี่ยเลขคณิตคือ 50% และค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกคือ 0% ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกนั้นต้องการทั้งความแม่นยำและความแม่นยำสูง

นอกจากนี้เมื่อความแม่นยำและการเรียกคืนอยู่ใกล้กันค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกจะใกล้เคียงกับค่าเฉลี่ยเลขคณิต ตัวอย่าง: ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกของ 95% และ 90% คือ 92.4% เมื่อเทียบกับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของ 92.5%

ไม่ว่าจะเป็นคุณสมบัติที่พึงประสงค์อาจขึ้นอยู่กับกรณีการใช้งานของคุณ แต่โดยทั่วไปถือว่าดี

สุดท้ายโปรดทราบว่าตามที่ @whuber ระบุไว้ในความคิดเห็นค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกนั้นเป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ำหนัก

— ilanman
แหล่งที่มา

"ฮาร์มอนิกหมายถึงเป็นที่ต้องการเมื่อพยายามอัตราเฉลี่ย" บางทีถ้าคุณเดินทางกม. ที่กม. / ชม. และกม. กลับมาที่กม. / ชม. เพื่อรับความเร็วโดยรวมเฉลี่ยกม. / ชม. เดินทางนาทีที่กม. / ชม. และนาทีที่กม. / ชม. เพื่อรับความเร็วโดยรวมกม. / ชม. แต่ฉันไม่เห็นสาเหตุที่นำไปใช้กับเศษส่วน

10

$10$

120

$120$

10

$10$

60

$60$

80

$80$

10

$10$

120

$120$

10

$10$

60

$60$

90

$90$

— เฮนรี่

อันที่จริงวรรคแรกเป็นคำแถลงทั่วไปเกี่ยวกับค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก แต่คุณถูกต้องแม่นยำและเรียกคืนเป็นเศษส่วนและไม่ใช่อัตรา ฉันเชื่อว่ามีความคิดว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็นที่ต้องการสำหรับค่าที่มีผลรวมที่ตีความได้ (ซึ่งจะไม่นำไปใช้ในกรณีนี้) แต่แน่นอนว่าเราสามารถใช้ค่าเฉลี่ยความแม่นยำทางคณิตศาสตร์และความจำและเอาท์พุทผลลัพธ์ที่เป็นประโยชน์

— ilanman

ยอดเยี่ยม ฉันกำลังมองหา "เหตุผล" มากขึ้นสำหรับการใช้กฎค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก แต่ฉันไม่แน่ใจว่าจะคิดเกี่ยวกับความชอบธรรมได้อย่างไร ..

— olga

ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกอาจใช้แทนค่าเลขคณิตได้อย่างสะดวกเมื่อไม่มีความคาดหวังหรือความแปรปรวน อาจเป็นกรณีที่ไม่มีอยู่จริงหรือไม่มีที่สิ้นสุดในขณะที่มีอยู่ ยกตัวอย่างเช่นการกระจาย Pareto ด้วยความหนาแน่นไม่มีขอบเขตแน่นอน ความคาดหวังเมื่อซึ่งหมายความว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตมีความคาดหวังที่ไม่มีที่สิ้นสุดในขณะที่ซึ่งหมายความว่าค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกมีความคาดหวัง จำกัด $\mathbb{E}[X]$ $\mathbb{E}[1/X]$

f (x) = \frac{α x_{0}^{α}}{x^{α + 1}} I_{x \geq x_{0}}

$f(x)=\dfrac{\alpha x_0^{\alpha}}{x^{\alpha+1}}\mathbb{I}_{x\ge x_0}$

α \leq 1

$\alpha\le 1$

E [1 / X] = \int_{x_{0}}^{\infty} \frac{α x_{0}^{α}}{x^{α + 2}} d x = \frac{α x_{0}^{α}}{(α + 1) x_{0}^{α + 1}} = \frac{α}{(α + 1) x_{0}}

$\mathbb{E}[1/X]=\int_{x_0}^\infty \dfrac{\alpha x_0^{\alpha}}{x^{\alpha+2}}\,\text{d}x=\dfrac{\alpha x_0^{\alpha}}{(\alpha+1) x_0^{\alpha+1}}=\dfrac{\alpha}{(\alpha+1) x_0}$

ตรงกันข้ามมีการกระจายที่ค่าเฉลี่ยฮาร์โมนิไม่เคยมีใครคาดหวังเป็นเช่นเบต้ากระจายเมื่อ\และอีกมากมายที่ไม่มีความแปรปรวน $\mathcal{B}e(\alpha,\beta)$ $\alpha\le1$

นอกจากนี้ยังมีการเชื่อมโยงกับ Monte Carlo เพื่อ integrals และโดยเฉพาะอย่างยิ่ง normalizing ค่าคงที่ตามตัวตนหลัง Bayesianโดยที่คือความหนาแน่นคือก่อนหน้าโอกาสและร่อแร่ตามที่กล่าวไว้ในคำถามอื่น ๆ ที่เกี่ยวกับการตรวจสอบ X ที่ฉันแสดงความคิดเห็นเกี่ยวกับอันตรายของการใช้สิ่งที่ราดโอนีล (U โตรอนโต) เรียกร้องที่เลวร้ายที่สุด Monte Carlo ประมาณการที่เคย (ฉันยังเขียนหลายรายการในบล็อกของฉันในหัวข้อนั้น)

E [\frac{φ (θ)}{π (θ) L (θ | x)} | x] = \frac{1}{m (x)}

$\mathbb{E}\left[\dfrac{\varphi(\theta)}{\pi(\theta)L(\theta|x)}\Big| x\right]=\dfrac{1}{m(x)}$

φ (\cdot)

$\varphi(\cdot)$

π (\cdot)

$\pi(\cdot)$

L (\cdot | x)

$L(\cdot|x)$

m (\cdot)

$m(\cdot)$

— ซีอาน
แหล่งที่มา

เหตุใดคุณสมบัติเหล่านี้จึงดีกว่าเมื่อหาอัตราเฉลี่ย

— Walrus the Cat

ฉันไม่ทราบผลลัพธ์ที่ดีที่สุด แต่การมีตัวประมาณค่าที่มีความคาดหวัง จำกัด ดูเหมือนว่าจะดีกว่าหากไม่มี!

— ซีอาน