ทฤษฎีบท Halmos-โหดกล่าวว่าสำหรับแบบจำลองทางสถิติเด่นสถิติก็เพียงพอแล้วถ้า (และถ้ามี) สำหรับทุกมีรุ่น -measurable ของเรดอน Nikodym อนุพันธ์ที่เป็น ตัวชี้วัดที่มีสิทธิพิเศษดังกล่าวที่สำหรับและP $(\Omega, \mathscr A, \mathscr P)$ $T: (\Omega, \mathscr A, \mathscr P)\to(\Omega', \mathscr A')$ $\{P \in \mathscr{P} \}$ $T$ $\frac{dP}{dP*}$ $dP*$ $P*=\sum_{i=1}^\infty P_i c_i$ $c_i >0, \sum _{i=1}^\infty c_i =1$ $P_i \in \mathscr P$

ฉันพยายามเข้าใจอย่างถ่องแท้ว่าทำไมทฤษฎีบทถึงเป็นจริง แต่ฉันก็ไม่ประสบความสำเร็จดังนั้นคำถามของฉันคือว่ามีวิธีที่เข้าใจได้ง่ายหรือไม่

— เซบาสเตียน
แหล่งที่มา

ฉันเชื่อว่าฉันมีลิงค์ที่ถูกต้องที่นี่ โปรดตรวจสอบ & ลบมันถ้าฉันทำผิด

— gung - Reinstate Monica

อาจช่วยผู้อ่านด้วยคำศัพท์เช่นกำหนด "โมเดลทางสถิติที่โดดเด่น", " measurability" และ "มาตรการพิเศษ"

T

$T$

— Carl

บทแทรกทางเทคนิค

ฉันไม่แน่ใจว่ามันใช้งานง่ายเพียงใด แต่ผลลัพธ์ทางเทคนิคหลักที่อ้างอิงถึงทฤษฎีบท Halmos-Savage ของคุณมีดังต่อไปนี้:

บทแทรก Letเป็น -finite มาตรการ{A}) สมมติว่าคือชุดของมาตรการเช่นว่าสำหรับทุก ,\ จากนั้นก็มีลำดับหมายเลข nonnegativeและลำดับขององค์ประกอบของ ,เช่นนั้นและทุก\ $\mu$ $\sigma$ $(S, \mathcal{A})$ $\aleph$ $(S, \mathcal{A})$ $\nu \in \aleph$ $\nu \ll \mu$ $\{c_i\}_{i=1}^\infty$ $\aleph$ $\{\nu_i\}_{i=1}^\infty$ $\sum_{i=1}^\infty c_i = 1$ $\nu \ll \sum_{i=1}^\infty c_i \nu_i$ $\nu \in \aleph$

นี้ถูกนำมาคำต่อคำจากทฤษฎีบท A.78 ในSchervish ของทฤษฎีสถิติ (1995) ในนั้นเขาได้กล่าวถึงคุณลักษณะของHypotheses การทดสอบทางสถิติของ Lehmann (1986) ( ลิงก์ไปยังรุ่นที่สาม ) ซึ่งผลมาจากHalmos และ Savageเอง (ดูบทที่ 7) อีกหนึ่งการอ้างอิงที่ดีคือสถิติทางคณิตศาสตร์ของ Shao (ฉบับที่สองปี 2003)ซึ่งผลลัพธ์ที่เกี่ยวข้องคือ Lemma 2.1 และ Theorem 2.2

บทแทรกข้างต้นระบุว่าหากคุณเริ่มต้นด้วยตระกูลของมาตรการที่ควบคุมโดย -finite วัดแล้วในความเป็นจริงคุณสามารถแทนที่การวัดที่มีอำนาจโดยการรวมกันนูนของมาตรการจากภายในครอบครัว Schervish เขียนก่อนระบุทฤษฎีบท A.78 $\sigma$

"ในแอปพลิเคชันทางสถิติเรามักจะมีคลาสของการวัดซึ่งแต่ละอย่างต่อเนื่องอย่างแน่นอนด้วยความเคารพ -finite วัดมันคงจะดีถ้าวัดที่มีอำนาจเหนือเดียวอยู่ในระดับเดิมหรืออาจสร้างจาก ชั้นเรียนทฤษฎีบทต่อไปนี้แก้ปัญหานี้ " $\sigma$

