ความน่าจะเป็นที่ให้คือคืออะไร?

สมมติว่า $X$ และ $Y$ เป็น bivariate ปกติโดยมีค่าเฉลี่ย $\mu=(\mu_1,\mu_2)$ และความแปรปรวนร่วม $\Sigma = \begin{bmatrix} \sigma_{11} & \sigma_{12} \\ \sigma_{12} & \sigma_{22} \\ \end{bmatrix}$ {bmatrix} ความน่าจะเป็นคืออะไร $\Pr\left(X<Y|\min\left(X,Y\right)\right)$ ?

probability normal-distribution conditional-probability

— ไมค์
แหล่งที่มา

@whuber ถูกต้องขอบคุณลบความคิดของฉันเพราะพวกเขาไม่ได้เพิ่มอะไรที่นี่

— AdamO

\frac{P r (m < Y | X = m)}{P r (m < Y | X = m) + P r (m < X | Y = m)}

$\frac{Pr(m<Y|X=m)}{Pr(m<Y|X=m)+Pr(m<X|Y=m)}$

— Sextus Empiricus

ลิงค์ที่มีประโยชน์stats.stackexchange.com/questions/30588/… นี่เป็นคำถามที่ศึกษาด้วยตนเองหรือไม่?

— Sextus Empiricus

คุณควรแบ่งปันความคิดของคุณเกี่ยวกับปัญหาโดยไม่คำนึงถึงความจริงที่ว่าคำถามนี้ดูเหมือนคำถามศึกษาด้วยตนเอง

— StubbornAtom

คำตอบ:

การใช้สัญกรณ์ที่ชัดเจนยิ่งขึ้นเล็กน้อยโดยที่คือจำนวนจริงไม่ใช่ตัวแปรสุ่ม ชุดที่เป็นเส้นทางรูปตัว L ที่มีสองส่วนครึ่งเปิด: หนึ่งจะตรงขึ้นจากจุดและอีกหนึ่งจะตรงไปทางขวาจากจุดเดียวกันนี้ เป็นที่ชัดเจนว่าบนขาแนวตั้งและบนขาแนวนอน Y $P(X<Y|\min(X, Y)=m)$ $m$ $\min(X,Y) = m$ $(m,m)$ $x<y$ $x>y$

ปรีชาเชิงเรขาคณิตนี้ทำให้ง่ายต่อการเขียนปัญหาในรูปแบบที่เท่ากันซึ่งในตัวเศษเรามีเพียงขาตั้งในแนวตั้งที่และในส่วนที่เรามีผลรวมของสองขา $x<y$

$P(X<Y|\min(X, Y)) = \frac{ \displaystyle P(m<Y|X=m) }{ \displaystyle P(m<Y|X=m) + P(m<X|Y=m) } \tag{1}$

ดังนั้นตอนนี้เราจำเป็นต้องคำนวณทั้งสองแสดงออกในรูปแบบm) ความน่าจะเป็นเงื่อนไขดังกล่าวของการแจกแจงปกติแบบ bivariate จะมีการแจกแจงปกติพร้อมพารามิเตอร์: $P(m<X|Y=m)$ $\mathcal{N}\left(\mu_{X|Y=m}, s^2_{X|Y=m}\right)$

$\mu_{X|Y=m} = \mu_1+\frac{\displaystyle \sigma_{12}}{\displaystyle \sigma_{22}}({m}-\mu_2) \tag{2}$

$s^2_{X|Y=m} = \sigma_{11}-\frac{\displaystyle \sigma_{12}^2}{\displaystyle \sigma_{22}} \tag{3}$

โปรดสังเกตว่าในนิยามปัญหาดั้งเดิมอ้างถึงองค์ประกอบของเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมซึ่งตรงกันข้ามกับแบบแผนทั่วไปของการใช้สำหรับค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน ด้านล่างเราจะพบความสะดวกในการใช้สำหรับความแปรปรวนและสำหรับความเบี่ยงเบนมาตรฐานของการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข $\sigma_{ij}$ $\sigma$ $s^2$ $s$

เมื่อทราบพารามิเตอร์ทั้งสองนี้เราสามารถคำนวณความน่าจะเป็นได้มากกว่าจากฟังก์ชันการแจกแจงสะสม $m<X$

$P(m<X|Y=m) = \Phi \left(\frac{\displaystyle \mu_{X;Y=m} -m}{\displaystyle s_{X;Y=m}} \right) \tag{4}$

โดยอนุโลมเรามีการแสดงออกที่คล้ายกันสำหรับm) ปล่อย $P(Y>m|X=m)$

$z_{X|Y=m} = \frac{\displaystyle \mu_{X;Y=m} - m}{\displaystyle s_{X;Y=m}} \tag{5}$

และ

$z_{Y|X=m} = \frac{\displaystyle \mu_{Y;X=m} -m}{\displaystyle s_{Y;X=m}} \tag{6}$

