ไม่ว่าเดโบราห์มาโยจะลบล้างข้อพิสูจน์ของหลักการความน่าจะเป็น

นี่ค่อนข้างเกี่ยวข้องกับคำถามก่อนหน้าของฉันที่นี่: ตัวอย่างที่หลักการความน่าจะเป็น * สำคัญ * สำคัญหรือไม่

เห็นได้ชัดว่าเดโบราห์มาโยตีพิมพ์บทความทางวิทยาศาสตร์ทางสถิติเพื่อพิสูจน์หลักการของความน่าจะเป็นของ Birnbaum ใครสามารถอธิบายการโต้แย้งหลักโดย Birnbaum และการโต้เถียงโดย Mayo ได้หรือไม่? เธอพูดถูกหรือเปล่า?

mathematical-statistics likelihood-principle

— statslearner2
แหล่งที่มา

การพิสูจน์ของการพิสูจน์นี้: academic.oup.com/bjps/article-abstract/66/3/475/1497890 (คัดลอกฟรี: gandenberger.org/wp-content/uploads/2013/11/... )

— อะมีบากล่าวว่า Reinstate Monica

ความเห็นเพิ่มเติม: stats.stackexchange.com/questions/65520/…

— rolando2

ดูเพิ่มเติมที่arxiv.org/abs/1711.08093

— อะมีบาพูดว่า Reinstate Monica

ขอบคุณสำหรับความกรุณาในคำถาม Michael Lew

— statslearner2

เงินรางวัลอีกเป็นครั้งที่สามที่มีเสน่ห์

— statslearner2

โดยสรุปแล้วข้อโต้แย้งของ Birnbaum ก็คือว่าหลักการสองข้อที่เป็นที่ยอมรับกันอย่างกว้างขวางมีเหตุผลบ่งบอกว่าหลักการความน่าจะเป็นต้องมีไว้ การโต้เถียงของมาโยคือการพิสูจน์ว่าผิดเพราะ Birnbaum ใช้หลักการอย่างใดอย่างหนึ่งผิด

ด้านล่างนี้ฉันลดความซับซ้อนของข้อโต้แย้งในระดับที่ไม่เข้มงวดมาก จุดประสงค์ของฉันคือทำให้ผู้ชมในวงกว้างสามารถเข้าถึงได้เพราะข้อโต้แย้งเดิมเป็นเรื่องเทคนิคมาก ผู้อ่านที่สนใจควรดูรายละเอียดในบทความที่เชื่อมโยงในคำถามและในความคิดเห็น

เพื่อประโยชน์ในการเป็นรูปธรรมที่ฉันจะมุ่งเน้นไปที่กรณีของเหรียญที่มีอคติที่ไม่รู้จักที่\ในการทดลองเราพลิกมัน 10 ครั้ง ในการทดลองเราพลิกมันจนกว่าเราจะได้ 3 "ก้อย" ในการทดลองเราพลิกเหรียญยุติธรรมที่ระบุว่า "1" และ "2" ถ้าที่ดินนั้นเป็น "1" เราดำเนินการ ; ถ้ามันดินแดน "2" เราดำเนินการE_2ตัวอย่างนี้จะลดความซับซ้อนของการสนทนาอย่างมากและจะแสดงตรรกะของข้อโต้แย้ง (หลักฐานอันเดิมนั้นมีความเป็นทั่วไปมากกว่า) $\theta$ $E_1$ $E_2$ $E_{mix}$ $E_1$ $E_2$

หลักการ:

หลักการสองข้อต่อไปนี้ได้รับการยอมรับอย่างกว้างขวาง:

หลักการเงื่อนไขที่อ่อนแอบอกว่าเราควรจะได้ข้อสรุปเดียวกันถ้าเราตัดสินใจทำการทดลองหรือถ้าเราตัดสินใจที่จะทำการและดินแดนเหรียญ "1" $E_1$ $E_{mix}$

หลักการความพอเพียงกล่าวว่าเราควรสรุปในการทดลองสองครั้งที่สถิติที่เพียงพอมีค่าเท่ากัน

หลักการต่อไปนี้ได้รับการยอมรับโดย Bayesian แต่ไม่ใช่โดยผู้ใช้บ่อย กระนั้น Birnbaum อ้างว่ามันเป็นผลสืบเนื่องทางตรรกะของสองคนแรก

หลักการความน่าจะเป็นกล่าวว่าเราควรสรุปข้อสรุปเดียวกันในการทดลองสองครั้งที่ฟังก์ชันความน่าจะเป็นมีสัดส่วน

ทฤษฎีบทของ Birnbaum:

สมมติว่าเราเล่นและได้รับ 7 "หัว" จากสิบพลิก ฟังก์ชั่นน่าจะเป็นของมี 3 เราเล่นและพลิกเหรียญ 10 ครั้งเพื่อรับ 3 "ก้อย" ฟังก์ชั่นน่าจะเป็นของมี 3 ฟังก์ชันความน่าจะเป็นสองอย่างนี้มีสัดส่วน $E_1$ $\theta$ ${10 \choose 3}\theta^7(1-\theta)^3$ $E_2$ $\theta$ ${9 \choose 7}\theta^7(1-\theta)^3$

Birnbaum พิจารณาสถิติต่อไปนี้ในจากถึง : ที่และคือตัวเลขของ "หัว" และ "ก้อย" ตามลำดับ ดังนั้นไม่ว่าสิ่งที่เกิดขึ้นไม่มีรายงานผลตามที่ถ้ามันมาจากการทดลองE_1แต่กลับกลายเป็นว่าเพียงพอสำหรับใน{} กรณีเดียวที่ไม่สำคัญคือเมื่อและที่เรามี $E_{mix}$ $\{1, 2\} \times \mathbb{N}^2$ $\{1, 2\} \times \mathbb{N}^2$

