จะทดสอบอย่างไรว่า

สมมติว่าฉันมีสามกลุ่มอิสระด้วยค่าเฉลี่ย $\mu_1,~ \mu_2,~\mu_3$ ตามลำดับ

ฉันจะทดสอบได้อย่างไร $\mu_1 < \mu_2 <\mu_3$ หรือไม่ใช้ $n_1,~n_2,~n_3$ ตัวอย่างจากแต่ละกลุ่ม?

ฉันต้องการทราบวิธีการทั่วไปบางอย่างไม่ใช่การคำนวณแบบละเอียด ฉันไม่สามารถหาวิธีตั้งสมมติฐานได้$H_0$ และ $H_1$.

ในสถิติคุณไม่สามารถทดสอบว่า "X เป็นจริงหรือไม่" คุณสามารถลองหาหลักฐานว่าสมมติฐานว่างเป็นเท็จ

สมมุติว่าสมมุติฐานว่างของคุณคือ

$$H_0^1: \mu_1 < \mu_2 < \mu_3.$$ สมมุติว่าคุณมีวิธีประมาณเวกเตอร์ด้วย $\mu = (\mu_1, \mu_2, \mu_3)'$. เพื่อให้สิ่งต่าง ๆ เพียงสมมติว่าคุณมีตัวประมาณ $$x \sim N(\mu, \Sigma),$$ ที่ไหน $\Sigma$ คือ $3 \times 3$เมทริกซ์แปรปรวน เราสามารถเขียนสมมุติฐานว่างเป็นใหม่ได้ $$A \mu < 0,$$ ที่ไหน $$A = \begin{bmatrix} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 \end{bmatrix}.$$ นี่แสดงให้เห็นว่าสมมติฐานว่างของคุณสามารถแสดงเป็นข้อ จำกัด ที่ไม่เท่าเทียมกันบนเวกเตอร์ $A \mu$. ตัวประมาณธรรมชาติของ$A\mu$ ได้รับจาก $$A x \sim N(A\mu, A\Sigma A').$$ ตอนนี้คุณสามารถใช้เฟรมเวิร์กสำหรับการทดสอบข้อ จำกัด ความไม่เสมอภาคบนเวกเตอร์ปกติที่ให้ไว้ใน:

Kudo อากิโอะ (1963) “ อะนาล็อกหลายตัวแปรของการทดสอบด้านเดียว” ใน: Biometrika 50.3 / 4, pp. 403–418

การทดสอบนี้จะใช้งานได้หากสมมติฐานความปกติมีเพียงประมาณ ("asymptotically") ตัวอย่างเช่นมันจะทำงานถ้าคุณสามารถดึงค่าเฉลี่ยตัวอย่างจากกลุ่ม ถ้าคุณวาดตัวอย่างของขนาด$n_1, n_2, n_3$ และถ้าคุณสามารถดึงอิสระจากกลุ่มแล้ว $\Sigma$ เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมที่มีเส้นทแยงมุม

$$(\sigma_1^2/n_1, \sigma_2^2/n_2, \sigma_3^2/n_3)',$$ ที่ไหน $\sigma_k^2$ คือความแปรปรวนในกลุ่ม $k = 1, 2, 3$. ในแอปพลิเคชันคุณสามารถใช้ความแปรปรวนตัวอย่างแทนความแปรปรวนประชากรที่ไม่รู้จักโดยไม่ต้องเปลี่ยนคุณสมบัติของการทดสอบ

หากสมมุติฐานทางเลือกของคุณคือ

$$H_1^2: \mu_1 < \mu_2 < \mu_3$$ จากนั้นสมมติฐานว่างของคุณจะกลายเป็น $$H_0^2: \text{NOT $H_1$}.$$ นี่มันใช้งานไม่ได้ โปรดจำไว้ว่าสมมติฐานทางเลือกใหม่ของเราสามารถเขียนเป็น$H_1: A\mu <0$ ดังนั้น $$H_0^2: \text{there exists a $k=1,2$ such that $(A\mu)_k \geq 0$}.$$ ฉันไม่รู้ว่ามีการทดสอบแบบพิเศษสำหรับเรื่องนี้หรือไม่ แต่คุณสามารถลองใช้กลยุทธ์บางอย่างโดยอาศัยการทดสอบต่อเนื่อง จำไว้ว่าคุณพยายามหาหลักฐานที่เป็นโมฆะ ดังนั้นคุณอาจทดสอบครั้งแรก $$H_{0,1}^2: (A\mu)_1 \geq 0.$$ แล้ว $$H_{0,2}^2: (A\mu)_2 \geq 0.$$ หากคุณปฏิเสธทั้งสองครั้งคุณจะพบหลักฐานว่า $H_0$ เป็นเท็จและคุณปฏิเสธ $H_0$. หากคุณไม่ทำเช่นนั้นคุณจะไม่ปฏิเสธ$H_0$. เนื่องจากคุณทำการทดสอบหลายครั้งคุณต้องปรับระดับการทดสอบย่อย คุณสามารถใช้การแก้ไข Bonferroni หรือหาการแก้ไขที่แน่นอน (เนื่องจากคุณรู้$\Sigma$)

อีกวิธีในการสร้างแบบทดสอบ $H_0^2$ คือการทราบว่า

$$H_0^2: \max_{k=1,2} (A\mu)_k \geq 0.$$ นี่หมายถึงการใช้เป็นสถิติการทดสอบ การทดสอบจะมีการแจกแจงที่ไม่ได้มาตรฐานภายใต้ค่า Null แต่ค่าวิกฤตที่เหมาะสมควรยังคงง่ายต่อการคำนวณ$\max Ax$

คำตอบที่ได้รับจาก @ andreas-dzemski นั้นถูกต้องก็ต่อเมื่อเรารู้ว่ามีการเผยแพร่ข้อมูลตามปกติ

หากเราไม่รู้จักการแจกแจงฉันเชื่อว่ามันจะเป็นการดีกว่าถ้าใช้การทดสอบแบบไม่มีพารามิเตอร์ ในกรณีนี้สิ่งที่ง่ายที่สุดดูเหมือนจะทำการทดสอบการเปลี่ยนรูป นี่คือหนังสือเกี่ยวกับหัวข้อและนี่เป็นคำอธิบายออนไลน์ที่ดี ด้านล่างฉันรวมรหัส R เพื่อคำนวณการทดสอบนี้

# some test data
D <- data.frame(group1=c(3,6,2,2,3,9,3,4,2,5), group2=c(5,3,10,1,10,2,4,4,2,2), group3=c(8,0,1,5,10,7,3,4,8,1))

# sample with replacement
resample <- function(X) sample(X, replace=TRUE)

# return true if mu1 < mu2 < mu3
test     <- function(mu1, mu2, mu3) (mu1 < mu2) & (mu2 < mu3)

# resampling test that returns the probability of observing the relationship
mean(replicate(1000, test(mean(resample(D$group1)), mean(resample(D$group2)), mean(resample(D$group3)))))