พิสูจน์ว่าขณะสร้างฟังก์ชันทำหน้าที่พิจารณาการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบไม่ซ้ำกัน

ข้อความของ Wackerly et al ได้กล่าวถึงทฤษฎีบทนี้ว่า "ให้และแสดงถึงช่วงเวลาที่สร้างฟังก์ชันของตัวแปรสุ่ม X และ Y ตามลำดับหากมีทั้งฟังก์ชันสร้างและสำหรับค่าทั้งหมดของ t ดังนั้น X และ Y จะมีการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบเดียวกัน " โดยไม่มีการพิสูจน์ว่าเกินขอบเขตของข้อความ Scheaffer Young ยังมีทฤษฎีบทเดียวกันโดยไม่มีข้อพิสูจน์ ฉันไม่มีสำเนาของ Casella แต่การค้นหาหนังสือของ Google ดูเหมือนจะไม่พบทฤษฎีบทอยู่m y ( t ) m x ( t ) = m y ( t $m_x(t)$$m_y(t)$$m_x(t) = m_y(t)$

ข้อความของ Gut นั้นดูเหมือนจะมีโครงร่างของการพิสูจน์แต่ไม่ได้อ้างอิงถึง "ผลลัพธ์ที่รู้จักกันดี" และยังต้องทราบผลการทดสอบอื่นที่ไม่ได้มีการพิสูจน์

มีใครรู้บ้างว่าใครเป็นคนพิสูจน์เรื่องนี้มาก่อนและถ้ามีหลักฐานทางออนไลน์ทุกที่? มิฉะนั้นจะกรอกรายละเอียดของหลักฐานนี้ได้อย่างไร

ในกรณีที่ฉันถูกถามว่าไม่ใช่คำถามทำการบ้าน แต่ฉันคิดได้ว่านี่อาจเป็นการบ้านของใครบางคน ฉันใช้ลำดับของหลักสูตรตามข้อความ Wackerly และฉันก็สงสัยว่าหลักฐานนี้จะมีอยู่ระยะหนึ่ง ดังนั้นฉันคิดว่ามันเป็นเวลาที่จะถาม

หลักฐานทั่วไปของนี้สามารถพบได้ในรถตัด (รู้เบื้องต้นเกี่ยวกับความน่าจะเป็นทฤษฎีและการประยุกต์ใช้ฉบับ. 2) มันเป็นปัญหาการผกผันที่เกี่ยวข้องกับทฤษฎีการแปลง Laplace คุณสังเกตเห็นว่า mgf มีความคล้ายคลึงกับการแปลง Laplace อย่างน่าทึ่งหรือไม่? สำหรับการใช้งานของ Laplace การเปลี่ยนแปลงที่คุณสามารถดูวิดเดอ (Calcus ฉบับ I)

หลักฐานกรณีพิเศษ:

สมมติว่า X และ Y เป็นตัวแปรสุ่มทั้งสองรับค่าที่เป็นไปได้ใน { } นอกจากนี้สมมติว่า X และ Y มี mgf เดียวกันสำหรับ t: สำหรับความเรียบง่ายเราจะแจ้งให้ และเราจะเด Fi NEสำหรับ nn ∑ x = 0 e t x f X ( x ) = n ∑ y = 0 e t y f Y ( y ) s = e t c i = f X ( i ) - f Y ( i ) i = 0 , 1 , $0, 1, 2,\dots, n$

$$\sum_{x=0}^ne^{tx}f_X(x)=\sum_{y=0}^ne^{ty}f_Y(y)$$ $s = e^t$$c_i = f_X(i) − f_Y (i)$$i = 0, 1,\dots,n$

ตอนนี้ ดังกล่าวข้างต้นเป็นเพียงพหุนามใน s กับ coe FFI cientsc_1 วิธีเดียวที่จะเป็นศูนย์สำหรับค่าทั้งหมดของ s คือถ้าดังนั้นเรามีสำหรับ n⇒ n ∑ x = 0 sxfX(x)- n ∑ y = 0 syfY(y)=0⇒ n ∑

$$\sum_{x=0}^ne^{tx}f_X(x)-\sum_{y=0}^ne^{ty}f_Y(y)=0$$ $$\Rightarrow \sum_{x=0}^ns^xf_X(x)-\sum_{y=0}^ns^yf_Y(y)=0$$ $$\Rightarrow \sum_{x=0}^ns^xf_X(x)-\sum_{x=0}^ns^xf_Y(x)=0$$ $$\Rightarrow\sum_{x=0}^ns^x[f_X(x)-f_Y(x)]=0$$ $$\Rightarrow \sum_{x=0}^ns^xc_x=0~∀s>0$$ $c_0, c_1,\dots,c_n$$c_0=c_1=\cdots= c_n=0$$0=c_i=f_X(i)−f_Y(i)$$i=0, 1,\dots,n$

ดังนั้นสำหรับ n$f_X(i)=f_Y(i)$$i=0,1,\dots,n$

กล่าวอีกนัยหนึ่งฟังก์ชันความหนาแน่นของและเหมือนกันทุกประการ กล่าวอีกนัยหนึ่งและมีการแจกแจงแบบเดียวกันY X $X$$Y$$X$$Y$

