ทฤษฎีความน่าจะเป็นเป็นการศึกษาฟังก์ชั่นที่ไม่เป็นลบซึ่งรวม / รวมเป็นหนึ่งหรือไม่?

นี่อาจเป็นคำถามที่โง่ แต่ทฤษฎีความน่าจะเป็นคือการศึกษาฟังก์ชั่นที่รวม / รวมเข้ากับหนึ่งหรือไม่?

แก้ไข ฉันลืมว่าไม่ได้ปฏิเสธ ทฤษฎีความน่าจะเป็นดังนั้นการศึกษาฟังก์ชั่นที่ไม่ใช่ลบที่รวมเข้ากับผลรวมเป็นหนึ่ง

ในระดับที่เป็นทางการล้วนๆเราสามารถเรียกทฤษฎีความน่าจะเป็นได้ว่าการศึกษาพื้นที่การวัดด้วยการวัดทั้งหมดหนึ่ง แต่นั่นก็เหมือนกับทฤษฎีการเรียกหมายเลขการศึกษาของสตริงของตัวเลขที่ยุติลง

- จากเทอร์รี่เต่าหัวข้อในทฤษฎีเมทริกซ์แบบสุ่ม

ฉันคิดว่านี่เป็นสิ่งพื้นฐานจริงๆ หากเรามีพื้นที่ความน่าจะเป็นและตัวแปรสุ่มX : Ω → Rพร้อมการวัดแบบผลักดันP X : = P ∘ X - 1แล้วเหตุผลที่ความหนาแน่นf = d P $(\Omega, \mathscr F, P)$$X : \Omega \to \mathbb R$$P_X := P \circ X^{-1}$บูรณาการอย่างใดอย่างหนึ่งเป็นเพราะP(Ω)=1 และนั่นเป็นพื้นฐานมากกว่าไฟล์ PDF และ PMFS$f = \frac{\text d P_X}{\text d\mu}$$P(\Omega) = 1$

นี่คือข้อพิสูจน์:

นี่เป็นคำตอบของ AdamO เกือบ (1) เพราะ CDF ทั้งหมดเป็นcàdlàgและมีความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างชุดของ CDFs บนและชุดของความน่าจะเป็นทั้งหมดใน( R , B )แต่เนื่องจาก CDF ของ RV ถูกกำหนดในแง่ของการกระจายตัวฉันมองว่าช่องว่างน่าจะเป็นสถานที่ "เริ่มต้น" ด้วยความพยายามเช่นนี้$\mathbb R$$(\mathbb R, \mathbb B)$

ฉันกำลังปรับปรุงเพื่อให้รายละเอียดเกี่ยวกับการโต้ตอบระหว่าง CDF และการวัดความน่าจะเป็นและวิธีการทั้งสองนี้เป็นคำตอบที่สมเหตุสมผลสำหรับคำถามนี้

เราเริ่มต้นด้วยการวัดความน่าจะเป็นสองแบบและวิเคราะห์ CDF ที่เกี่ยวข้อง เราสรุปโดยเริ่มจาก CDF และดูที่การวัดที่เกิดขึ้น

ให้และRเป็นความน่าจะเป็นในการวัด( R , B )และให้F QและF Rเป็น CDF ที่เกี่ยวข้อง (เช่นF Q ( a ) = Q ( ( - ∞ , a ] )และในทำนองเดียวกันสำหรับR ) QและRทั้งสองจะเป็นตัวแทนของมาตรการสุ่มของตัวแปรสุ่ม (เช่นการแจกแจง) แต่มันก็ไม่สำคัญว่ามันมาจากไหนสำหรับเรื่องนี้$Q$$R$$(\mathbb R, \mathbb B)$$F_Q$$F_R$$F_Q(a) = Q\left((-\infty, a]\right)$$R$$Q$$R$

ความคิดที่สำคัญคือนี้ถ้าและRเห็นด้วยกับคอลเลกชันที่อุดมไปด้วยเพียงพอของชุดแล้วพวกเขาก็เห็นด้วยกับσพีชคณิตสร้างโดยชุดเหล่านั้น อย่างสังหรณ์ใจถ้าเรามีคอลเลกชันที่มีมารยาทของเหตุการณ์ที่ผ่านการเติมเต็มจำนวนนับได้แยกและสหภาพในรูปแบบทั้งหมดของBจากนั้นเห็นด้วยกับทุกชุดเหล่านั้นออกจากห้องไม่มีกระดิกไม่เห็นด้วยกับชุด Borel ใด ๆ$Q$$R$$\sigma$$\mathbb B$

