ทำไมปริมาณความแปรปรวนอธิบายโดยคอมพิวเตอร์เครื่องที่ 1 ของฉันจึงใกล้เคียงกับค่าสหสัมพันธ์แบบคู่เฉลี่ย?

9

อะไรคือความสัมพันธ์ระหว่างองค์ประกอบหลักแรกและความสัมพันธ์เฉลี่ยในเมทริกซ์ความสัมพันธ์

ตัวอย่างเช่นในแอปพลิเคชันเชิงประจักษ์ฉันสังเกตว่าความสัมพันธ์โดยเฉลี่ยเกือบจะเหมือนกับอัตราส่วนของความแปรปรวนขององค์ประกอบหลักตัวแรก (ค่าเริ่มต้นแรก) ต่อความแปรปรวนทั้งหมด (ผลรวมของค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมด)

มีความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์หรือไม่?

ด้านล่างคือแผนภูมิของผลลัพธ์เชิงประจักษ์ โดยที่ correlation คือค่าสหสัมพันธ์โดยเฉลี่ยระหว่างองค์ประกอบดัชนีหุ้น DAX ที่คำนวณได้จากการคำนวณในช่วงเวลา 15 วันและความแปรปรวนที่อธิบายคือส่วนแบ่งความแปรปรวนที่อธิบายโดยองค์ประกอบหลักตัวแรกที่คำนวณด้วยหน้าต่างกลิ้ง 15 วัน

สิ่งนี้สามารถอธิบายได้ด้วยตัวแบบปัจจัยความเสี่ยงทั่วไปเช่น CAPM หรือไม่?

ป้อนคำอธิบายรูปภาพที่นี่

— นักเรียน
แหล่งที่มา

1

คุณคิดว่าเกิดอะไรขึ้นเมื่อมีความสัมพันธ์หลายอย่างเป็นลบหรือใกล้ศูนย์ ตัวอย่างเช่นสร้างข้อมูลปกติแบบแบ่งครึ่งโดยมีค่าสหสัมพันธ์เป็นศูนย์ ทำไมคุณคาดหวังว่าจะมีความสัมพันธ์ระหว่างอัตราส่วนความแปรปรวนของคุณกับความสัมพันธ์แบบศูนย์

— whuber

6

ฉันเชื่อว่าความสัมพันธ์ระหว่างค่าเฉลี่ยสหสัมพันธ์กับค่าลักษณะเฉพาะของพีซีเครื่องที่ 1 มีอยู่จริง แต่ไม่ซ้ำกัน ฉันไม่ใช่นักคณิตศาสตร์ที่สามารถอนุมานได้ แต่อย่างน้อยฉันก็สามารถแสดงจุดเริ่มต้นที่สัญชาตญาณหรือความคิดของคน ๆ นั้นอาจเติบโต

หากคุณวาดตัวแปรที่ได้มาตรฐานเป็นเวกเตอร์ในปริภูมิแบบยุคลิดที่ตั้งอยู่ (และนี่คือพื้นที่ที่ลดลงซึ่งการสังเกตของแกน) ความสัมพันธ์คือโคไซน์ระหว่างเวกเตอร์สองตัว

ป้อนคำอธิบายรูปภาพที่นี่

และเนื่องจากเวกเตอร์นั้นมีความยาวหน่วยทั้งหมด (เนื่องจากมาตรฐาน) ค่าโคไซน์คือการประมาณค่าของเวกเตอร์ซึ่งกันและกัน (เช่นที่แสดงในภาพด้านซ้ายที่มีตัวแปรสามตัว) พีซีที่ 1 เป็นสายดังกล่าวในพื้นที่นี้ที่เพิ่มประมาณการผลรวมของกำลังสองบนมัน's เรียกว่าแรง; และผลรวมนี้เป็นค่าเริ่มต้นที่ 1

ดังนั้นเมื่อคุณสร้างความสัมพันธ์ระหว่างค่าเฉลี่ยของการฉายทั้งสามทางด้านซ้ายด้วยผลรวม (หรือค่าเฉลี่ย) ของการคาดการณ์กำลังสองสามตัวทางด้านขวาคุณจะตอบคำถามของคุณเกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างค่าเฉลี่ยสหสัมพันธ์และค่าลักษณะเฉพาะ

