การแจกแจงและความแปรปรวนของจำนวนสามเหลี่ยมในกราฟสุ่ม

พิจารณาErdos-Renyiสุ่มกราฟ(P)) ชุดของจุดจะมีป้ายโดย\} ชุดของขอบถูกสร้างขึ้นโดยกระบวนการสุ่มn V V = { 1 , 2 , … , n } $G=(V(n),E(p))$$n$$V$$V = \{1,2,\ldots,n\}$$E$

ให้เป็นความน่าจะเป็นจากนั้นแต่ละคู่ที่ไม่เรียงลำดับของจุดยอด ( ) เกิดขึ้นเป็นขอบในกับความน่าจะเป็นโดยไม่ขึ้นอยู่กับคู่อื่น ๆ0 < p < 1 { i , j } i ≠ j E $p$$0<p<1$$\{i,j\}$$i \neq j$$E$$p$

รูปสามเหลี่ยมในเป็นสามส่วนที่ไม่ได้เรียงลำดับของจุดยอดที่ชัดเจนเช่น , , และอยู่ในขอบ .{ i , j , k } { i , j } { j , k } { k , i } $G$$\{i,j,k\}$$\{i,j\}$$\{j,k\}$$\{k,i\}$$G$

จำนวนสูงสุดของรูปสามเหลี่ยมเป็นไปได้คือ$\binom{n}{3}${3} กำหนดตัวแปรสุ่ม$X$จะเป็นนับสังเกตของรูปสามเหลี่ยมในรูปแบบของกราฟG$G$

น่าจะเป็นที่สามการเชื่อมโยงไปพร้อม ๆ กันในปัจจุบันคือ$p^3$ 3 ดังนั้นมูลค่าที่คาดหวังของ$X$จะได้รับโดย$E(X) = \binom{n}{3} p^3$ 3 อย่างไร้เดียงสาใครอาจเดาได้ว่าความแปรปรวนนั้นได้รับจาก$E(X^2) =\binom{n}{3} p^3 (1-p^3)$แต่นี่ไม่ใช่กรณี

รหัสMathematicaต่อไปนี้จำลองปัญหา:

n=50;
p=0.6;
t=100;
myCounts=Table[Length[FindCycle[RandomGraph[BernoulliGraphDistribution[n,p]],3,All]],{tt,1,t}];
N[Mean[myCounts]] // 4216. > similar to expected mean
Binomial[n,3]p^3 // 4233.6
N[StandardDeviation[myCounts]] // 262.078 > not similar to "expected" std
Sqrt[Binomial[n,3](p^3)(1-p^3)] // 57.612
Histogram[myCounts]

ความแปรปรวนของ$X$คืออะไร

ให้ iffสร้างรูปสามเหลี่ยม จากนั้นและแต่ละ3) นี่คือสิ่งที่คุณใช้ในการคำนวณค่าที่คาดหวัง{ ฉัน, J , K } X = Σ ฉัน, J , k Y ฉันเจk Y ฉันเจk ~ B E R n o ยูลิตรลิตรฉัน( หน้า3$Y_{ijk}=1$$\{i, j, k\}$$X=\sum_{i, j, k}Y_{ijk}$$Y_{ijk}\sim Bernoulli(p^3)$

สำหรับความแปรปรวนปัญหาคือว่าไม่เป็นอิสระ แน่นอนเขียน เราจำเป็นต้องคำนวณซึ่งเป็นความน่าจะเป็นที่สามเหลี่ยมทั้งสองมีอยู่ มีหลายกรณี: X 2 = Σ ฉัน, J , k Σ ฉัน' , J ' , k ' Y ฉันเจk Y ฉัน' J ' k ' E [ Y ฉันเจk Y ฉัน' J ' k '$Y_{ijk}$

