ทำไมเราต้องการสมมติฐานทางเลือก

เมื่อเราทำการทดสอบเราจะได้ผลลัพธ์ที่สอง

1) เราปฏิเสธสมมติฐานว่าง

2) เราไม่สามารถปฏิเสธสมมติฐานว่างได้

เราไม่พูดถึงการยอมรับสมมติฐานทางเลือก หากเราไม่พูดถึงการยอมรับสมมติฐานทางเลือกทำไมเราต้องมีสมมติฐานทางเลือกเลย

นี่คือการอัปเดต: มีคนให้ฉันสองตัวอย่าง:

1) การปฏิเสธสมมติฐานว่างเท่ากับยอมรับสมมติฐานทางเลือก

2) การปฏิเสธสมมติฐานว่างไม่เท่ากับการยอมรับสมมติฐานทางเลือก

ฉันจะเน้นที่ "ถ้าเราไม่พูดเกี่ยวกับการยอมรับสมมติฐานทางเลือกทำไมเราต้องมีสมมติฐานทางเลือกเลย?"

เพราะมันช่วยให้เราเลือกสถิติการทดสอบที่มีความหมายและออกแบบการศึกษาของเราให้มีพลังสูง --- โอกาสสูงที่จะปฏิเสธค่าว่างเมื่อทางเลือกนั้นเป็นจริง หากไม่มีทางเลือกอื่นเราไม่มีแนวคิดเรื่องพลัง

ลองจินตนาการว่าเรามีสมมติฐานว่างเปล่าและไม่มีทางเลือกอื่น จากนั้นก็ไม่มีแนวทางในการเลือกสถิติทดสอบที่จะมีพลังสูง ทั้งหมดที่เราสามารถพูดได้คือ "ปฏิเสธโมฆะเมื่อใดก็ตามที่คุณสังเกตสถิติทดสอบที่มีค่าไม่น่าจะต่ำกว่าโมฆะ" เราสามารถเลือกอะไรก็ได้: เราสามารถวาดตัวเลขสุ่ม (0,1) สุ่มและปฏิเสธค่าว่างเมื่อต่ำกว่า 0.05 สิ่งนี้เกิดขึ้นภายใต้ค่า null "น้อยมาก" ไม่เกิน 5% ของเวลา --- แต่มันก็หาได้ยากเช่นกันเมื่อค่า null เป็นเท็จ ดังนั้นนี่เป็นการทดสอบทางสถิติ แต่ไม่มีความหมายอะไรเป็นหลักฐาน

แต่เรามักจะมีบางสมมติฐานทางเลือกทางวิทยาศาสตร์ที่น่าเชื่อถือ ( "มีคือความแตกต่างในเชิงบวกในผลระหว่างการรักษาและการควบคุมกลุ่มต่าง ๆ ในการทดสอบของฉัน") เราต้องการปกป้องมันจากนักวิจารณ์ที่อาจก่อให้เกิดสมมุติฐานว่างในฐานะผู้สนับสนุนของปีศาจ ("ฉันยังไม่มั่นใจ - บางทีการรักษาของคุณอาจเจ็บจริงหรือไม่มีผลเลยและความแตกต่างที่ชัดเจนใน ข้อมูลเกิดจากรูปแบบการสุ่มตัวอย่างเท่านั้น ")

ด้วยสมมติฐาน 2 ข้อเหล่านี้ในตอนนี้เราสามารถตั้งค่าการทดสอบที่ทรงพลังได้โดยเลือกสถิติการทดสอบที่ค่าทั่วไปภายใต้ทางเลือกไม่น่าจะอยู่ภายใต้ค่าว่าง (บวก 2 ตัวอย่าง t-statistic ห่างไกลจาก 0 จะไม่แปลกใจถ้าทางเลือกเป็นจริง แต่น่าแปลกใจถ้าเป็นโมฆะจริง) จากนั้นเราหาการแจกแจงการสุ่มตัวอย่างของสถิติการทดสอบภายใต้ null ดังนั้นเราสามารถคำนวณค่า p --- และตีความพวกเขา เมื่อเราสังเกตสถิติทดสอบที่ไม่น่าภายใต้โมฆะ, โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าการออกแบบการศึกษาขนาดตัวอย่างและอื่น ๆ ได้รับการแต่งตั้งให้มีอำนาจสูงนี้ยังมีบางส่วนหลักฐานทางเลือก

