การค้นหาความหนาแน่นส่วนต่างของ

ตามที่ชื่อบอกว่าฉันกำลังมองหาความหนาแน่นของ

จนถึงตอนนี้ฉันได้พบ $c$ เป็น $\frac{3}{2 \pi}$. ฉันคิดออกว่าผ่านการแปลง$f(x,y)$ เป็นพิกัดเชิงขั้วและรวมเข้าด้วยกัน $drd\theta$ซึ่งเป็นเหตุผลที่ฉันติดอยู่ในส่วนความหนาแน่นเล็กน้อย ฉันรู้แล้ว$f_x(x) = \int_{-\infty}^\infty f(x,y)dy$แต่ฉันไม่แน่ใจว่าจะแก้ปัญหาอย่างไรโดยไม่ได้รับอินทิกรัลยุ่งขนาดใหญ่และฉันรู้ว่าคำตอบนั้นไม่ควรจะเป็นอินทิกรัลยุ่งขนาดใหญ่ มันเป็นไปได้ที่จะหาแทน$F(x,y)$แล้วจึงนำ $\frac{dF}{dx}$ การค้นหา $f_x(x)$? ดูเหมือนจะเป็นวิธีที่ใช้งานง่าย แต่ฉันไม่สามารถหาอะไรในตำราเรียนของฉันที่ระบุความสัมพันธ์เหล่านั้นดังนั้นฉันจึงไม่ต้องการตั้งสมมติฐานที่ผิด

เรขาคณิตช่วยได้ที่นี่ กราฟของ$f$เป็นโดมทรงกลมของหน่วยรัศมี (ตามมาทันทีที่ปริมาตรเท่ากับครึ่งหนึ่งของทรงกลมหน่วย$(4 \pi /3)/2$ดังนั้น $c=3/(2 \pi)$.) ความหนาแน่นส่วนเพิ่มจะถูกกำหนดโดยพื้นที่ของส่วนตัดขวางตามแนวตั้งผ่านทรงกลมนี้ เห็นได้ชัดว่าหน้าตัดแต่ละส่วนเป็นครึ่งวงกลม: เพื่อให้ได้ความหนาแน่นของขอบพบว่ารัศมีเป็นฟังก์ชันของตัวแปรที่เหลือและใช้สูตรสำหรับพื้นที่ของวงกลม การทำให้ฟังก์ชั่น univariate ที่ทำให้หน่วยพื้นที่เปลี่ยนเป็นความหนาแน่นเป็นปกติ