วาดจำนวนเต็มอย่างอิสระและสุ่มจาก 1 ถึงโดยใช้ยุติธรรม d6?

ฉันต้องการวาดจำนวนเต็มจาก 1 ถึงเฉพาะเจาะจงโดยการหมุนลูกเต๋าหกเหลี่ยมที่ยุติธรรมจำนวนหนึ่ง (d6) คำตอบที่ดีจะอธิบายว่าทำไมวิธีการในการสร้างจำนวนเต็มเหมือนกันและเป็นอิสระ$N$

ในฐานะที่เป็นตัวอย่างที่เป็นตัวอย่างก็จะเป็นประโยชน์ในการอธิบายถึงวิธีการแก้ปัญหาการทำงานสำหรับกรณีของN$N=150$

นอกจากนี้ฉันต้องการให้กระบวนการมีประสิทธิภาพมากที่สุด: หมุนจำนวน d6 โดยเฉลี่ยสำหรับแต่ละหมายเลขที่สร้าง

อนุญาตการแปลงจากSenaryเป็นทศนิยม

---

คำถามนี้ได้รับแรงบันดาลใจจาก Meta หัวข้อนี้

เซต$\Omega(d,n)$ของผลลัพธ์ที่สามารถระบุตัวตนได้อย่างชัดเจนใน$n$หมุนอิสระของตายด้วย$d=6$ใบหน้ามีองค์ประกอบ$d^n$เมื่อตายเป็นธรรมนั่นหมายความว่าผลของการม้วนหนึ่งแต่ละคนมีความน่าจะเป็น$1/d$และความเป็นอิสระหมายถึงแต่ละผลลัพธ์เหล่านี้จึงจะมีความน่าจะเป็น$(1/d)^n:$นั่นคือพวกเขามีการกระจายชุด$\mathbb{P}_{d,n}.$

สมมติว่าคุณได้วางแผนขั้นตอนบางอย่าง$t$ว่าทั้งกำหนด$m$ผลของ$c (=150)$ตายด้านเดียว - นั่นคือองค์ประกอบของ$\Omega(c,m)$ --or อื่นล้มเหลวรายงาน (ซึ่งหมายความว่าคุณจะต้องทำซ้ำ เพื่อให้ได้ผลลัพธ์) นั่นคือ,

$$t:\Omega(d,n)\to\Omega(c,m)\cup\{\text{Failure}\}.$$

ให้$F$เป็นความน่าจะเป็น$t$ผลในความล้มเหลวและทราบว่า$F$บางหลายหนึ่งของ$d^{-n},$พูด

$$F = \Pr(t(\omega)=\text{Failure}) = N_F\, d^{-n}.$$

(สำหรับการอ้างอิงในอนาคตทราบว่าจำนวนที่คาดหวังครั้งจะต้องถูกเรียกก่อนที่จะล้มเหลวไม่เป็น )$t$$1/(1-F).$

ความต้องการที่ผลลัพธ์เหล่านี้ในจะเหมือนกันและเป็นอิสระตามเงื่อนไขในไม่ได้รายงานหมายถึงความล้มเหลวที่รักษาความน่าจะเป็นในแง่ที่ว่าสำหรับเหตุการณ์ทุก$\Omega(c,m)$เสื้อT ⊂ Ω ( ค, ม. ) ,$t$$t$$\mathcal{A}\subset\Omega(c,m),$

$$\frac{\mathbb{P}_{d,n}\left(t^{*}\mathcal{A}\right)}{1-F}= \mathbb{P}_{c,m}\left(\mathcal{A}\right) \tag{1}$$

ที่ไหน

$$t^{*}\left(\mathcal A\right) = \{\omega\in\Omega\mid t(\omega)\in\mathcal{A}\}$$

คือชุดม้วนตายที่โพรซีเดอร์กำหนดให้กับเหตุการณ์$t$$\mathcal A.$

พิจารณาเหตุการณ์อะตอมซึ่งต้องมีความน่าจะเป็นปล่อย (ลูกเต๋าที่เกี่ยวข้องกับ ) มีองค์ประกอบ กลายเป็น$\mathcal A = \{\eta\}\subset\Omega(c,m)$ค-ม.$c^{-m}.$$t^{*}\left(\mathcal A\right)$$\eta$$N_\eta$$(1)$

$$\frac{N_\eta d^{-n}}{1 - N_F d^{-n}} = \frac{\mathbb{P}_{d,n}\left(t^{*}\mathcal{A}\right)}{1-F}= \mathbb{P}_{c,m}\left(\mathcal{A}\right) = c^{-m}.\tag{2}$$