ตัวอย่างคอนกรีต

สมมติว่าเราใช้การวัดของปริมาณซึ่งเราเชื่อว่าจะต้องมีการกระจายอย่างสม่ำเสมอในช่วงสำหรับบางคนที่ไม่รู้จัก0 ในปัญหาทางสถิตินี้เราจะพิจารณาโดยปริยายชุดของโบเรลเป็นมาตรการในซึ่งประกอบด้วยการกระจายสม่ำเสมอในช่วงเวลาทั้งหมดของแบบฟอร์มtheta] นั่นคือถ้าหมายถึงการวัด Lebesgue และสำหรับ ,แสดงถึงการการกระจาย (เช่น $X$ $[0, \theta]$ $\theta > 0$ $\mathcal{P}$ $\mathbb{R}$ $[0, \theta]$ $\lambda$ $\theta > 0$ $P_\theta$ $\operatorname{Uniform}([0, \theta])$

P_{θ} (A) = \frac{1}{θ} λ (A \cap [0, θ]) = \int_{A} \frac{1}{θ} 1_{[0, θ]} (x) d x

$P_\theta(A) = \frac{1}{\theta} \lambda(A \cap [0, \theta]) = \int_A \frac{1}{\theta} \mathbf{1}_{[0, \theta]}(x) \, dx$ สำหรับทุก Borel ) จากนั้นเราก็มี นี้เป็นชุดของการกระจายผู้สมัครสำหรับการวัดของเราX

A \subseteq R

$A \subseteq \mathbb{R}$

P = {P_{θ} : θ > 0} .

$\mathcal{P} = \{P_\theta : \theta > 0\}.$

X

$X$

ครอบครัวเด่นชัดโดย Lebesgue วัด (ซึ่งคือสิ้นสุด) ดังนั้นบทแทรกเหนือ (กับ ) รับประกันการมีอยู่ของลำดับของตัวเลข nonnegative รวมกับและลำดับของเครื่องแบบกระจายในเช่นนั้น สำหรับแต่ละ0 ในตัวอย่างนี้เราสามารถสร้างลำดับดังกล่าวอย่างชัดเจน! $\mathcal{P}$ $\lambda$ $\sigma$ $\aleph = \mathcal{P}$ $\{c_i\}_{i=1}^\infty$ $1$ $\{Q_i\}_{i=1}^\infty$ $\mathcal{P}$

P_{θ} ≪ \sum_{i = 1}^{\infty} c_{i} Q_{i}

$P_\theta \ll \sum_{i=1}^\infty c_i Q_i$

θ > 0

$\theta > 0$

อันดับแรกให้จะนับของตัวเลขที่มีเหตุผลในเชิงบวก ( นี้สามารถทำได้อย่างชัดเจน ) และให้สำหรับแต่ละฉันถัดไปให้เพื่อให้1 ฉันอ้างว่าการรวมกันของและทำงานได้ $(\theta_i)_{i=1}^\infty$ $Q_i = P_{\theta_i}$ $i$ $c_i = 2^{-i}$ $\sum_{i=1}^\infty c_i = 1$ $\{c_i\}_{i=1}^\infty$ $\{Q_i\}_{i=1}^\infty$

ที่เห็นนี้แก้ไขและให้เป็นส่วนหนึ่งของ Borelเช่นว่า0 เราจำเป็นต้องแสดงให้เห็นว่า0 ตั้งแต่และแต่ละตัวตั้งไม่สามารถลบมันตามที่สำหรับแต่ละฉันนอกจากนี้เนื่องจากแต่ละเป็นบวกก็ต่อว่าสำหรับแต่ละฉันนั่นคือสำหรับเรามี เนื่องจากแต่ละ $\theta > 0$ $A$ $\mathbb{R}$ $\sum_{i=1}^\infty c_i Q_i(A) = 0$ $P_\theta(A) = 0$ $\sum_{i=1}^\infty c_i Q_i(A) = 0$ $c_i Q_i(A) = 0$ $i$ $c_i$ $Q_i(A) = 0$ $i$ $i$

Q_{i} (A) = P_{θ_{i}} (A) = \frac{1}{θ_{i}} λ (A \cap [0, θ_{i}]) = 0.