$$X^2=\sum_{i, j, k}\sum_{i', j', k'}Y_{ijk}Y_{i'j'k'}.$$ $E[Y_{ijk}Y_{i'j'k'}]$

• หาก (เช่นเดียว 3 จุด) แล้ว 3 จะมีคำดังกล่าวในผลรวมคู่E [ Y ฉันj k Y ฉัน′ j ′ k ′ ] = p 3 ($\{i,j,k\}=\{i',j',k'\}$$E[Y_{ijk}Y_{i'j'k'}]=p^3$$\binom{n}{3}$
• หากเซตและมีองค์ประกอบที่เหมือนกัน 2 ประการจากนั้นเราต้องการ 5 ขอบนำเสนอเพื่อรับสามเหลี่ยมสองรูปดังนั้น 5 จะมีข้อกำหนดดังกล่าวในผลรวม{ i ′ , j ′ , k ′ } E [ Y ฉันj k Y ฉัน′ j ′ k ′ ] = p 5 12 ($\{i,j,k\}$$\{i',j',k'\}$$E[Y_{ijk}Y_{i'j'k'}]=p^5$$12 \binom{n}{4}$
• หากเซตและมี 1 องค์ประกอบที่เหมือนกันดังนั้นเราต้องมีขอบ 6 ขอบดังนั้น 6 จะมีข้อกำหนดเช่นนี้ในผลรวม{ i ′ , j ′ , k ′ } E [ Y ฉันj k Y ฉัน′ j ′ k ′ ] = p 6 30 ($\{i,j,k\}$$\{i',j',k'\}$$E[Y_{ijk}Y_{i'j'k'}]=p^6$$30 \binom{n}{5}$
• หากเซตและมี 0 องค์ประกอบเหมือนกันเราต้องมีขอบ 6 ขอบดังนั้น 6 จะมีข้อกำหนดดังกล่าวในผลรวม{ i ′ , j ′ , k ′ } E [ Y ฉันj k Y ฉัน′ j ′ k ′ ] = p 6 20 ($\{i,j,k\}$$\{i',j',k'\}$$E[Y_{ijk}Y_{i'j'k'}]=p^6$$20 \binom{n}{6}$

เพื่อตรวจสอบว่าเราได้ครอบคลุมทุกกรณีทราบว่าผลรวมจะเพิ่มขึ้น{2}$\binom{n}{3}^{2}$

$$\binom{n}{3} + 12 \binom{n}{4} + 30 \binom{n}{5} + 20 \binom{n}{6} = \binom{n}{3}^{2}$$

ความทรงจำที่จะลบสแควร์ของค่าเฉลี่ยที่คาดไว้

$$E[X^2] - E[X]^2 = \binom{n}{3} p^3 + 12 \binom{n}{4} p^5 + 30 \binom{n}{5} p^6 + 20 \binom{n}{6} p^6 - \binom{n}{3}^2 p^6$$

การใช้ค่าตัวเลขเดียวกันกับตัวอย่างของคุณรหัสRต่อไปนี้จะคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานซึ่งใกล้เคียงกับค่า 262 จากการจำลองของคุณอย่างสมเหตุสมผล

n=50
p=0.6
sqrt(choose(n, 3)*p^3+choose(n, 2)*(n-2)*(n-3)*p^5+(choose(n, 3)*choose(n-3, 3)+n*choose(n-1, 2)*choose(n-3, 2))*p^6-4233.6^2)
298.7945

รหัสMathematicaต่อไปนี้ยังคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานซึ่งให้ผลเหมือนกัน

mySTD[n_,p_]:=Sqrt[Binomial[n,3]p^3+12Binomial[n,4]p^5+30 Binomial[n,5]p^6+20Binomial[n,6]p^6-(Binomial[n,3]p^3)^2]
mySTD[50,0.6] // gives 298.795

ผมให้แนวทางที่แตกต่างออกไปเล็กน้อยสืบมา{2}$\mathrm{X}^{2}$

ด้วยความแตกต่างของกรณีเดียวกันกับที่ Robin Ryder ทำ:

• ถ้านั่นคือจุดยอด 3 จุดเหมือนกันดังนั้นเราต้องเลือกจุดยอด 3 จุดจาก n ที่เป็นไปได้ . เราจะต้องมี 3 ขอบปัจจุบัน {3} รวมกัน:$\{i, j, k\} = \{i', j', k'\}$$\Rightarrow \binom{n}{3}$$\Rightarrow \mathrm{p}^{3}$$\binom{n}{3}\mathrm{p}^{3}$