ทันทีที่เท่ากับจำนวนเต็ม$N_\eta$ N$N.$ มันยังคงเป็นเพียงการหาโพรซีเดอร์ที่มีประสิทธิภาพมากที่สุด จำนวนที่คาดหวังของความล้มเหลวที่ไม่ใช่ความล้มเหลวต่อม้วนของ side dieคือ$t.$ค$c$

$$\frac{1}{m}\left(1 - F\right).$$

มีนัยยะสองอย่างที่ชัดเจนและทันที ข้อหนึ่งคือถ้าเราสามารถทำให้ขนาดเล็กลงเมื่อโตขึ้นขนาดใหญ่ผลของการรายงานความล้มเหลวจะเป็นศูนย์แบบไม่มีสัญญาณ อีกอันคือสำหรับกำหนด(จำนวนม้วนของ -sided die เพื่อจำลอง) เราต้องการทำให้ขนาดเล็กที่สุดเท่าที่จะทำได้$F$$m$$m$$c$$F$

ลองมาดูอย่างใกล้ชิดโดยการล้างตัวส่วน:$(2)$

$$N c^m = d^n - N_F \gt 0.$$

สิ่งนี้ทำให้เห็นได้ชัดว่าในบริบทที่กำหนด (กำหนดโดย ),ถูกสร้างให้มีขนาดเล็กที่สุดเท่าที่จะทำได้โดยทำให้เท่ากับตัวคูณที่ใหญ่ที่สุดของที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ เราอาจเขียนสิ่งนี้ในรูปของฟังก์ชั่นจำนวนเต็มมากที่สุด (หรือ "ชั้น")เป็น$c,d,n,m$$F$$d^n-N_F$$c^m$ง n$d^n.$$\lfloor*\rfloor$

$$N = \lfloor \frac{d^n}{c^m} \rfloor.$$

ในที่สุดก็เป็นที่ชัดเจนว่าควรจะเป็นขนาดเล็กที่สุดสำหรับประสิทธิภาพสูงสุดเพราะมันมีขนาดความซ้ำซ้อนในเสื้อโดยเฉพาะจำนวนม้วนที่คาดหวังของด้านที่จำเป็นในการผลิตหนึ่งของด้านตายคือ$N$T d ค$t$$d$$c$

$$N \times \frac{n}{m} \times \frac{1}{1-F}.$$

ดังนั้นการค้นหาขั้นตอนที่มีประสิทธิภาพสูงของเราควรมุ่งเน้นไปที่กรณีที่เท่ากับหรือเพิ่งจะสูงกว่ากำลังบางส่วน$d^n$$c^m.$

การวิเคราะห์สิ้นสุดลงโดยแสดงให้เห็นว่าสำหรับและมีลำดับของทวีคูณซึ่งวิธีนี้ใกล้เคียงกับประสิทธิภาพที่สมบูรณ์แบบ จำนวนนี้ในการหาซึ่งวิธีในขีด จำกัด (อัตโนมัติรับประกัน ) หนึ่งลำดับดังกล่าวได้มาโดยการและการพิจารณา$d$$c,$$(n,m)$$(n,m)$$d^n/c^m \ge 1$$N=1$$F\to 0$$n=1,2,3,\ldots$

$$m = \lfloor \frac{n\log d}{\log c} \rfloor.\tag{3}$$

การพิสูจน์นั้นตรงไปตรงมา

ทั้งหมดนี้หมายความว่าเมื่อเรายินดีที่จะม้วนต้นฉบับด้านจำนวนมากพอครั้งเราสามารถคาดหวังที่จะจำลองเกือบผลลัพธ์ของตายด้านต่อม้วน . ค่าเท่ากัน$d$$n,$$\log d / \log c = \log_c d$$c$

มันเป็นไปได้ที่จะจำลองเป็นจำนวนมากม้วนเป็นอิสระจากด้านเดียวตายใช้ยุติธรรมด้านเดียวตายโดยใช้ค่าเฉลี่ยของม้วนต่อผลลัพธ์ที่สามารถทำให้เล็กโดยพลการโดยเลือกใหญ่พอ$m$$c$$d$$\log(c)/\log(d) + \epsilon = \log_d(c) + \epsilon$$\epsilon$$m$