เราทำพิธีอย่างเป็นทางการ ให้และให้L = { A ⊆ R : Q ( A ) = R ( A ) } , Lคือเซตย่อยของP ( R )ที่QและRเห็นด้วย (และมีการกำหนดไว้) โปรดทราบว่าเราอนุญาตให้พวกเขาเห็นด้วยกับชุดที่ไม่ใช่ Borel เนื่องจากLตามที่กำหนดไว้ไม่จำเป็นต้องเป็นชุดย่อยของ$\mathscr S = \{(-\infty, a] : a \in \mathbb R\}$$\mathcal L = \{A \subseteq \mathbb R : Q(A) = R(A)\}$$\mathcal L$$\mathcal P(\mathbb R)$$Q$$R$$\mathcal L$ . เป้าหมายของเราคือการแสดงให้เห็นว่า B ⊆ L$\mathbb B$$\mathbb B \subseteq \mathcal L$

ปรากฎว่า ( σ - พีชคณิตที่สร้างโดยS ) เป็นความจริงBดังนั้นเราหวังว่าSจะเป็นชุดใหญ่ของเหตุการณ์ที่เพียงพอหากQ = Rทุกที่บนSจากนั้นพวกเขาถูกบังคับให้เท่าเทียมกัน ในทุกB$\sigma(\mathscr S)$$\sigma$$\mathscr S$$\mathbb B$$\mathscr S$$Q = R$$\mathscr S$$\mathbb B$

โปรดทราบว่าปิดให้บริการภายใต้การแยก จำกัด และLปิดให้บริการภายใต้การเติมเต็มและทางแยกเคลื่อนนับ (ซึ่งต่อไปนี้จากσ -additivity) ซึ่งหมายความว่าSเป็นπ -SystemและLเป็นλ -System โดยπ - λทฤษฎีบทเราดังนั้นจึงมีที่σ ( S ) = B ⊆ L องค์ประกอบของ$\mathscr S$$\mathcal L$$\sigma$$\mathscr S$$\pi$$\mathcal L$$\lambda$$\pi$$\lambda$$\sigma(S) = \mathbb B \subseteq \mathcal L$$\mathscr S$ไม่มีที่ไหนใกล้ที่จะซับซ้อนเหมือนชุด Borel ตามอำเภอใจ แต่เนื่องจากชุด Borel ใด ๆ สามารถเกิดขึ้นได้จากการเติมเต็มจำนวนที่นับได้ของสหภาพสหภาพและจุดตัดขององค์ประกอบของหากไม่มีความขัดแย้งระหว่างQและRกับองค์ประกอบของSแล้วนี้จะตามมาผ่านไปมีการขัดแย้งไม่มีที่ใด ๆB ∈ B$\mathscr S$$Q$$R$$\mathscr S$$B \in \mathbb B$

เราได้แสดงให้เห็นเพียงว่าถ้าแล้วQ = R (บนB ) ซึ่งหมายความว่าแผนที่Q ↦ F QจากP : = { P : P  เป็นตัวชี้วัดความน่าจะเป็นบน  ( R , B ) }เพื่อF : = { F : R → R : F  คือ CDF }คือการฉีด$F_Q = F_R$$Q = R$$\mathbb B$$Q \mapsto F_Q$$\mathscr P := \{P : P \text { is a probability measure on } (\mathbb R, \mathbb B)\}$$\mathcal F := \{F : \mathbb R \to \mathbb R : F \text { is a CDF}\}$

ทีนี้ถ้าเราอยากคิดว่าจะไปในทิศทางอื่นเราต้องการเริ่มต้นด้วย CDF และแสดงให้เห็นว่ามีความเป็นไปได้ที่ไม่เหมือนใครวัดQซึ่งF ( a ) = Q ( ( - - ∞ , a ] )สิ่งนี้จะสร้าง การทำแผนที่ของเราQ ↦ F Qเป็นความจริงแล้วสำหรับ biject สำหรับทิศทางนี้เรากำหนดFโดยไม่มีการอ้างอิงถึงความน่าจะเป็นหรือการวัด$F$$Q$$F(a) = Q\left((-\infty, a]\right)$$Q \mapsto F_Q$$F$

