การแจกแจงและความแปรปรวนของจำนวนสามเหลี่ยมในกราฟสุ่ม


10

พิจารณาErdos-Renyiสุ่มกราฟ(P)) ชุดของจุดจะมีป้ายโดย\} ชุดของขอบถูกสร้างขึ้นโดยกระบวนการสุ่มn V V = { 1 , 2 , , n } EG=(V(n),E(p))nVV={1,2,,n}E

ให้เป็นความน่าจะเป็นจากนั้นแต่ละคู่ที่ไม่เรียงลำดับของจุดยอด ( ) เกิดขึ้นเป็นขอบในกับความน่าจะเป็นโดยไม่ขึ้นอยู่กับคู่อื่น ๆ0 < p < 1 { i , j } i j E pp0<p<1{i,j}ijEp

รูปสามเหลี่ยมในเป็นสามส่วนที่ไม่ได้เรียงลำดับของจุดยอดที่ชัดเจนเช่น , , และอยู่ในขอบ .{ i , j , k } { i , j } { j , k } { k , i } GG{i,j,k}{i,j}{j,k}{k,i}G

จำนวนสูงสุดของรูปสามเหลี่ยมเป็นไปได้คือ(n3){3} กำหนดตัวแปรสุ่มXจะเป็นนับสังเกตของรูปสามเหลี่ยมในรูปแบบของกราฟGG

น่าจะเป็นที่สามการเชื่อมโยงไปพร้อม ๆ กันในปัจจุบันคือp3 3 ดังนั้นมูลค่าที่คาดหวังของXจะได้รับโดยE(X)=(n3)p3 3 อย่างไร้เดียงสาใครอาจเดาได้ว่าความแปรปรวนนั้นได้รับจากE(X2)=(n3)p3(1p3)แต่นี่ไม่ใช่กรณี

รหัสMathematicaต่อไปนี้จำลองปัญหา:

n=50;
p=0.6;
t=100;
myCounts=Table[Length[FindCycle[RandomGraph[BernoulliGraphDistribution[n,p]],3,All]],{tt,1,t}];
N[Mean[myCounts]] // 4216. > similar to expected mean
Binomial[n,3]p^3 // 4233.6
N[StandardDeviation[myCounts]] // 262.078 > not similar to "expected" std
Sqrt[Binomial[n,3](p^3)(1-p^3)] // 57.612
Histogram[myCounts]

ความแปรปรวนของXคืออะไร

คำตอบ:


4

ให้ iffสร้างรูปสามเหลี่ยม จากนั้นและแต่ละ3) นี่คือสิ่งที่คุณใช้ในการคำนวณค่าที่คาดหวัง{ ฉัน, J , K } X = Σ ฉัน, J , k Y ฉันเจk Y ฉันเจk ~ B E R n o ยูลิตรลิตรฉัน( หน้า3 )Yijk=1{i,j,k}X=i,j,kYijkYijkBernoulli(p3)

สำหรับความแปรปรวนปัญหาคือว่าไม่เป็นอิสระ แน่นอนเขียน เราจำเป็นต้องคำนวณซึ่งเป็นความน่าจะเป็นที่สามเหลี่ยมทั้งสองมีอยู่ มีหลายกรณี: X 2 = Σ ฉัน, J , k Σ ฉัน' , J ' , k ' Y ฉันเจk Y ฉัน' J ' k ' E [ Y ฉันเจk Y ฉัน' J ' k ' ]Yijk

X2=i,j,ki,j,kYijkYijk.
E[YijkYijk]
  • หาก (เช่นเดียว 3 จุด) แล้ว 3 จะมีคำดังกล่าวในผลรวมคู่E [ Y ฉันj k Y ฉันj k ] = p 3 ( n{i,j,k}={i,j,k}E[YijkYijk]=p3(n3)
  • หากเซตและมีองค์ประกอบที่เหมือนกัน 2 ประการจากนั้นเราต้องการ 5 ขอบนำเสนอเพื่อรับสามเหลี่ยมสองรูปดังนั้น 5 จะมีข้อกำหนดดังกล่าวในผลรวม{ i , j , k } E [ Y ฉันj k Y ฉันj k ] = p 5 12 ( n{i,j,k}{i,j,k}E[YijkYijk]=p512(n4)
  • หากเซตและมี 1 องค์ประกอบที่เหมือนกันดังนั้นเราต้องมีขอบ 6 ขอบดังนั้น 6 จะมีข้อกำหนดเช่นนี้ในผลรวม{ i , j , k } E [ Y ฉันj k Y ฉันj k ] = p 6 30 ( n{i,j,k}{i,j,k}E[YijkYijk]=p630(n5)
  • หากเซตและมี 0 องค์ประกอบเหมือนกันเราต้องมีขอบ 6 ขอบดังนั้น 6 จะมีข้อกำหนดดังกล่าวในผลรวม{ i , j , k } E [ Y ฉันj k Y ฉันj k ] = p 6 20 ( n{i,j,k}{i,j,k}E[YijkYijk]=p620(n6)

เพื่อตรวจสอบว่าเราได้ครอบคลุมทุกกรณีทราบว่าผลรวมจะเพิ่มขึ้น{2}(n3)2

(n3)+12(n4)+30(n5)+20(n6)=(n3)2

ความทรงจำที่จะลบสแควร์ของค่าเฉลี่ยที่คาดไว้

E[X2]E[X]2=(n3)p3+12(n4)p5+30(n5)p6+20(n6)p6(n3)2p6

การใช้ค่าตัวเลขเดียวกันกับตัวอย่างของคุณรหัสRต่อไปนี้จะคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานซึ่งใกล้เคียงกับค่า 262 จากการจำลองของคุณอย่างสมเหตุสมผล

n=50
p=0.6
sqrt(choose(n, 3)*p^3+choose(n, 2)*(n-2)*(n-3)*p^5+(choose(n, 3)*choose(n-3, 3)+n*choose(n-1, 2)*choose(n-3, 2))*p^6-4233.6^2)
298.7945