---

ตัวอย่างและอัลกอริทึม

ในคำถามและดังนั้น$d=6$$c=150,$

$$\log_d(c) = \frac{\log(c)}{\log(d)} \approx 2.796489.$$

ดังนั้นขั้นตอนที่เป็นไปได้ที่ดีที่สุดจะต้องเฉลี่ยอย่างน้อยม้วน a เพื่อจำลองผลลัพธ์แต่ละรายการ$2.796489$d6d150

การวิเคราะห์แสดงวิธีการทำสิ่งนี้ เราไม่จำเป็นต้องใช้ทฤษฎีจำนวนเพื่อดำเนินการ: เราสามารถจัดตารางพลังและพลังและเปรียบเทียบพวกมันเพื่อหาที่อยู่ใกล้ การคำนวณแรงเดรัจฉานนี้ให้คู่$d^n=6^n$$c^m=150^m$$c^m \le d^n$$(n,m)$

$$(n,m) \in \{(3,1), (14,5), \ldots\}$$

เช่นสอดคล้องกับตัวเลข

$$(6^n, 150^m) \in \{(216,150), (78364164096,75937500000), \ldots\}.$$

ในกรณีแรกจะเชื่อมโยงของผลสามม้วนที่ล้มเหลวและอื่น ๆผลลัพธ์ที่แต่ละคนจะได้รับการเชื่อมโยงกับผลเดียวของ $t$$216-150=66$d6$150$d150

ในกรณีที่สองจะเชื่อมโยงของผลลัพธ์ 14 ม้วนที่ล้มเหลว - ประมาณ 3.1% ของพวกเขาทั้งหมด - และอื่น ๆ จะส่งออกลำดับที่ 5 ผลลัพธ์ของการเป็น$t$$78364164096-75937500000$d6d150

ขั้นตอนวิธีการง่ายที่จะใช้$t$ป้ายใบหน้าของด้านเดียวตายกับเลขและใบหน้าของด้านเดียวตายกับเลขม้วนตายครั้งแรกจะถูกตีความว่าเป็นจำนวน -digit ในฐาน สิ่งนี้จะถูกแปลงเป็นตัวเลขในฐาน หากมีที่มากที่สุดตัวเลขลำดับของที่ผ่านมาหลักคือการส่งออก มิฉะนั้นส่งกลับล้มเหลวโดยเรียกตัวเองซ้ำ$d$$0,1,\ldots, d-1$$c$$0,1,\ldots, c-1.$$n$$n$$d.$$c.$$m$$m$$t$

สำหรับลำดับที่ยาวกว่านี้คุณสามารถหาคู่ที่เหมาะสม โดยพิจารณาจากการลู่เข้ากันของของการขยายส่วนต่อเนื่องของ ทฤษฎีของเศษส่วนต่อเนื่องแสดงให้เห็นว่าคอนเวอร์เจนซ์เหล่านี้สลับกันระหว่างการมีค่าน้อยกว่าและมากกว่านั้น (สมมติว่ายังไม่มีเหตุผล) เลือกผู้ที่น้อยกว่า$(n,m)$$n/m$$x=\log(c)/\log(d).$$x$$x$$x.$

ในคำถามนี้มีคอนเวอร์เจนต์สองสามตัวแรก

$$3, 14/5, 165/59, 797/285, 4301/1538, 89043/31841, 279235/99852, 29036139/10383070 \ldots.$$

ในกรณีสุดท้ายลำดับของ 29,036,139 ม้วน a d6จะสร้างลำดับของ 10,383,070 ม้วน a ที่d150มีอัตราความล้มเหลวน้อยกว่าสำหรับประสิทธิภาพของแยกแยะได้จากขีด จำกัด เชิงเส้นกำกับ$2\times 10^{-8},$$2.79649$

สำหรับกรณีของให้กลิ้ง d6 สามครั้งอย่างชัดเจนสร้างผลลัพธ์$N=150$$6^3=216$

ผลลัพธ์ที่ต้องการสามารถทำเป็นตารางด้วยวิธีนี้:

• บันทึก d6 สามครั้งตามลำดับ นี้ก่อให้เกิดผลลัพธ์ C ผลลัพธ์จะเหมือนกันเพราะค่าทั้งหมดของมีแนวโน้มเท่ากัน (ลูกเต๋ามีความยุติธรรมและเราปฏิบัติต่อแต่ละม้วนเหมือนกัน)$a,b,c$$a,b,c$
• ลบ 1 จากแต่ละ
• นี่คือหมายเลขวุฒิสภา: แต่ละหลัก (ค่าสถานที่) ไปจาก 0 ถึง 5 โดยกำลังของ 6 ดังนั้นคุณสามารถเขียนตัวเลขเป็นทศนิยมโดยใช้ $$(a-1) \times 6^2 + (b-1) \times 6^1 + (c-1)\times 6^0$$
• เพิ่ม 1
• หากผลลัพธ์เกิน 150 ให้ทิ้งผลลัพธ์แล้วหมุนอีกครั้ง