ก่อนอื่นเรากำหนดฟังก์ชันการวัด Stieltjesเป็นฟังก์ชันเช่นนั้น$G : \mathbb R \to \mathbb R$

1. ไม่ลดลง$G$
2. นั้นถูกแบบต่อเนื่อง$G$

(และสังเกตว่าการcàdlàgติดตามจากคำจำกัดความนี้ได้อย่างไร แต่เนื่องมาจากข้อ จำกัด พิเศษที่ "ลดลง" ส่วนใหญ่ "ฟังก์ชั่นcàdlàgไม่ใช่ฟังก์ชันการวัด Stieltjes)

ก็สามารถที่จะแสดงให้เห็นว่าแต่ละ Stieltjes ทำงานก่อให้เกิดมาตรการที่ไม่ซ้ำกันμบน( R , B )ที่กำหนดโดย μ ( ( , ข] ) = G ( ข) - G ( ) (ดูเช่นDurrett ของความน่าจะเป็นและสุ่มกระบวนการสำหรับรายละเอียด เกี่ยวกับเรื่องนี้). ตัวอย่างเช่นเกอวัดจะถูกเหนี่ยวนำโดยG ( x ) = x$G$$\mu$$(\mathbb R, \mathbb B)$

ตอนนี้สังเกตว่า CDF เป็นฟังก์ชัน Stieltjes พร้อมคุณสมบัติเพิ่มเติมที่Lim x → - ∞ F ( x ) : = F ( - ∞ ) = 0และLim x → ∞ F ( x ) : = F ( ∞ ) = 1เราสามารถใช้ผลลัพธ์นั้นเพื่อแสดงให้เห็นว่าสำหรับทุก CDF Fเราจะได้ค่าQ ที่ไม่เหมือนใครใน( R , B$F$$\lim_{x\to-\infty} F(x) := F(-\infty) = 0$$\lim_{x\to\infty} F(x) := F(\infty) = 1$$F$$Q$$(\mathbb R, \mathbb B)$กำหนดโดย

สังเกตว่าและQ ( ( - ∞ , - ∞ ] ) = F ( ∞ ) - F ( - ∞ ) = 1ดังนั้นQคือการวัดความน่าจะเป็นและเป็นสิ่งที่เราจะต้องใช้เพื่อนิยาม$Q\left((-\infty, a]\right) = F(a) - F(-\infty) = F(a)$$Q\left((-\infty, -\infty]\right) = F(\infty) - F(-\infty) = 1$$Q$$F$ ถ้าเราไปในทิศทางอื่น

ร่วมกันทั้งหมดที่เราได้เห็นในขณะนี้ว่าการทำแผนที่เป็น 1-1 และบนเพื่อให้เราทำจริงๆมี bijection ระหว่างPและF นำกลับไปสู่คำถามจริงนี้แสดงให้เห็นว่าเราสามารถถือ CDFs หรือความน่าจะเป็นมาตรการเท่ากันเป็นวัตถุของเราซึ่งเราประกาศความน่าจะเป็นการศึกษา (ในขณะเดียวกันก็ตระหนักว่านี่เป็นความพยายามที่ค่อนข้างน่ากลัว) ฉันเองยังคงชอบช่องว่างน่าจะเป็นเพราะฉันรู้สึกว่าทฤษฎีไหลไปในทิศทางนั้นมากกว่า แต่ CDF ไม่ใช่ "ผิด"$Q \mapsto F_Q$$\mathscr P$$\mathcal F$

ไม่มี การแจกแจงแคนเทอร์เป็นเพียงตัวอย่างเดียว มันเป็นตัวแปรสุ่ม แต่ไม่มีความหนาแน่น มันมีฟังก์ชั่นการกระจายอย่างไรก็ตาม ฉันจะบอกว่าดังนั้นทฤษฎีความน่าจะเป็นนั้นคือการศึกษาฟังก์ชั่นcàdlàgซึ่งรวมถึง Cantor DF ซึ่งมีค่า จำกัด เหลือ 0 และขีด จำกัด ด้านขวา 1