$Q_i(A) = P_{\theta_i}(A) = \frac{1}{\theta_i} \lambda(A \cap [0, \theta_i]) = 0.$

θ_{i}

$\theta_i$ เป็นบวกก็ต่อว่าสำหรับแต่ละฉัน

λ (A \cap [0, θ_{i}]) = 0

$\lambda(A \cap [0, \theta_i]) = 0$

i

$i$

ตอนนี้เลือกการเรียงต่อกันของที่เข้าหาจากด้านบน (สามารถทำได้ เนื่องจากหนาแน่นใน ) จากนั้นเป็นดังนั้นโดยความต่อเนื่องของการวัดเราสรุปได้ว่า และอื่น ๆ0 สิ่งนี้พิสูจน์ข้อเรียกร้อง $\{\theta_{i_k}\}_{k=1}^\infty$ $\{\theta_i\}_{i=1}^\infty$ $\theta$ $\mathbb{Q}$ $\mathbb{R}$ $A \cap [0, \theta_{\theta_{i_k}}] \downarrow A \cap [0, \theta]$ $k \to \infty$

λ (A \cap [0, θ]) = lim_{k \to \infty} λ (A \cap [0, θ_{i_{k}}]) = 0,

$\lambda(A \cap [0, \theta]) = \lim_{k \to \infty} \lambda(A \cap [0, \theta_{i_k}]) = 0,$

P_{θ} (A) = 0

$P_\theta(A) = 0$

ดังนั้นในตัวอย่างนี้เราสามารถสร้างชุดค่าความน่าจะเป็นนูนที่นับได้จากตระกูลที่เราปกครองซึ่งยังครองทั้งครอบครัวไว้อย่างชัดเจน เลมม่าด้านบนรับประกันได้ว่าสิ่งนี้สามารถทำได้สำหรับครอบครัวที่ถูกครอบงำ (อย่างน้อยตราบใดที่มาตรการการปกครองคือสิ้นสุด) $\sigma$

ทฤษฎีบท Halmos-Savage

ดังนั้นตอนนี้ถึงทฤษฎีบท Halmos-Savage (ซึ่งฉันจะใช้สัญกรณ์แตกต่างกันเล็กน้อยกว่าในคำถามเนื่องจากการตั้งค่าส่วนตัว) ให้ทฤษฎีบท Halmos-Savage ทฤษฎีบทการแยกตัวประกอบฟิชเชอร์ - เนย์แมนเป็นเพียงแอปพลิเคชั่นหนึ่งของบทแทรก Doob-Dynkin และกฎลูกโซ่สำหรับอนุพันธ์เรดอน - นิโคดีออกไป!

ทฤษฎีบท Halmos-Savage ปล่อยเป็นแบบจำลองทางสถิติที่โดดเด่น (หมายถึงเป็นชุดของความน่าจะเป็นมาตรการและมีสิ้นสุดการวัดบนเช่นนั้นสำหรับทั้งหมด ปล่อยให้เป็นฟังก์ชันที่วัดได้ที่เป็นมาตรฐาน Borel ช่องว่าง จากนั้นต่อไปนี้จะเทียบเท่า: $(\mathcal{X}, \mathcal{B}, \mathcal{P})$ $\mathcal{P}$ $\mathcal{B}$ $\sigma$ $\mu$ $\mathcal{B}$ $P \ll \mu$ $P \in \mathcal{P}$ $T : (\mathcal{X}, \mathcal{B}) \to (\mathcal{T}, \mathcal{C})$ $(T, \mathcal{C})$

$T$ เพียงพอสำหรับ (หมายความว่ามีความน่าจะเป็นเคอร์เนลเช่นนั้นเป็นรุ่นของสำหรับและทั้งหมด $\mathcal{P}$ $r : \mathcal{B} \times \mathcal{T} \to [0, 1]$ $r(B, T)$ $P(B \mid T)$ $B \in \mathcal{B}$ $P \in \mathcal{P}$