ความน่าจะเป็นของการรักษาผลเป็น{36} ม้วนทั้งหมดมีความเป็นอิสระและเราทำซ้ำขั้นตอนจนกว่า "ความสำเร็จ" (ผลใน ) ดังนั้นจำนวนของความพยายามที่จะสร้าง 1 เสมอระหว่าง 1 และ 150 จะถูกกระจายเป็นตัวแปรสุ่มทางเรขาคณิตซึ่ง มีความคาดหวัง{25} ดังนั้นการใช้วิธีนี้ในการสร้าง 1 เสมอต้องหมุนลูกเต๋าเฉลี่ย (เพราะแต่ละครั้งมี 3 ลูกเต๋า)$p=\frac{150}{216}=\frac{25}{36}$$1,2,\dots,150$$p^{-1}=\frac{36}{25}$$\frac{36}{25}\times 3 =4.32$

---

ขอมอบเครดิตให้แก่ @whuber เพื่อแนะนำสิ่งนี้ในการแชท

นี่คือทางเลือกที่ได้ง่ายที่จะตอบโดยSycoraxสำหรับกรณีที่Nตั้งแต่คุณสามารถทำตามขั้นตอนต่อไปนี้:$N=150$$150 = 5 \times 5 \times 6$

การสร้างหมายเลขสุ่มสม่ำเสมอจาก 1 ถึง 150:

• ทำให้สามม้วนสั่ง 1D6 และแสดงเหล่านี้เป็นR_3$R_1, R_2, R_3$
• หากหนึ่งในสองม้วนแรกเป็นหกให้หมุนใหม่อีกครั้งจนกระทั่งไม่ใช่ 6
• หมายเลขเป็นหมายเลขที่เหมือนกันโดยใช้สัญกรณ์ตำแหน่งพร้อมกับเลขฐาน 5-5-6 ดังนั้นคุณสามารถคำนวณจำนวนที่ต้องการเป็น: $(R_1, R_2, R_3)$ $$X = 30 \cdot (R_1-1) + 6 \cdot (R_2-1) + (R_3-1) + 1.$$

วิธีการนี้สามารถทั่วไปจะมีขนาดใหญ่แต่มันจะกลายเป็นบิตที่น่าอึดอัดใจมากขึ้นเมื่อค่าที่มีหนึ่งหรือปัจจัยที่สำคัญมากขึ้นมีขนาดใหญ่กว่า6$N$$6$

เป็นตัวอย่างของอัลกอริทึมในการเลือกอย่างสม่ำเสมอระหว่างค่าโดยใช้ลูกเต๋าหกด้านลองทำสิ่งนี้ซึ่งใช้แต่ละม้วนเพื่อคูณค่าที่มีอยู่ด้วยและทำให้ค่าใหม่แต่ละค่ามีแนวโน้มเท่ากัน:$150$$6$

• หลังจากม้วนคุณมีความเป็นไปได้ไม่เพียงพอที่จะแยกความแตกต่างค่า$0$$1$$150$
• หลังจากม้วนคุณมี6ความเป็นไปได้ไม่เพียงพอที่จะแยกแยะค่า150ค่า$1$$6$$150$
• หลังจาก$2$ม้วนคุณมี$36$ความเป็นไปได้ไม่เพียงพอที่จะแยกความแตกต่าง$150$ค่า 150
• หลังจาก$3$ม้วนคุณมี$216$ความเป็นไปได้เพียงพอที่จะแยกความแตกต่างค่า$150$แต่มี$66$ค่าที่เหลือ ความน่าจะเป็นที่คุณหยุดตอนนี้คือ$\frac{150}{216}$
• หากคุณยังไม่หยุดหลังจากนั้น$4$ม้วนคุณมีความเป็นไปได้ที่เหลืออยู่$396$เพียงพอที่จะแยกแยะความแตกต่างได้$150$ค่าสองวิธี แต่มี$96$ค่าที่เหลือ ความน่าจะเป็นที่คุณหยุดตอนนี้คือ$\frac{300}{1296}$
• หากคุณยังไม่หยุดหลังจากนั้น$5$ม้วนคุณมีความเป็นไปได้ที่เหลืออยู่$576$เพียงพอที่จะแยกแยะค่า$150$ค่าสามวิธี แต่มี$96$ค่าที่เหลือ ความน่าจะเป็นที่คุณหยุดตอนนี้คือ$\frac{450}{7776}$
• หากคุณยังไม่หยุดหลังจาก$6$ม้วนคุณมีความเป็นไปได้ที่เหลืออยู่$756$เพียงพอที่จะแยกแยะ$150$ค่าห้าวิธี แต่มี$6$ค่าที่เหลือ; ความน่าจะเป็นที่คุณหยุดตอนนี้คือ$\frac{750}{46656}$