T : (ξ, x, y) \to (1, x, y),

$T: (\xi, x,y) \rightarrow (1, x,y),$

x

$x$

y

$y$

T

$T$

E_{1}

$E_1$

T

$T$

θ

$\theta$

E_{m i x}

$E_{mix}$

x = 7

$x = 7$

y = 3

$y = 3$

P (X_{m i x} = (1, x, y) | T = (1, x, y)) = \frac{0.5 \times (\binom{10}{3}) θ^{7} (1 - θ)^{3}}{0.5 \times (\binom{10}{3}) θ^{7} (1 - θ)^{3} + 0.5 \times (\binom{9}{7}) θ^{7} (1 - θ)^{3}} = \frac{(\binom{10}{3})}{(\binom{10}{3}) + (\binom{9}{7})} .

$P(X_{mix}=(1,x,y)|T=(1,x,y)) = \frac{0.5 \times {10 \choose 3}\theta^7(1-\theta)^3}{0.5 \times {10 \choose 3}\theta^7(1-\theta)^3 + 0.5 \times {9 \choose 7}\theta^7(1-\theta)^3}=\frac{{10 \choose 3}}{{10 \choose 3}+{9 \choose 7}}.$ กรณีอื่น ๆ ทั้งหมดคือ 0 หรือ 1 - ยกเว้นซึ่งเป็นส่วนเติมของความน่าจะเป็นข้างต้น การกระจายตัวของให้เป็นอิสระจากดังนั้นเป็นสถิติที่เพียงพอสำหรับ\

P (X_{m i x} = (2, x, y) | T = (1, x, y))

$P(X_{mix}=(2,x,y)|T=(1,x,y))$

X_{m i x}

$X_{mix}$

T

$T$

θ

$\theta$

T

$T$

θ

$\theta$

ตอนนี้ตามหลักการความพอเพียงเราต้องสรุปสิ่งเดียวกันสำหรับและในและจากหลักการ condionality ที่อ่อนแอเราต้องสรุปแบบเดียวกันสำหรับในและใน , เช่นเดียวกับในและใน{} ดังนั้นข้อสรุปของเราจะต้องเหมือนกันในทุกกรณีซึ่งเป็นหลักการความน่าจะเป็น $(1,x,y)$ $(2,x,y)$ $E_{mix}$ $(x,y)$ $E_1$ $(1,x,y)$ $E_{mix}$ $(x,y)$ $E_2$ $(2,x,y)$ $E_{mix}$

เคาน์เตอร์ของเมโย:

การตั้งค่าของ Birnbaum ไม่ได้เป็นการทดลองแบบผสมเนื่องจากไม่ได้สังเกตผลลัพธ์ของเหรียญที่ระบุว่า "1" และ "2" ดังนั้นหลักการเงื่อนไขที่อ่อนแอจึงไม่สามารถนำมาใช้กับกรณีนี้ได้

ทำแบบทดสอบกับและดึงข้อสรุปจากค่า p ของการทดสอบ ในฐานะที่เป็นข้อสังเกตเบื้องต้นทราบว่า p-value ของในจะได้รับจากการกระจายทวินามเป็นประมาณ ; P-ค่าของในจะได้รับจากการกระจายทวินามเชิงลบเป็นประมาณ0.0898 $\theta = 0.5$ $\theta > 0.5$ $(7,3)$ $E_1$ $0.1719$ $(7,3)$ $E_2$ $0.0898$

นี่เป็นส่วนที่สำคัญ: p-value ของในจะได้รับเป็นค่าเฉลี่ยของทั้งสอง - จำได้ว่าเราไม่ทราบว่าสถานะของเหรียญ - คือประมาณ0.1309ยัง p-value ของใน - ที่เหรียญเป็นที่สังเกต - เป็นเช่นเดียวกับว่าใน , คือประมาณ0.1719หลักการของเงื่อนไขที่อ่อนแอถือ (ข้อสรุปเหมือนกันในและที่ซึ่งเหรียญลงดิน "1") และหลักการความน่าจะเป็นไม่ได้ ตัวอย่างเคาน์เตอร์หักล้างทฤษฎีบทของ Birnbaum $T=(1,7,3)$ $E_{mix}$ $0.1309$ $(1,7,3)$ $E_{mix}$ $E_1$ $0.1719$ $E_1$ $E_{mix}$

การพิสูจน์ของPeñaและ Berger เกี่ยวกับการต่อต้านของมาโย

มาโยเปลี่ยนคำแถลงหลักการของความพอเพียงโดยปริยาย: เธอตีความ "ข้อสรุปเดียวกัน" เป็น "วิธีการเดียวกัน" การรับค่า p เป็นวิธีการอนุมาน แต่ไม่ใช่ข้อสรุป

หลักการความพอเพียงกล่าวว่าหากมีสถิติเพียงพอแล้วข้อสรุปจะต้องเหมือนกัน แต่ก็ไม่จำเป็นต้องใช้สถิติที่เพียงพอในการใช้เลย ถ้าเป็นเช่นนั้นมันจะนำไปสู่ความขัดแย้งตามที่ Mayo แสดง

— gui11aume
แหล่งที่มา

ในฐานะที่เป็นหมายเหตุด้านหนึ่งอาจตั้งคำถามถึงคุณค่าของหลักการก่อตั้งหากไม่มีใครสามารถบอกได้ว่าเมื่อใดและอย่างไรพวกเขาใช้ ฉันสงสัยว่าทำไมวิธีสัจพจน์ทำงานได้ดีสำหรับความน่าจะเป็น แต่ก็ไม่มากนักสำหรับทฤษฎีสถิติ

— gui11aume