ฉันแน่ใจว่าคุณจะได้รับคำตอบที่ดี แต่จะให้มุมมองที่แตกต่างออกไปเล็กน้อยที่นี่

คุณอาจเคยได้ยินนักคณิตศาสตร์บอกว่าฟิสิกส์เป็นคณิตศาสตร์ค่อนข้างมากหรือเป็นเพียงการประยุกต์ใช้คณิตศาสตร์กับกฎพื้นฐานที่สุดของธรรมชาติ นักคณิตศาสตร์บางคน (หลายคน) เชื่อว่าจริง ๆ แล้วในกรณีนี้ ฉันเคยได้ยินเรื่องนี้มาแล้วหลายครั้งในมหาวิทยาลัย ในเรื่องนี้คุณกำลังถามคำถามที่คล้ายกันแม้ว่าจะไม่กว้างเท่านี้

นักฟิสิกส์มักจะไม่รำคาญแม้แต่ตอบสนองต่อคำสั่งนี้: มันชัดเจนเกินไปสำหรับพวกเขาว่ามันไม่เป็นความจริง อย่างไรก็ตามหากคุณพยายามที่จะตอบคำถามนั้นจะชัดเจนว่าคำตอบนั้นไม่สำคัญหากคุณต้องการทำให้เชื่อมั่น

คำตอบของฉันคือฟิสิกส์ไม่ได้เป็นเพียงแค่โมเดลและสมการและทฤษฎี เป็นเขตข้อมูลที่มีชุดของวิธีการและเครื่องมือและการวิเคราะห์พฤติกรรมและวิธีคิด นั่นเป็นเหตุผลหนึ่งว่าทำไมถึงแม้ว่า Poincare พัฒนาทฤษฎีสัมพัทธภาพต่อหน้า Einstein เขาไม่ได้ตระหนักถึงความหมายทั้งหมดและไม่ได้ไล่ตามทุกคนบนกระดาน Einstein ทำเพราะเขาเป็นนักฟิสิกส์และเขาได้รับความหมายทันที ฉันไม่ใช่แฟนของผู้ชายคนนี้ แต่งานของเขาเกี่ยวกับการเคลื่อนไหวบราวเนียนเป็นอีกตัวอย่างหนึ่งของวิธีที่นักฟิสิกส์สร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ กระดาษแผ่นนั้นน่าทึ่งและเต็มไปด้วยสัญชาตญาณและร่องรอยแห่งความคิดที่เป็นฟิสิกส์อย่างไม่หยุดยั้ง

ดังนั้นคำตอบของฉันต่อคุณก็คือแม้ว่ามันจะเป็นกรณีที่ความน่าจะเป็นเกี่ยวข้องกับประเภทของฟังก์ชั่นที่คุณอธิบายมันก็จะยังไม่ได้รับการศึกษาฟังก์ชั่นเหล่านั้น หรือเป็นทฤษฎีการวัดที่ใช้กับซับคลาสบางส่วนของการวัด ทฤษฎีความน่าจะเป็นเป็นสนามที่แตกต่างที่ศึกษาความน่าจะเป็นมันเชื่อมโยงกับโลกธรรมชาติผ่านการสลายตัวของกัมมันตภาพรังสีและกลศาสตร์ควอนตัมและก๊าซเป็นต้นหากเกิดขึ้นเพื่อให้ฟังก์ชั่นบางอย่างเหมาะสมกับแบบจำลองความน่าจะเป็น คุณสมบัติเช่นกัน แต่ในขณะที่ทำเช่นนั้นเราจะจับตาดูรางวัลหลัก - ความน่าจะเป็น

จริงบางส่วนก็ขาดเงื่อนไขที่สอง ความน่าจะเป็นเชิงลบไม่สมเหตุสมผล ดังนั้นฟังก์ชั่นเหล่านี้ต้องตอบสนองสองเงื่อนไข:

• การแจกแจงต่อเนื่อง:

  $$\int_{\mathcal{D}}f(x) dx = 1 \quad \text{and} \quad f(x)>0 \; \forall x \in \mathcal{D}$$