หากคุณอยู่ในหนึ่งในค่าที่เหลือ$6$หลังจาก$6$ม้วนแล้วคุณจะอยู่ในสถานการณ์ที่คล้ายกับตำแหน่งหลังจาก$1$ม้วน ดังนั้นคุณสามารถดำเนินการต่อในลักษณะเดียวกัน: ความน่าจะเป็นที่คุณหยุดหลังจาก$7$ม้วนคือ$\frac{0}{279936}$หลังจาก$8$ม้วนคือ$\frac{150}{1679616}$เป็นต้น

เพิ่มขึ้นเหล่านี้และคุณจะพบว่าจำนวนที่คาดหวังของม้วนจำเป็นต้องเป็นเรื่องเกี่ยวกับ3.39614$3.39614$มันให้การเลือกแบบเดียวกันจาก$150$ในขณะที่คุณเลือกค่าในแต่ละครั้งเมื่อคุณสามารถเลือกแต่ละ$150$ด้วยความน่าจะเป็นที่เท่ากัน

---

Sycorax ถามในความคิดเห็นเพื่อหาอัลกอริทึมที่ชัดเจนยิ่งขึ้น

• ก่อนอื่นฉันจะทำงานในฐาน$6$กับ$150_{10}=410_6$
• ที่สองแทนที่จะเป็นค่าเป้าหมาย$1_6$ถึง$410_6$ฉันจะลบออกหนึ่งค่าดังนั้นค่าเป้าหมายคือ$0_6$ถึง$409_6$
• สามตายแต่ละคนควรมีค่า$0_6$ถึง$5_6$และกลิ้งตายเกี่ยวข้องกับการเพิ่มฐาน$6$หลักไปทางด้านขวามือของหมายเลขที่สร้างขึ้นที่มีอยู่ ตัวเลขที่สร้างสามารถมีศูนย์นำหน้าและจำนวนหลักคือจำนวนม้วนที่ผ่านมา

อัลกอริทึมคือการทอยลูกเต๋าแบบต่อเนื่อง:

• ม้วนลูกเต๋าสามลูกแรกที่จะสร้างจำนวนจาก$000_6$ไป$555_6$ 6 ตั้งแต่ $1000_6 \div 410_6 = 1_6 \text{ remainder } 150_6$คุณใช้ค่าที่สร้างขึ้น (ซึ่งเป็นส่วนที่เหลือของมันหารด้วย$410_6$ ) หากค่าที่สร้างขึ้นนั้นต่ำกว่า$1000_6-150_6=410_6$และหยุด;

• If continuing, roll the fourth die so you have now generated a number from $4100_6$ to $5555_6$. Since $10000_6 \div 410_6 = 12_6 \text{ remainder } 240_6$ you take the remainder of the generated value on division by $410_6$ if the generated value is strictly below $10000_6-240_6=5320_6$ and stop;

• หากดำเนินการต่อม้วนตายห้าเพื่อให้คุณได้สร้างตอนนี้ตัวเลขจาก$53200_6$ที่จะ$55555_6$ 6 ตั้งแต่ $100000_6 \div 410_6 = 123_6 \text{ remainder } 330_6$คุณใช้เวลาที่เหลือของค่าที่สร้างขึ้นในการหาร$410_6$ถ้าค่าที่สร้างขึ้นมีค่าต่ำกว่า$100000_6-330_6=55230_6$และหยุด;

• If continuing, roll the sixth die so you have now generated a number from $552300_6$ to $555555_6$. Since $1000000_6 \div 410_6 = 1235_6 \text{ remainder } 10_6$ you take the remainder of the generated value on division by $410_6$ if the generated value is strictly below $1000000_6-10_6=555550_6$ and stop;

• etc.