จากนั้นเราสามารถเขียนวิธีแก้ปัญหาอย่างสมบูรณ์ในรูปของคะแนนทั้งสองนี้: $z$

$P(X<Y|\min(X, Y)=m) = 1 - \frac{ \displaystyle \Phi(z_{X|Y=m}) }{ \displaystyle \Phi(z_{X|Y=m})+\Phi(z_{Y|X=m}) } \tag{7}$

ขึ้นอยู่กับรหัสการจำลองโดยผู้เขียนคำถามเราสามารถเปรียบเทียบผลลัพธ์ทางทฤษฎีนี้กับผลการจำลอง:

— olooney
แหล่งที่มา

ใน (3) ฉันคิดว่าด้านซ้ายควรมีรูปสี่เหลี่ยมเพราะมันเป็นความแปรปรวนแบบมีเงื่อนไขในขณะที่ใช้ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานในภายหลัง

— Yves

คุณค่อนข้างถูกต้อง @Yves และฉันเชื่อว่าการแก้ไขล่าสุดของฉันได้แก้ไขปัญหาแล้ว ขอบคุณ.

— olooney

@olooney ขอขอบคุณสำหรับคำตอบนี้ ฉันสามารถติดตามต้นกำเนิดและดูเหมือนถูกต้อง อย่างไรก็ตามฉันพยายามตรวจสอบ (1) และ (7) ในแบบจำลองและผลลัพธ์ที่ได้ค่อนข้างแตกต่างกัน คุณสามารถดูรหัส R ของฉันได้ที่นี่gist.github.com/mikeguggis/d041df05565f63f8be2c6c51f5cf8961

— mike

@ ไมค์ฉันคิดว่าฉันมีข้อผิดพลาดเข้าสู่ระบบ หลังจากแก้ไขแล้วผลลัพธ์ทางทฤษฎีดูเหมือนจะเห็นด้วยกับผลลัพธ์ของการจำลอง gist.github.com/olooney/e88a66d2d2fa7f2f0cd0d0dd6b708739

— olooney

@olooney จับได้ดี ฉันยังคงไม่เข้าใจว่าเพราะเหตุใดการประมาณตามแบบจำลองทั้งสองจึงไม่ตรงกัน (บรรทัดที่ 30-32 ในรหัสของฉัน)

— ไมค์

คำถามที่สามารถเขียนใหม่โดยใช้รุ่นที่ปรับเปลี่ยน Bayes ทฤษฎีบท (และการละเมิดของความคิดสำหรับ ) $Pr$

\begin{aligned} P r (X < Y | m i n (X, Y) = m) & = \frac{P r (m i n (X, Y) = m | X < Y) P r (X < Y)}{P r (m i n (X, Y) = m | X < Y) P r (X < Y) + P r (m i n (X, Y) = m | X \geq Y) P r (X \geq Y)} \\ = \frac{P r (X < Y, m i n (X, Y) = m)}{P r (X < Y, m i n (X, Y) = m) + P r (X \geq Y, m i n (X, Y) = m)} . \end{aligned}

$\begin{align} Pr(X<Y|min(X,Y) = m) &= \frac{Pr(min(X,Y)=m|X<Y)Pr(X<Y)}{Pr(min(X,Y)=m|X<Y)Pr(X<Y)+Pr(min(X,Y)=m|X\geq Y)Pr(X\geq Y)}\\ &= \frac{Pr(X<Y,min(X,Y)=m)}{Pr(X<Y,min(X,Y)=m)+Pr(X\geq Y,min(X,Y)=m)}. \end{align}$

กำหนดให้เป็นรูปแบบไฟล์ PDF ตัวแปรและ ,และ\ แล้วก็ $f_{X,Y}$ $X$ $Y$ $\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}exp(-\frac{1}{2}x^2)$ $\Phi(x) = \int_{-\infty}^x\phi(t)dt$

\begin{aligned} P r (X < Y, m i n (X, Y) = m) & = P r (X = m, Y > m) \\ = \int_{m}^{\infty} f_{X, Y} (m, t) d t \end{aligned}

$\begin{align} Pr(X<Y,min(X,Y)=m) &=Pr(X=m,Y>m) \\ &= \int_m^\infty f_{X,Y}(m,t)dt \end{align}$

และ

\begin{aligned} P r (X \geq Y, m i n (X, Y) = m) & = P r (X \geq m, Y = m) \\ = \int_{m}^{\infty} f_{X, Y} (t, m) d t \end{aligned}

$\begin{align} Pr(X\geq Y,min(X,Y)=m) &=Pr(X\geq m,Y=m) \\ &= \int_m^\infty f_{X,Y}(t,m)dt \end{align}$