แล้วทำไมเราไม่พูดถึงการยอมรับสมมติฐานทางเลือก? เพราะแม้แต่การศึกษาที่ใช้กำลังสูงก็ไม่ได้พิสูจน์อย่างสมบูรณ์ว่าข้อผิดพลาดนั้นผิด มันยังคงเป็นหลักฐาน แต่ก็อ่อนแอกว่าหลักฐานประเภทอื่น

ในอดีตมีความไม่เห็นด้วยเกี่ยวกับการตั้งสมมติฐานทางเลือกว่าจำเป็นหรือไม่ ให้ฉันอธิบายประเด็นของความขัดแย้งนี้โดยพิจารณาจากความคิดเห็นของฟิชเชอร์และเนย์แมนภายใต้บริบทของสถิติบ่อยครั้งและคำตอบแบบเบย์

• ฟิชเชอร์ - เราไม่ต้องการสมมติฐานอื่น เราสามารถทดสอบสมมติฐานว่างได้โดยใช้การทดสอบความดีพอดี ผลที่ได้คือค่า$p$ให้การวัดหลักฐานสำหรับสมมติฐานว่าง

• Neyman - เราต้องทำการทดสอบสมมุติฐานระหว่างค่า Null และทางเลือก การทดสอบดังกล่าวว่าจะส่งผลให้ชนิดที่ 1 ข้อผิดพลาดในการแก้ไขอัตราที่กำหนดไว้ล่วงหน้า, α$\alpha$ผลคือการตัดสินใจ - จะปฏิเสธหรือไม่ปฏิเสธสมมติฐานที่ระดับα$\alpha$

  เราต้องการทางเลือกจากมุมมองทางทฤษฎีการตัดสินใจ - เรากำลังเลือกระหว่างสองหลักสูตรของการกระทำ - และเพราะเราควรรายงานพลังของการทดสอบ

  $$1 - p\left(\textrm{Accept $H_0$} \, \middle|\, H_1\right)$$ $H_0$

  $H_0$

• $$p(H_0) = 1$$ $H_0$$p(\text{data}|\text{not }H_0)$

ฉันไม่แน่ใจ 100% ว่านี่เป็นข้อกำหนดอย่างเป็นทางการ แต่โดยทั่วไปแล้วสมมติฐานว่างและสมมติฐานทางเลือกคือ: 1) เสริมและ 2) หมดจด นั่นคือ: 1) พวกเขาไม่สามารถเป็นทั้งจริงในเวลาเดียวกัน; 2) หากไม่เป็นจริงจะต้องเป็นจริง

$height_{boys} = height_{girls}$$height_{boys} \ne height_{girls}$

ทำไมเราต้องมีสมมติฐานอื่นเลย

ในการทดสอบสมมติฐานคลาสสิกบทบาททางคณิตศาสตร์เพียงอย่างเดียวที่เล่นโดยสมมุติฐานทางเลือกคือมันมีผลต่อการเรียงลำดับของหลักฐานผ่านสถิติการทดสอบที่เลือก ทางเลือกสมมุติฐานถูกนำมาใช้เพื่อกำหนดสถิติการทดสอบที่เหมาะสมสำหรับการทดสอบซึ่งเทียบเท่ากับการจัดอันดับตามลำดับของผลลัพธ์ข้อมูลที่เป็นไปได้ทั้งหมดจากผู้ที่เอื้อต่อการตั้งสมมติฐานโมฆะ (เทียบกับทางเลือกที่ระบุ) (เทียบกับทางเลือกที่ระบุ) เมื่อคุณได้รูปแบบการจัดอันดับของผลข้อมูลเป็นไปได้ลำดับนี้สมมติฐานทางเลือกเล่นไม่มีบทบาททางคณิตศาสตร์ต่อไปในการทดสอบ

$n$$\mathbf{x} = (x_1,...,x_n)$$T: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ที่แมปผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของข้อมูลลงบนมาตราส่วนที่วัดว่ามันเอื้อต่อการเป็นโมฆะหรือสมมติฐานทางเลือก เราจะสมมติว่าค่าที่ต่ำกว่านั้นเอื้อต่อสมมติฐานว่างมากขึ้นและค่าที่สูงกว่านั้นเอื้อต่อสมมติฐานทางเลือกมากกว่าบางครั้งเราบอกว่าค่าที่สูงกว่าของสถิติการทดสอบคือ "ยิ่งมาก" ตราบเท่าที่พวกมันมีความรุนแรงมากขึ้น หลักฐานสำหรับสมมติฐานทางเลือก) p-value ของการทดสอบจะได้รับจาก:

