ให้ iffสร้างรูปสามเหลี่ยม จากนั้นและแต่ละ3) นี่คือสิ่งที่คุณใช้ในการคำนวณค่าที่คาดหวัง{ ฉัน, J , K } X = Σ ฉัน, J , k Y ฉันเจk Y ฉันเจk ~ B E R n o ยูลิตรลิตรฉัน( หน้า3 )Yijk=1{i,j,k}X=∑i,j,kYijkYijk∼Bernoulli(p3)
สำหรับความแปรปรวนปัญหาคือว่าไม่เป็นอิสระ แน่นอนเขียน
เราจำเป็นต้องคำนวณซึ่งเป็นความน่าจะเป็นที่สามเหลี่ยมทั้งสองมีอยู่ มีหลายกรณี: X 2 = Σ ฉัน, J , k Σ ฉัน' , J ' , k ' Y ฉันเจk Y ฉัน' J ' k ' E [ Y ฉันเจk Y ฉัน' J ' k ' ]Yijk
X2=∑i,j,k∑i′,j′,k′YijkYi′j′k′.
E[YijkYi′j′k′]
- หาก (เช่นเดียว 3 จุด) แล้ว 3 จะมีคำดังกล่าวในผลรวมคู่E [ Y ฉันj k Y ฉัน′ j ′ k ′ ] = p 3 ( n{i,j,k}={i′,j′,k′}E[YijkYi′j′k′]=p3(n3)
- หากเซตและมีองค์ประกอบที่เหมือนกัน 2 ประการจากนั้นเราต้องการ 5 ขอบนำเสนอเพื่อรับสามเหลี่ยมสองรูปดังนั้น 5 จะมีข้อกำหนดดังกล่าวในผลรวม{ i ′ , j ′ , k ′ } E [ Y ฉันj k Y ฉัน′ j ′ k ′ ] = p 5 12 ( n{i,j,k}{i′,j′,k′}E[YijkYi′j′k′]=p512(n4)
- หากเซตและมี 1 องค์ประกอบที่เหมือนกันดังนั้นเราต้องมีขอบ 6 ขอบดังนั้น 6 จะมีข้อกำหนดเช่นนี้ในผลรวม{ i ′ , j ′ , k ′ } E [ Y ฉันj k Y ฉัน′ j ′ k ′ ] = p 6 30 ( n{i,j,k}{i′,j′,k′}E[YijkYi′j′k′]=p630(n5)
- หากเซตและมี 0 องค์ประกอบเหมือนกันเราต้องมีขอบ 6 ขอบดังนั้น 6 จะมีข้อกำหนดดังกล่าวในผลรวม{ i ′ , j ′ , k ′ } E [ Y ฉันj k Y ฉัน′ j ′ k ′ ] = p 6 20 ( n{i,j,k}{i′,j′,k′}E[YijkYi′j′k′]=p620(n6)
เพื่อตรวจสอบว่าเราได้ครอบคลุมทุกกรณีทราบว่าผลรวมจะเพิ่มขึ้น{2}(n3)2
(n3)+12(n4)+30(n5)+20(n6)=(n3)2
ความทรงจำที่จะลบสแควร์ของค่าเฉลี่ยที่คาดไว้
E[X2]−E[X]2=(n3)p3+12(n4)p5+30(n5)p6+20(n6)p6−(n3)2p6
การใช้ค่าตัวเลขเดียวกันกับตัวอย่างของคุณรหัสRต่อไปนี้จะคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานซึ่งใกล้เคียงกับค่า 262 จากการจำลองของคุณอย่างสมเหตุสมผล
n=50
p=0.6
sqrt(choose(n, 3)*p^3+choose(n, 2)*(n-2)*(n-3)*p^5+(choose(n, 3)*choose(n-3, 3)+n*choose(n-1, 2)*choose(n-3, 2))*p^6-4233.6^2)
298.7945
รหัสMathematicaต่อไปนี้ยังคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานซึ่งให้ผลเหมือนกัน
mySTD[n_,p_]:=Sqrt[Binomial[n,3]p^3+12Binomial[n,4]p^5+30 Binomial[n,5]p^6+20Binomial[n,6]p^6-(Binomial[n,3]p^3)^2]
mySTD[50,0.6] // gives 298.795