การใช้ภาวะปกติและคำจำกัดความของความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขจะสามารถเขียนใหม่เป็น

f_{X, Y} (m, t) = f_{Y | X} (t) f_{X} (m) = \frac{1}{\sqrt{σ_{Y | X}}} ϕ (\frac{t - μ_{Y | X}}{\sqrt{σ_{Y | X}}}) \frac{1}{\sqrt{σ_{11}}} ϕ (\frac{m - μ_{1}}{\sqrt{σ_{11}}})

$f_{X,Y}(m,t) = f_{Y|X}(t)f_X(m) = \frac{1}{\sqrt{\sigma_{Y|X}}}\phi\left(\frac{t-\mu_{Y|X}}{\sqrt{\sigma_{Y|X}}}\right)\frac{1}{\sqrt{\sigma_{11}}}\phi\left(\frac{m-\mu_1}{\sqrt{\sigma_{11}}}\right)$

และ

f_{X, Y} (t, m) = f_{X | Y} (t) f_{Y} (m) = \frac{1}{\sqrt{σ_{X | Y}}} ϕ (\frac{t - μ_{X | Y}}{\sqrt{σ_{X | Y}}}) \frac{1}{\sqrt{σ_{22}}} ϕ (\frac{m - μ_{2}}{\sqrt{σ_{22}}}) .

$f_{X,Y}(t,m) = f_{X|Y}(t)f_Y(m) = \frac{1}{\sqrt{\sigma_{X|Y}}}\phi\left(\frac{t-\mu_{X|Y}}{\sqrt{\sigma_{X|Y}}}\right)\frac{1}{\sqrt{\sigma_{22}}}\phi\left(\frac{m-\mu_2}{\sqrt{\sigma_{22}}}\right).$

โดยที่

μ_{X | Y} = μ_{1} + \frac{σ_{12}}{σ_{22}} (m - μ_{2}),

$\mu_{X|Y} = \mu_1 + \frac{\sigma_{12}}{\sigma_{22}}(m-\mu_2),$

μ_{Y | X} = μ_{2} + \frac{σ_{12}}{σ_{11}} (m - μ_{1}),

$\mu_{Y|X} = \mu_2 + \frac{\sigma_{12}}{\sigma_{11}}(m-\mu_1),$

σ_{X | Y} = (1 - \frac{σ_{12}^{2}}{σ_{11} σ_{22}}) σ_{11}

$\sigma_{X|Y} = \left(1-\frac{\sigma_{12}^2}{\sigma_{11}\sigma_{22}}\right)\sigma_{11}$

และ

σ_{Y | X} = (1 - \frac{σ_{12}^{2}}{σ_{11} σ_{22}}) σ_{22} .

$\sigma_{Y|X} = \left(1-\frac{\sigma_{12}^2}{\sigma_{11}\sigma_{22}}\right)\sigma_{22}.$

ดังนั้น

P r (X < Y | m i n (X, Y) = m) = \frac{(1 - Φ (\frac{m - μ_{Y | X}}{\sqrt{σ_{Y | X}}})) \frac{1}{\sqrt{σ_{11}}} ϕ (\frac{m - μ_{1}}{\sqrt{σ_{11}}})}{(1 - Φ (\frac{m - μ_{Y | X}}{\sqrt{σ_{Y | X}}})) \frac{1}{\sqrt{σ_{11}}} ϕ (\frac{m - μ_{1}}{\sqrt{σ_{11}}}) + (1 - Φ (\frac{m - μ_{X | Y}}{\sqrt{σ_{X | Y}}})) \frac{1}{\sqrt{σ_{22}}} ϕ (\frac{m - μ_{2}}{\sqrt{σ_{22}}})} .

$\begin{equation} Pr(X<Y|min(X,Y) = m) = \frac{\left(1-\Phi\left(\frac{m-\mu_{Y|X}}{\sqrt{\sigma_{Y|X}}}\right)\right)\frac{1}{\sqrt{\sigma_{11}}}\phi\left(\frac{m-\mu_1}{\sqrt{\sigma_{11}}}\right)}{\left(1-\Phi\left(\frac{m-\mu_{Y|X}}{\sqrt{\sigma_{Y|X}}}\right)\right)\frac{1}{\sqrt{\sigma_{11}}}\phi\left(\frac{m-\mu_1}{\sqrt{\sigma_{11}}}\right)+\left(1-\Phi\left(\frac{m-\mu_{X|Y}}{\sqrt{\sigma_{X|Y}}}\right)\right)\frac{1}{\sqrt{\sigma_{22}}}\phi\left(\frac{m-\mu_2}{\sqrt{\sigma_{22}}}\right)}. \end{equation}$

แบบฟอร์มสุดท้ายนี้คล้ายกับผลลัพธ์ที่ @olooney มาถึง ความแตกต่างคือความน่าจะเป็นของเขาไม่ได้ถูกถ่วงน้ำหนักโดยความหนาแน่นปกติ

สามารถพบสคริปต์ R สำหรับการยืนยันตัวเลขได้ที่นี่

— ไมค์
แหล่งที่มา