• ถ้าและมีจุดยอดสองจุดเหมือนกันนั่นหมายความว่าซึ่งและในทางกลับกัน (แต่ละสามเหลี่ยมมีจุดยอดหนึ่งที่ไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมอื่น ๆ ) WLOG จินตนาการและเป็นที่กล่าวถึงจุดเนื่องและ = = J'เพื่อให้บรรลุ = =เราจะต้องเลือกเหมือนกันสองจุดจากที่เป็นไปได้ n{2} สำหรับ$\{i, j, k\}$$\{i', j', k'\}$$\exists v \in \{i, j, k\}$$v \notin \{i', j', k'\}$$v = k$$v' = k'$$i$$i'$$j$$j'$$i$$i'$$j$$j'$$\Rightarrow \binom{n}{2}$$k \neq k'$เราจะต้องเลือกจุดยอดที่เหลืออีกสองครั้ง ครั้งแรกที่หนึ่ง:และเป็นหนึ่งในสอง: (n-3)เพราะขอบและเหมือนกันเราจะต้องมี 5 ขอบนำเสนอ{5} รวมกัน:$(n-2)$$(n-3)$$\{i, j\}$$\{i', j'\}$$\Rightarrow \mathrm{p}^{5}$$\binom{n}{2}(n-2)(n-3)\mathrm{p}^{5}$

• หากและมีจุดยอดเพียงจุดเดียวที่เหมือนกันดังนั้น 4 จะแยกกัน ลองนึกภาพ WLOG ที่ = ฉัน'ซึ่งหมายความว่าจากจุด n เป็นไปได้เราต้องเลือก 1n สำหรับรูปสามเหลี่ยมเราเลือก 2 จุดออกจากส่วนที่เหลือ{2} สำหรับรูปสามเหลี่ยมเราเลือก 2 ตัวจากส่วนที่เหลือนี่เป็นเพราะสมมติฐานที่ว่าและ\} เนื่องจากเรามีจุดสุดยอดร่วมกันเพียงหนึ่งเราจึงต้องมี 6 ขอบอยู่$\{i, j, k\}$$\{i', j', k'\}$$i$$i'$$\Rightarrow n$$\{i, j, k\}$$(n-1) \Rightarrow \binom{n-1}{2}$$\{i', j', k'\}$$(n-3) \Rightarrow \binom{n-3}{2}$$j'\notin\{i, j, k\}$$k'\notin\{i, j, k\}$$\Rightarrow \mathrm{p}^{6}${6} รวมกัน:$n\binom{n-1}{2}\binom{n-3}{2}\mathrm{p}^{6}$

• สำหรับกรณีสุดท้าย: ถ้าและไม่มีจุดสุดยอดเหมือนกันดังนั้นรูปสามเหลี่ยมทั้งสองจะแยกกัน เราเลือกสามเหลี่ยมแรก 3 จุดจากที่เป็นไปได้ n{3} และสามเหลี่ยมสอง 3 จุดจากที่เหลือ{3} สามเหลี่ยมมีเนื่องคือพวกเขาแบ่งปันขอบและไม่มีจุดจึง 6 ขอบจะต้องนำเสนอ{6} รวมกัน:$\{i, j, k\}$$\{i', j', k'\}$$\Rightarrow \binom{n}{3}$$(n-3)$$\Rightarrow \binom{n-3}{3}$$\Rightarrow \mathrm{p}^{6}$$\binom{n}{3}\binom{n-3}{3}\mathrm{p}^{6}$

ในแนวทางของ Robin Ryder เราสามารถตรวจสอบได้ว่า:

$\binom{n}{3} + \binom{n}{2}(n-2)(n-3) + n\binom{n-1}{2}\binom{n-3}{2} + \binom{n}{3}\binom{n-3}{3} = \mathrm{\binom{n}{3}}^{2}$ถือ

นี่นำไปสู่:

$Var[X] = E[\mathrm{X}^{2}] - \mathrm{E[X]}^{2} = \binom{n}{3}\mathrm{p}^{3} + \binom{n}{2}(n-2)(n-3)\mathrm{p}^{5} + n\binom{n-1}{2}\binom{n-3}{2}\mathrm{p}^{6} + \binom{n}{3}\binom{n-3}{3}\mathrm{p}^{6} - \mathrm{\binom{n}{3}}^{2}\mathrm{p}^{6}.$