ฉันสังเกตเห็นในวิธีการเรียนรู้สถิติ / เครื่องการแจกแจงมักจะเป็นแบบเกาส์จากนั้นก็ใช้แบบเกาส์สำหรับการสุ่มตัวอย่าง พวกเขาเริ่มต้นโดยการคำนวณทั้งสองช่วงเวลาแรกของการจัดจำหน่ายและการใช้งานเหล่านั้นเพื่อประเมิน$\mu$และ 2 จากนั้นพวกเขาสามารถสุ่มตัวอย่างจากเกาส์นนั้นได้$\sigma^2$

ดูเหมือนว่าสำหรับฉันในช่วงเวลาที่ฉันคำนวณมากขึ้นฉันควรจะประมาณตัวอย่างการกระจายตัวที่ดีกว่าที่ฉันต้องการ

จะเกิดอะไรขึ้นถ้าฉันคำนวณ 3 ช่วงเวลา ... ฉันจะใช้สิ่งเหล่านั้นเพื่อสุ่มตัวอย่างจากการแจกแจงได้อย่างไร และนี่สามารถขยายไปสู่ช่วงเวลา N ได้หรือไม่?

สามช่วงเวลาไม่ได้กำหนดรูปแบบการกระจาย หากคุณเลือกการแจกจ่ายแบบแฟมิลี่ด้วยพารามิเตอร์สามตัวที่เกี่ยวข้องกับช่วงเวลาสามช่วงประชากรแรกคุณสามารถทำการจับคู่ช่วงเวลา ("เมธอดของช่วงเวลา") เพื่อประมาณค่าพารามิเตอร์ทั้งสามแล้วสร้างค่าจากการแจกแจงแบบนั้น มีการแจกแจงดังกล่าวมากมาย

บางครั้งการมีช่วงเวลาทั้งหมดไม่เพียงพอในการพิจารณาการกระจาย หากฟังก์ชันการสร้างโมเมนต์มีอยู่ (ในละแวกใกล้เคียง 0) มันจะระบุการแจกแจงแบบไม่ซ้ำกัน (โดยหลักการแล้วคุณสามารถทำการแปลงลาปลาสแบบผกผันเพื่อรับได้)

[หากบางช่วงเวลาไม่ จำกัด นี่อาจหมายถึง mgf ไม่มีอยู่จริง แต่ก็มีบางกรณีที่ทุกช่วงเวลามี จำกัด แต่ mgf ยังคงไม่มีอยู่ในละแวกที่ 0]

เนื่องจากมีตัวเลือกการแจกแจงเราอาจถูกล่อลวงให้พิจารณาวิธีการแก้ปัญหาเอนโทรปีสูงสุดด้วยข้อ จำกัด ในช่วงเวลาสามช่วงแรก แต่ไม่มีการแจกแจงในบรรทัดจริงที่บรรลุนั้น

กระบวนการจะทำงานอย่างไรสำหรับตัวเลือกการกระจายเฉพาะ

เราสามารถลดความซับซ้อนของกระบวนการของการได้รับการจับคู่การกระจายสามช่วงเวลาโดยไม่สนใจค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนและการทำงานกับช่วงเวลาที่สามปรับขนาด - ช่วงเวลาที่-เบ้ ( $\gamma_1=\mu_3/\mu_2^{3/2}$ )

เราสามารถทำได้เพราะเลือกการกระจายที่มีความเบ้ที่เกี่ยวข้องเราสามารถถอยกลับค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนที่ต้องการโดยการปรับขนาดและการเลื่อน

ลองพิจารณาตัวอย่าง เมื่อวานนี้ฉันสร้างชุดข้อมูลขนาดใหญ่ (ซึ่งยังคงเกิดขึ้นในเซสชัน R ของฉัน) ซึ่งการแจกจ่ายฉันไม่ได้พยายามคำนวณรูปแบบการทำงานของ (เป็นชุดของค่าขนาดใหญ่ของบันทึกของความแปรปรวนตัวอย่างของ Cauchy ที่ n = 10) เรามีช่วงเวลาดิบสามช่วงแรกเป็น 1.519, 3.597 และ 11.479 ตามลำดับหรือมีค่าเฉลี่ย 1.518 ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน * เท่ากับ 1.136 และความเบ้ 1.429 (ดังนั้นนี่คือค่าตัวอย่างจากตัวอย่างขนาดใหญ่)

อย่างเป็นทางการวิธีการของช่วงเวลาจะพยายามจับคู่ช่วงเวลาดิบ แต่การคำนวณนั้นง่ายกว่าถ้าเราเริ่มต้นด้วยความเบ้ (เปลี่ยนการแก้สมการสามในสามสิ่งที่ไม่รู้จักในการแก้สำหรับพารามิเตอร์หนึ่งครั้งงานที่ง่ายกว่า)

* ฉันจะแจกแจงความแตกต่างระหว่างการใช้ n- ส่วนบนความแปรปรวน - ตามที่จะสอดคล้องกับวิธีการช่วงเวลาที่เป็นทางการ - และตัวหาร n-1 และใช้การคำนวณตัวอย่าง

ความเบ้นี้ (~ 1.43) บ่งบอกว่าเราแสวงหาการกระจายที่เอียงขวา ฉันสามารถเลือกยกตัวอย่างเช่นการกระจาย lognormal แบบเลื่อน (สามพารามิเตอร์ lognormal, รูปร่าง$\sigma$ , scale $\mu$และ location-shift $\gamma$ ) ในเวลาเดียวกัน เรามาเริ่มต้นด้วยการจับคู่ความเบ้ ความเบ้ของประชากรของ lognormal ของพารามิเตอร์สองตัวคือ:

