ค่าที่คาดหวังของตัวกำหนดล็อกของเมทริกซ์ Wishart

ให้คือกระจายตามกระจายมิติริชาร์ตที่มีค่าเฉลี่ยและองศาอิสระνฉันต้องการนิพจน์สำหรับโดยที่เป็นตัวกำหนด $\Lambda \sim \mathcal W_D(\nu, \Psi)$ $D \times D$ $\nu \Psi$ $\nu$ $E(\log |\Lambda|)$ $|\Lambda|$

ฉันขอคำตอบเล็กน้อยจาก google และได้รับข้อมูลที่ขัดแย้งกันบ้าง บทความนี้ระบุว่า โดยที่หมายถึงฟังก์ชั่น digamma

E (\log | Λ |) = D \log 2 + \log | Ψ | + \sum_{i = 1}^{D} ψ (\frac{ν - i + 1}{2})

$E(\log|\Lambda|) = D \log 2 + \log |\Psi| + \sum_{i = 1} ^ D \psi\left(\frac{\nu - i + 1} 2\right)$

ψ (\cdot)

$\psi(\cdot)$

\frac{d}{d x} \log Γ (x)

$\frac d {dx} \log \Gamma(x)$ ; กระดาษไม่ได้ให้แหล่งข้อมูลสำหรับข้อเท็จจริงนี้เท่าที่ฉันสามารถบอกได้ นี่เป็นสูตรที่ใช้ในหน้าวิกิพีเดียสำหรับ Wishartซึ่งเป็นเว็บไซต์ที่ข้อความการจดจำรูปแบบของ Bishop

ในทางกลับกัน Google ก็เปิดการสนทนานี้ด้วยเอกสารที่เชื่อมโยงซึ่งระบุว่า

ν^{D} \frac{| Λ |}{| Ψ |} \sim χ_{ν}^{2} χ_{ν - 1}^{2} \dots χ_{ν - D + 1}^{2} . (†)

$\nu^D \frac{|\Lambda|}{|\Psi|} \sim \chi^2_\nu \chi^2_{\nu - 1} \cdots\chi^2_{\nu - D + 1}. \qquad (\dagger)$

E (\log | Λ |) = D \log 2 - D \log ν + \log | Ψ | + \sum_{i = 1}^{D} ψ (\frac{ν - i + 1}{2})

$E(\log | \Lambda|) = D \log 2 - D \log \nu + \log |\Psi| + \sum_{i = 1} ^ D \psi\left(\frac{\nu - i + 1} 2\right)$

E (\log χ_{ν}^{2}) = \log (2) + ψ (ν / 2)

$E(\log \chi^2_\nu) = \log(2) + \psi(\nu /2)$

(†)

$(\dagger)$

- D \log ν

$-D\log\nu$

distributions wishart

— ผู้ชาย
แหล่งที่มา

As I was getting ready to post this, I was able to answer my own question. In accordance with general StackExchange etiquette I've decided to post it anyways in hopes that someone else who runs into this problem might find this in the future, possibly after running into the same issues with sources that I did. I've decided to answer it immediately so that no one wastes time on it since the solution isn't interesting.

$(\dagger)$ is wrong, because the paper linked to in the discussion was using a different parametrization of the Wishart; this wasn't noticed by the discussants. What we should actually have is

\frac{| Λ |}{| Ψ |} \sim χ_{ν}^{2} χ_{ν - 1}^{2} \dots χ_{ν - D + 1}^{2} . († †)

$\frac{|\Lambda|}{|\Psi|} \sim \chi^2_\nu \chi^2_{\nu - 1} \cdots\chi^2_{\nu - D + 1}. \qquad (\dagger\dagger)$ After this correction, the two formulas lead to the same answer.

At any rate, I think think $(\dagger\dagger)$ is an interesting relationship.

EDIT:

Following probabilisticlogic's advice we can write $\Lambda \stackrel d = \Psi^{1/2} L L^T \Psi^{1/2}$ where lower triangular $L$ has $N(0, 1)$ elements off the diagonal and $\sqrt{\chi^2_{\nu - i + 1}}, (i = 1, ..., D)$ elements on the diagonal. Taking the determinent of both sides gives $(\dagger\dagger)$ immediately.

— guy
แหล่งที่มา

I like the Cholesky version better - you have square root of chi-square on the diagonal and standard normal on the lower triangle.

— probabilityislogic

@probabilityislogic Thanks for the tip! Remembering it like that seems easier and more useful.

— guy

Hey I'm trying to derive the expectation of the log Wishart (stated in Bishop's book), that looks complicated, did you find any source to derive the result?

— avocado