มีลำดับของตัวเลขที่ไม่ใช่ค่าลบเช่นและลำดับของความน่าจะเป็นมาตรการในเช่นสำหรับทั้งหมดที่และ สำหรับแต่ละมีอยู่รุ่น -measurable ของ * $\{c_i\}_{i=1}^\infty$ $\sum_{i=1}^\infty c_i = 1$ $\{P_i\}_{i=1}^\infty$ $\mathcal{P}$ $P \ll P^*$ $P \in \mathcal{P}$ $P^* = \sum_{i=1}^\infty c_i P_i$ $P \in \mathcal{P}$ $T$ $dP/dP^*$

พิสูจน์ โดยบทแทรกข้างต้นเราอาจแทนที่โดยสำหรับบางลำดับของตัวเลขที่ไม่จำเป็นเช่นนั้นและลำดับของมาตรการความน่าจะเป็นใน{P} $\mu$ $P^* = \sum_{i=1}^\infty c_i P_i$ $\{c_i\}_{i=1}^\infty$ $\sum_{i=1}^\infty c_i = 1$ $\{P_i\}_{i=1}^\infty$ $\mathcal{P}$

(1. หมายถึง 2. ) สมมติว่าเพียงพอ จากนั้นเราจะต้องแสดงให้เห็นว่ามีรุ่น -measurable ของสำหรับทุก{P} ให้คือเคอร์เนลความน่าจะเป็นในประโยคของทฤษฎี สำหรับแต่ละและเรามี ดังนั้นเป็นรุ่นสำหรับทั้งหมด $T$ $T$ $dP/dP^*$ $P \in \mathcal{P}$ $r$ $A \in \sigma(T)$ $B \in \mathcal{B}$

\begin{aligned} P^{*} (A \cap B) & = \sum_{i = 1}^{\infty} c_{i} P_{i} (A \cap B) \\ = \sum_{i = 1}^{\infty} c_{i} \int_{A} P_{i} (B ∣ T) d P_{i} \\ = \sum_{i = 1}^{\infty} c_{i} \int_{A} r (B, T) d P_{i} \\ = \int_{A} r (B, T) d P^{*} . \end{aligned}

$\begin{aligned} P^*(A \cap B) &= \sum_{i=1}^\infty c_i P_i(A \cap B) \\ &= \sum_{i=1}^\infty c_i \int_A P_i(B \mid T) \, dP_i \\ &= \sum_{i=1}^\infty c_i \int_A r(B, T) \, dP_i \\ &= \int_A r(B, T) \, dP^*. \end{aligned}$

r (B, T)

$r(B, T)$

P^{*} (B ∣ T)

$P^*(B \mid T)$

B \in B

$B \in \mathcal{B}$

สำหรับแต่ละให้แสดงรุ่นของ Radon-Nikodym อนุพันธ์บนพื้นที่ที่วัดได้ (โดยเฉพาะอย่างยิ่งคือวัดได้) ดังนั้นสำหรับและเรามี ดังนั้นในความเป็นจริงคือ $P \in \mathcal{P}$ $f_P$ $dP/dP^*$ $(\mathcal{X}, \sigma(T))$ $f_P$ $T$ $B \in \mathcal{B}$ $P \in \mathcal{P}$

\begin{aligned} P (B) & = \int_{X} P (B ∣ T) d P \\ = \int_{X} r (B, T) d P \\ = \int_{X} r (B, T) f_{P} d P^{*} \\ = \int_{X} P^{*} (B ∣ T) f_{P} d P^{*} \\ = \int_{X} E_{P^{*}} [1_{B} f_{P} ∣ T] d P^{*} \\ = \int_{B} f_{P} d P^{*} . \end{aligned}