$\gamma_1=(e^{\sigma ^{2}}\!\!+2){\sqrt {e^{\sigma ^{2}}\!\!-1}}$

$\sigma^2$$\tilde{\sigma}^2$

$\gamma_1^2$$(\tau+2)^2(\tau-1)$$\tau=e^{\sigma^2}$$\tau^3+3\tau^2-4=\gamma_1^2$$\tilde{\tau}\approx 1.1995$$\tilde{\sigma}^2\approx 0.1819$$\gamma_1$

$\mu$

แต่เราสามารถเลือก gamma หรือ shifted-Weibull ได้อย่างง่ายดาย (หรือ shifted-F หรือตัวเลือกอื่น ๆ จำนวนมาก) และดำเนินการผ่านกระบวนการเดียวกัน แต่ละคนจะแตกต่างกัน

[สำหรับตัวอย่างที่ฉันติดต่อด้วยรังสีแกมม่าที่ถูกเลื่อนอาจจะเป็นทางเลือกที่ดีกว่า lognormal ที่ถูกเลื่อนเนื่องจากการกระจายของบันทึกของค่านั้นเอียงไปทางซ้ายและการกระจายของรากลูกบาศก์ของพวกเขาอยู่ใกล้กับสมมาตรมาก สิ่งเหล่านี้สอดคล้องกับสิ่งที่คุณจะเห็นด้วยความหนาแน่นแกมม่า (ไม่ จำกัด ) แต่ความหนาแน่นของบันทึกที่เบ้ซ้ายไม่สามารถทำได้เมื่อบันทึกการเปลี่ยนแปลงใด ๆ ]

เราสามารถใช้แผนภาพความเบ้ (skewness-kurtosis) ในเพียร์สันพล็อตและวาดเส้นที่ความเบ้ที่ต้องการและได้การแจกแจงแบบสองจุด, ลำดับของการแจกแจงแบบเบตา, การแจกแจงแกมม่า, การแจกแจงแกมมาและการแจกแจงเพียร์สันประเภท IV ทั้งหมดที่มีความเบ้เหมือนกัน

$\beta_1=\gamma_1^2$$\beta_2$

$\gamma_1^2 = 2.042$$\sigma$

ช่วงเวลาเพิ่มเติม

ช่วงเวลาที่ไม่กระจายการแจกแจงที่ดีมากดังนั้นแม้ว่าคุณจะระบุหลายช่วงเวลา แต่ก็ยังมีการแจกแจงที่แตกต่างกันมากมาย (โดยเฉพาะอย่างยิ่งที่เกี่ยวข้องกับพฤติกรรมสุดโต่งของพวกเขา) ที่จะจับคู่พวกเขา

แน่นอนคุณสามารถเลือกตระกูลการกระจายที่มีพารามิเตอร์อย่างน้อยสี่ตัวและพยายามจับคู่มากกว่าสามช่วงเวลา ตัวอย่างการกระจายของเพียร์สันด้านบนทำให้เราสามารถจับคู่ช่วงเวลาสี่ช่วงแรกและมีตัวเลือกการกระจายอื่น ๆ ที่จะช่วยให้มีความยืดหยุ่นในระดับใกล้เคียงกัน

หนึ่งสามารถใช้กลยุทธ์อื่น ๆ เพื่อเลือกการแจกแจงที่สามารถจับคู่คุณสมบัติการกระจาย - การกระจายการผสมการสร้างแบบจำลองความหนาแน่นของบันทึกโดยใช้เส้นโค้งและอื่น ๆ

อย่างไรก็ตามบ่อยครั้งหากมีใครกลับไปที่จุดเริ่มต้นที่คนหนึ่งพยายามจะหาการกระจายมันมักจะปรากฎว่ามีบางสิ่งที่ดีกว่าที่สามารถทำได้มากกว่ากลยุทธ์ที่ระบุไว้ที่นี่

ดังนั้นคำตอบคือโดยทั่วไปไม่ได้คุณไม่สามารถทำเช่นนี้ แต่บางครั้งคุณก็สามารถทำได้

เมื่อคุณทำไม่ได้

เหตุผลที่คุณไม่สามารถทำเช่นนี้มักจะเป็นสองเท่า

ก่อนอื่นถ้าคุณมีการสังเกตแบบ N คุณสามารถคำนวณช่วงเวลา N ได้อย่างมากที่สุด แล้วช่วงเวลาอื่นล่ะ? คุณไม่สามารถตั้งค่าให้เป็นศูนย์ได้

เมื่อคุณสามารถ

ตอนนี้บางครั้งคุณสามารถรับการกระจายจากช่วงเวลา มันคือเมื่อคุณตั้งสมมติฐานเกี่ยวกับการกระจายตัวของบางอย่าง ตัวอย่างเช่นคุณประกาศว่าเป็นเรื่องปกติ ในกรณีนี้สิ่งที่คุณต้องใช้มีเพียงสองช่วงเวลาเท่านั้นซึ่งสามารถคำนวณได้อย่างแม่นยำ โปรดทราบว่าการแจกแจงแบบปกตินั้นมีช่วงเวลาที่สูงขึ้นอย่างแน่นอนเช่น kurtosis แต่เราไม่ต้องการมัน หากคุณต้องคำนวณทุกช่วงเวลาของการแจกแจงแบบปกติ (โดยไม่สมมติว่าเป็นเรื่องปกติ) จากนั้นลองกู้คืนฟังก์ชั่นคุณสมบัติเป็นตัวอย่างจากการแจกแจงมันจะไม่ทำงาน อย่างไรก็ตามเมื่อคุณลืมช่วงเวลาที่สูงขึ้นและยึดติดกับสองสิ่งแรกมันจะทำงานได้ดี