— ttnphns
แหล่งที่มา

6

สิ่งที่ฉันคิดว่าเกิดขึ้นที่นี่คือตัวแปรทั้งหมดมีความสัมพันธ์เชิงบวกกับแต่ละอื่น ๆ ในกรณีนี้พีซีเครื่องที่ 1 ค่อนข้างบ่อยจะใกล้เคียงกับค่าเฉลี่ยของตัวแปรทั้งหมด หากตัวแปรทั้งหมดมีความสัมพันธ์เชิงบวกกับตรงเดียวกันค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ , จากนั้น PC ที่ 1 คือว่าสัดส่วนกับค่าเฉลี่ยของตัวแปรทั้งหมดที่ผมอธิบายที่นี่: Can เฉลี่ยตัวแปรทั้งหมดจะเห็นเป็นรูปแบบดิบของ PCA? $c$

ในกรณีง่าย ๆ นี้ใคร ๆ ก็สามารถได้รับความสัมพันธ์ที่คุณถามเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ พิจารณาเมทริกซ์สหสัมพันธ์ของขนาดที่มีลักษณะดังนี้:eigenvector แรกมีค่าเท่ากับซึ่งสอดคล้องกับค่าเฉลี่ย [ปรับสัดส่วน] ของตัวแปรทั้งหมด ค่าเฉพาะของมันคือค ผลรวมของค่าลักษณะเฉพาะของทุกคนถ้าได้รับการเรียนการสอนโดยรวมขององค์ประกอบในแนวทแยงทั้งหมดคือ nดังนั้นสัดส่วนของความแปรปรวนที่อธิบายโดยพีซีเครื่องแรกมีค่าเท่ากับ $n\times n$

(\begin{matrix} 1 & ค & ค & ค \\ ค & 1 & ค & ค \\ ค & ค & 1 & ค \\ ค & ค & ค & 1 \end{matrix}) .

$\left(\begin{array}{}1&c&c&c\\c&1&c&c\\c&c&1&c\\c&c&c&1\end{array} \right).$

(1, 1, 1, 1)^{⊤} / \sqrt{n}

$(1,1,1,1)^\top/\sqrt{n}$

λ_{1} = 1 + (n - 1) c

$\lambda_1=1+(n-1)c$

\sum λ_{i} = n

$\sum \lambda_i=n$

R^{2} = \frac{1}{n} + \frac{n - 1}{n} ค \approx ค .

$R^2=\frac{1}{n}+\frac{n-1}{n}c \approx c.$

ดังนั้นในกรณีที่ง่ายที่สุดนี้สัดส่วนของความแปรปรวนที่อธิบายโดยพีซีเครื่องแรกนั้นมีความสัมพันธ์ 100% กับความสัมพันธ์เฉลี่ยและสำหรับมีขนาดใหญ่มีค่าประมาณเท่ากับ ซึ่งเป็นสิ่งที่เราเห็นในแผนของคุณอย่างแม่นยำ $n$

ฉันคาดหวังว่าสำหรับเมทริกซ์ขนาดใหญ่ผลลัพธ์นี้จะอยู่ที่ประมาณแม้ว่าความสัมพันธ์จะไม่เหมือนกันทั้งหมด

ปรับปรุง โดยใช้รูปที่โพสต์ในคำถามหนึ่งยังสามารถลองประเมินโดยสังเกตเห็นว่า2-C) ถ้าเราใช้เวลาและแล้วเราได้รับnOP กล่าวว่าข้อมูลนี้เป็น "ดัชนีหุ้น DAX" googling มันเราจะเห็นว่ามันเห็นได้ชัดว่าประกอบด้วยตัวแปร ไม่ใช่คู่ที่ไม่ดี $n$ $n=(1-c)/(R^2-c)$ $c=0.5$ $R^2-c=0.02$ $n=25$ $30$

— อะมีบา
แหล่งที่มา