ฟังก์ชัน p-value นี้กำหนดหลักฐานทั้งหมดในการทดสอบเวกเตอร์ข้อมูลใด ๆ เมื่อรวมกับระดับความสำคัญที่เลือกมันจะกำหนดผลลัพธ์ของการทดสอบสำหรับเวกเตอร์ข้อมูลใด ๆ (เราได้อธิบายเรื่องนี้สำหรับจุดข้อมูลจำนวนคงที่แต่สามารถขยายได้อย่างง่ายดายเพื่ออนุญาตให้ใช้โดยพลการ ) เป็นสิ่งสำคัญที่จะต้องทราบว่าค่า p-value ได้รับผลกระทบจากสถิติการทดสอบผ่านมาตราส่วนตามลำดับที่ทำให้เกิด$n$$n$ดังนั้นหากคุณใช้การแปลงที่เพิ่มขึ้นแบบ monotonically กับสถิติการทดสอบสิ่งนี้จะไม่สร้างความแตกต่างให้กับการทดสอบสมมติฐาน (นั่นคือการทดสอบเดียวกัน) คุณสมบัติทางคณิตศาสตร์นี้สะท้อนให้เห็นถึงความจริงที่ว่าจุดประสงค์เพียงอย่างเดียวของสถิติการทดสอบคือการชักนำให้เกิดสเกลอันดับในพื้นที่ของเวกเตอร์ข้อมูลที่เป็นไปได้ทั้งหมดเพื่อแสดงว่าสิ่งใดที่เอื้อต่อโมฆะ / ทางเลือก

สมมติฐานทางเลือกมีผลต่อการวัดนี้ผ่านทางฟังก์ชัน$T$เท่านั้นซึ่งจะถูกเลือกโดยอิงจากสมมติฐานว่างเปล่าและสมมติฐานทางเลือกภายในโมเดลโดยรวม ดังนั้นเราสามารถพิจารณาฟังก์ชันสถิติการทดสอบว่าเป็นฟังก์ชันของแบบจำลองโดยรวมและสมมติฐานสองข้อ ตัวอย่างเช่นสำหรับความน่าจะเป็น- อัตราส่วนการทดสอบสถิติการทดสอบจะเกิดขึ้นโดยการใช้อัตราส่วน (หรือลอการิทึมของอัตราส่วน) ของซูพรีมของฟังก์ชันความน่าจะเป็นมากกว่าช่วงพารามิเตอร์ที่เกี่ยวข้องกับสมมติฐานว่างและทางเลือก$T \equiv g (\mathcal{M}, H_0, H_A)$$\mathcal{M}$

สิ่งนี้หมายความว่าอย่างไรถ้าเราเปรียบเทียบการทดสอบกับทางเลือกอื่น สมมติว่าคุณมีรูปแบบคงที่และคุณต้องการที่จะทำสองการทดสอบสมมติฐานที่แตกต่างกันการเปรียบเทียบ null สมมติฐานเดียวกันกับสองทางเลือกที่แตกต่างกันและH_A'ในกรณีนี้คุณจะมีฟังก์ชันสถิติการทดสอบที่แตกต่างกันสองฟังก์ชัน:$\mathcal{M}$$H_0$$H_A$$H_A'$

นำไปสู่ฟังก์ชัน p-value ที่เกี่ยวข้อง:

$T$$T'$$p$$p'$$T$$T'$

$P(data|H_0)$$H_0$

$\alpha$

เหตุผลที่คุณกำหนดสมมติฐานทางเลือกขึ้นมาเนื่องจากคุณอาจมีการทดลองในใจก่อนที่จะเริ่มการสุ่มตัวอย่าง การกำหนดสมมติฐานทางเลือกยังสามารถตัดสินใจได้ว่าคุณใช้การทดสอบแบบหนึ่งด้านหรือสองด้านและด้วยเหตุนี้จึงให้พลังทางสถิติมากขึ้น (ในสถานการณ์แบบด้านเดียว) แต่ในทางเทคนิคเพื่อที่จะทำการทดสอบคุณไม่จำเป็นต้องกำหนดสมมติฐานทางเลือกคุณแค่ต้องการข้อมูล