ทฤษฎีที่คุณกำลังพูดถึงนั้นเป็นผลเบื้องต้นในทฤษฎีความน่าจะเป็น / การวัด หลักฐานน่าจะมีอยู่ในหนังสือเกี่ยวกับความน่าจะเป็นหรือทฤษฎีทางสถิติ ฉันพบผลลัพธ์แบบอะนาล็อกสำหรับฟังก์ชันคุณลักษณะที่กำหนดในHoel Port และ Stone pp 205-208

ทักเกอร์หน้า 51-53

และChung pp 151-155นี่เป็นฉบับที่สาม ฉันมีรุ่นที่สองและฉันอ้างถึงหมายเลขหน้าในรุ่นที่สองที่ตีพิมพ์ในปี 1974

หลักฐานสำหรับ mgf ที่ฉันพบว่าหาได้ยากขึ้น แต่คุณสามารถหาได้ในหนังสือ "ความน่าจะเป็นและการวัด" ของ Billingley pp. 342-345 ในหน้า 342 ทฤษฎีบท 30.1 ให้ทฤษฎีบทที่ตอบปัญหาช่วงเวลา ในหน้า 345 Billingsley ระบุผลลัพธ์ที่ว่าหากการวัดความน่าจะเป็นมีช่วงเวลาที่สร้างฟังก์ชัน M (s) ที่กำหนดไว้ในช่วงเวลาที่ล้อมรอบ 0 จากนั้นสมมติฐานสำหรับทฤษฎีบท 30.1 นั้นเป็นที่พอใจและด้วยเหตุนี้ แต่ช่วงเวลาเหล่านี้ถูกกำหนดโดย M (s) ดังนั้นการวัดจะถูกกำหนดโดยการสร้างช่วงเวลาของฟังก์ชันถ้า M (s) อยู่ในละแวก 0 ดังนั้นตรรกะนี้พร้อมกับหลักฐานที่เขาให้สำหรับ Theorem30.1 พิสูจน์ผลลัพธ์ Billingsley ยังให้ความเห็นว่าวิธีการแก้ปัญหาในการออกกำลังกาย 26

แสดงถึงฟังก์ชั่นช่วงเวลาที่ก่อให้เกิดของ$X$โดย{}$M_X(t)=Ee^{tX}$

ทฤษฎีบทเอกลักษณ์ หากมีเช่นนั้นสำหรับทุกดังนั้นสำหรับ{R}$\delta>0$$M_X(t) = M_Y(t) < \infty$$t \in (-\delta,\delta)$$F_X(t) = F_Y(t)$$t \in \mathbb{R}$

เพื่อพิสูจน์ว่าขณะสร้างฟังก์ชันกำหนดการแจกแจงนั้นมีอย่างน้อยสองวิธี:

• เพื่อแสดงให้เห็นว่าความละเอียดของในแสดงว่าช่วงเวลาไม่เพิ่มเร็วเกินไปดังนั้นจะถูกกำหนดโดยซึ่ง จะหันกำหนดโดยM_Xหลักฐานนี้สามารถพบได้ในมาตรา 30 ของบิลลิงส์, P.น่าจะเป็นและวัด$M_X$$(-\delta,\delta)$$X$$F_X$$(EX^k)_{k\in\mathbb{N}}$$M_X$

• เพื่อแสดงให้เห็นว่าเป็นเครื่องมือวิเคราะห์และสามารถขยายไปยังดังนั้นดังนั้นใน โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับทุกและจากนั้นใช้ความจริงที่ว่ากำหนดF_Xสำหรับวิธีการนี้ให้ดูที่Curtiss, JH Ann คณิตศาสตร์. สถิติ 13: 430-433และการอ้างอิงในที่นี้ ( - δ , δ ) × i R ⊆ C M X ( z ) = E e z X M X ( i t ) = φ X ( t ) t ∈ R φ X F $M_X$$(-\delta,\delta)\times i\mathbb{R} \subseteq \mathbb{C}$$M_X(z)=Ee^{zX}$$M_X(it)=\varphi_X(t)$$t\in\mathbb{R}$$\varphi_X$$F_X$

ในระดับปริญญาตรีหนังสือเรียนเกือบทุกเล่มจะทำงานร่วมกับฟังก์ชั่นการสร้างช่วงเวลาและระบุทฤษฎีบทข้างต้นโดยไม่ต้องพิสูจน์ มันสมเหตุสมผลแล้วเพราะการพิสูจน์ต้องใช้คณิตศาสตร์ขั้นสูงมากกว่าระดับปริญญาตรี

เมื่อถึงตอนที่นักเรียนมีเครื่องมือทั้งหมดที่จำเป็นในการพิสูจน์พวกเขายังมีวุฒิภาวะในการทำงานกับฟังก์ชั่นลักษณะ แทน เกือบทุกตำราเรียนจบการศึกษาเส้นทางนี้พวกเขาพิสูจน์ว่าฟังก์ชั่นลักษณะกำหนดกระจายและโดยทั่วไปไม่สนใจฟังก์ชั่นการสร้างช่วงเวลาโดยสิ้นเชิง$\varphi_X(t)=Ee^{itX}$