$\begin{aligned} P(B) &= \int_{\mathcal{X}} P(B \mid T) \, dP \\ &= \int_{\mathcal{X}} r(B, T) \, dP \\ &= \int_{\mathcal{X}} r(B, T) f_P \, dP^* \\ &= \int_{\mathcal{X}} P^*(B \mid T) f_P \, dP^* \\ &= \int_{\mathcal{X}} E_{P^*}[\mathbf{1}_B f_P \mid T] \, dP^* \\ &= \int_B f_P \, dP^*. \end{aligned}$

f_{P}

$f_P$

T

$T$ รุ่น -measurable ของบน{B}) นี่เป็นการพิสูจน์ว่าเงื่อนไขแรกของทฤษฎีบทมีความหมายอย่างที่สอง

d P / d P^{*}

$dP/dP^*$

(X, B)

$(\mathcal{X}, \mathcal{B})$

(2 หมายถึง 1. ) สมมติว่าหนึ่งสามารถเลือก -measurable รุ่นของสำหรับแต่ละ{P} สำหรับแต่ละปล่อยให้แสดงถึงรุ่นที่เฉพาะเจาะจงของ (เช่นเป็นฟังก์ชันดังกล่าวที่เป็นรุ่น ) เนื่องจากเป็นพื้นที่ Borel มาตรฐานเราอาจเลือกในลักษณะที่ทำให้เคอร์เนลน่าจะเป็น (ดูตัวอย่างเช่นทฤษฎีบท B.32 ในทฤษฎีสถิติของ Schervish (1995)) เราจะแสดงให้เห็นว่า $T$ $f_P$ $dP/dP^*$ $P \in \mathcal{P}$ $B \in \mathcal{B}$ $r(B, t)$ $P^*(B \mid T = t)$ $r(B, t)$ $r(B, T)$ $P^*(B \mid T)$ $(T, \mathcal{C})$ $r$ $r(B, T)$ เป็นรุ่นสำหรับและใด ๆ ดังนั้นให้และได้รับ จากนั้นสำหรับเรามี สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่าเป็นรุ่นของสำหรับและและการพิสูจน์คือ เสร็จแล้ว $P(B \mid T)$ $P \in \mathcal{P}$ $B \in \mathcal{B}$ $A \in \sigma(T)$ $B \in \mathcal{B}$ $P \in \mathcal{P}$

\begin{aligned} P (A \cap B) & = \int_{A} 1_{B} f_{P} d P^{*} \\ = \int_{A} E_{P^{*}} [1_{B} f_{P} ∣ T] d P^{*} \\ = \int_{A} P^{*} (B ∣ T) f_{P} d P^{*} \\ = \int_{A} r (B, T) f_{P} d P^{*} \\ = \int_{A} r (B, T) d P . \end{aligned}

$\begin{aligned} P(A \cap B) &= \int_A \mathbf{1}_B f_P \, dP^* \\ &= \int_A E_{P^*}[\mathbf{1}_B f_P \mid T] \, dP^* \\ &= \int_A P^*(B \mid T) f_P \, dP^* \\ &= \int_A r(B, T) f_P \, dP^* \\ &= \int_A r(B, T) \, dP. \end{aligned}$

r (B, T)

$r(B, T)$

P (B ∣ T)

$P(B \mid T)$

P \in P

$P \in \mathcal{P}$

B \in B

$B \in \mathcal{B}$

สรุป. ผลลัพธ์ทางเทคนิคที่สำคัญที่อ้างอิงทฤษฎีบท Halmos-Savage ดังที่นำเสนอในที่นี้คือความจริงที่ว่าตระกูลความน่าจะเป็นของการวัดความน่าจะเป็นจริงโดยการรวมกันของการวัดความน่าจะเป็นนูนออกจากครอบครัว จากผลดังกล่าวส่วนที่เหลือของทฤษฎีบท Halmos-Savage ส่วนใหญ่เป็นเพียงการจัดการกับคุณสมบัติพื้นฐานของอนุพันธ์ Radon-Nikodym และความคาดหวังตามเงื่อนไข

— Artem Mavrin
แหล่งที่มา

ความเข้าใจง่ายของทฤษฎีบท Halmos-Savage

บทแทรกทางเทคนิค

ตัวอย่างคอนกรีต

ทฤษฎีบท Halmos-Savage