• การกระจายแบบไม่ต่อเนื่อง:

  $$\sum_{x \in \mathcal{D}}P(x) = 1 \quad \text{and} \quad 0<P(x) \leq 1 \; \forall x \in \mathcal{D}$$

โดยที่คือโดเมนที่กำหนดการแจกแจงความน่าจะเป็น$\mathcal{D}$

ฉันจะบอกว่าไม่ใช่นั่นไม่ใช่ทฤษฎีความน่าจะเป็นพื้นฐาน แต่ฉันจะพูดด้วยเหตุผลที่แตกต่างจากคำตอบอื่น ๆ

โดยพื้นฐานแล้วฉันจะบอกว่าทฤษฎีความน่าจะเป็นคือการศึกษาสองสิ่ง:

1. กระบวนการสโทแคสติกและ

2. การอนุมานแบบเบย์

กระบวนการสโตแคสติกประกอบด้วยสิ่งต่าง ๆ เช่นลูกเต๋ากลิ้งลูกบอลวาดจากโกศ ฯลฯ รวมถึงแบบจำลองที่ซับซ้อนยิ่งขึ้นที่พบในฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ การอนุมานแบบเบย์มีเหตุผลภายใต้ความไม่แน่นอนโดยใช้ความน่าจะเป็นเพื่อแสดงมูลค่าของปริมาณที่ไม่ทราบ

สองสิ่งนี้มีความสัมพันธ์กันอย่างใกล้ชิดมากกว่าที่จะปรากฏขึ้นในตอนแรก เหตุผลหนึ่งที่เราสามารถศึกษาพวกเขาภายใต้ร่มเดียวกันนั้นก็คือแง่มุมที่สำคัญของพวกเขาทั้งสองนั้นสามารถแสดงได้ว่าเป็นฟังก์ชั่นที่ไม่เป็นลบ แต่ความน่าจะเป็นไม่ใช่แค่การศึกษาหน้าที่เหล่านั้น - การตีความในแง่ของกระบวนการสุ่มและการอนุมานก็เป็นส่วนสำคัญของมันเช่นกัน

ตัวอย่างเช่นทฤษฎีความน่าจะเป็นรวมถึงแนวคิดเช่นความน่าจะเป็นตามเงื่อนไขและตัวแปรสุ่มและปริมาณเช่นเอนโทรปีข้อมูลร่วมกันและความคาดหวังและความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม ในขณะที่เราสามารถกำหนดสิ่งเหล่านี้ได้อย่างหมดจดในแง่ของฟังก์ชั่นที่ไม่ใช่เชิงลบปกติแรงจูงใจสำหรับการนี้จะดูแปลกสวยโดยไม่ต้องตีความในแง่ของกระบวนการสุ่มและการอนุมาน

ยิ่งไปกว่านั้นบางครั้งมีแนวคิดเกี่ยวกับทฤษฎีความน่าจะเป็นโดยเฉพาะอย่างยิ่งในด้านการอนุมานซึ่งไม่สามารถแสดงออกในรูปแบบของฟังก์ชันที่ไม่เป็นลบ สิ่งที่เรียกว่า "นักบวชที่ไม่เหมาะสม" มาที่นี่และ AdamO ให้การกระจายเสียงคันทอร์เป็นอีกตัวอย่างหนึ่ง

แน่นอนว่ามีบางพื้นที่ของทฤษฎีความน่าจะเป็นซึ่งความสนใจหลักอยู่ในคุณสมบัติทางคณิตศาสตร์ของฟังก์ชันที่ไม่เป็นลบแบบปกติซึ่งโดเมนแอพพลิเคชั่นทั้งสองที่ฉันกล่าวถึงไม่สำคัญ เมื่อเป็นกรณีนี้เรามักจะเรียกมันว่าวัดทฤษฎีมากกว่าทฤษฎีความน่าจะเป็น แต่ทฤษฎีความน่าจะเป็นยัง - แน่นอนฉันจะบอกว่าส่วนใหญ่ - สนามที่ใช้และการประยุกต์ของการแจกแจงความน่าจะเป็นในตัวเองเป็นองค์ประกอบที่ไม่น่าสนใจของสนาม