รหัสMathematicaต่อไปนี้ยังคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานซึ่งให้ผลเหมือนกัน

mySTD[n_,p_]:=Sqrt[Binomial[n,3]p^3+12Binomial[n,4]p^5+30 Binomial[n,5]p^6+20Binomial[n,6]p^6-(Binomial[n,3]p^3)^2]
mySTD[50,0.6] // gives 298.795

2
ตรงไปตรงมาค่อนข้างจริง ทำได้ดี! ฉันได้อัปเดตคำตอบของคุณเล็กน้อยทำให้การแสดงออกง่ายขึ้นและเพิ่มรหัสMathematica ฉันยังใช้เวลาในการจำลอง 10k ครั้งและได้ค่ามาตรฐาน 295.37 ใกล้เคียงกับค่าที่คาดไว้มาก
LBogaardt

1
ขอบคุณสำหรับการแก้ไข ฉันดีใจที่การจำลองด้วยการซ้ำ 10k เป็นการยืนยันคำตอบ!
Robin Ryder

ฉันพบการอ้างอิงดั้งเดิมสำหรับกราฟกำกับ: Holland (1970) วิธีการตรวจสอบโครงสร้างในข้อมูลทางสังคม
LBogaardt

0

ผมให้แนวทางที่แตกต่างออกไปเล็กน้อยสืบมา{2}X2

ด้วยความแตกต่างของกรณีเดียวกันกับที่ Robin Ryder ทำ:

  • ถ้านั่นคือจุดยอด 3 จุดเหมือนกันดังนั้นเราต้องเลือกจุดยอด 3 จุดจาก n ที่เป็นไปได้ . เราจะต้องมี 3 ขอบปัจจุบัน {3} รวมกัน:{i,j,k}={i,j,k}(n3)p3(n3)p3

  • ถ้าและมีจุดยอดสองจุดเหมือนกันนั่นหมายความว่าซึ่งและในทางกลับกัน (แต่ละสามเหลี่ยมมีจุดยอดหนึ่งที่ไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมอื่น ๆ ) WLOG จินตนาการและเป็นที่กล่าวถึงจุดเนื่องและ = = J'เพื่อให้บรรลุ = =เราจะต้องเลือกเหมือนกันสองจุดจากที่เป็นไปได้ n{2} สำหรับ{i,j,k}{i,j,k}v{i,j,k}v{i,j,k}v=kv=kiijjiijj(n2)kkเราจะต้องเลือกจุดยอดที่เหลืออีกสองครั้ง ครั้งแรกที่หนึ่ง:และเป็นหนึ่งในสอง: (n-3)เพราะขอบและเหมือนกันเราจะต้องมี 5 ขอบนำเสนอ{5} รวมกัน:(n2)(n3){i,j}{i,j}p5(n2)(n2)(n3)p5

  • หากและมีจุดยอดเพียงจุดเดียวที่เหมือนกันดังนั้น 4 จะแยกกัน ลองนึกภาพ WLOG ที่ = ฉัน'ซึ่งหมายความว่าจากจุด n เป็นไปได้เราต้องเลือก 1n สำหรับรูปสามเหลี่ยมเราเลือก 2 จุดออกจากส่วนที่เหลือ{2} สำหรับรูปสามเหลี่ยมเราเลือก 2 ตัวจากส่วนที่เหลือนี่เป็นเพราะสมมติฐานที่ว่าและ\} เนื่องจากเรามีจุดสุดยอดร่วมกันเพียงหนึ่งเราจึงต้องมี 6 ขอบอยู่{i,j,k}{i,j,k}iin{i,j,k}(n1)(n12){i,j,k}(n3)(n32)j{i,j,k}k{i,j,k}p6{6} รวมกัน:n(n12)(n32)p6

  • สำหรับกรณีสุดท้าย: ถ้าและไม่มีจุดสุดยอดเหมือนกันดังนั้นรูปสามเหลี่ยมทั้งสองจะแยกกัน เราเลือกสามเหลี่ยมแรก 3 จุดจากที่เป็นไปได้ n{3} และสามเหลี่ยมสอง 3 จุดจากที่เหลือ{3} สามเหลี่ยมมีเนื่องคือพวกเขาแบ่งปันขอบและไม่มีจุดจึง 6 ขอบจะต้องนำเสนอ{6} รวมกัน:{i,j,k}{i,j,k}(n3)(n3)(n33)p6(n3)(n33)p6

ในแนวทางของ Robin Ryder เราสามารถตรวจสอบได้ว่า:

(n3)+(n2)(n2)(n3)+n(n12)(n32)+(n3)(n33)=(n3)2ถือ

นี่นำไปสู่:

Var[X]=E[X2]E[X]2=(n3)p3+(n2)(n2)(n3)p5+n(n12)(n32)p6+(n3)(n33)p6(n3)2p6.

โดยการใช้ไซต์ของเรา หมายความว่าคุณได้อ่านและทำความเข้าใจนโยบายคุกกี้และนโยบายความเป็นส่วนตัวของเราแล้ว
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.