สถานการณ์

นักวิจัยบางคนต้องการให้คุณนอนหลับ ขึ้นอยู่กับการโยนเหรียญที่เป็นความลับพวกเขาจะปลุกคุณชั่วครู่หนึ่ง (หัว) หรือสองครั้ง (ก้อย) หลังจากตื่นแต่ละครั้งพวกเขาจะนำคุณกลับไปนอนกับยาที่ทำให้คุณลืมการตื่น เมื่อคุณตื่นขึ้นมาคุณควรเชื่อว่าผลลัพธ์ของการโยนเหรียญเป็นระดับใด

(โอเคบางทีคุณอาจไม่ต้องการเป็นหัวข้อของการทดลองนี้สมมติว่าเจ้าหญิงนิทรา (SB) เห็นด้วย (โดยได้รับการอนุมัติอย่างเต็มที่จากคณะกรรมการพิจารณาสถาบันของ Magic Kingdom) เธอกำลังจะไปที่ นอนหลับเป็นเวลาหนึ่งร้อยปีแล้วอีกหนึ่งหรือสองวันจะเป็นอย่างไร?)

[รายละเอียดภาพประกอบของMaxfield Parrish ]

คุณเป็น Halfer หรือ Thirder หรือไม่?

ตำแหน่ง Halfer Simple! เหรียญนั้นยุติธรรม - และ SB รู้ดี - ดังนั้นเธอควรเชื่อว่ามีโอกาสครึ่งหัว

ตำแหน่ง Thirder การทดลองนี้ถูกทำซ้ำหลายครั้งจากนั้นเหรียญจะเป็นหัวเพียงหนึ่งในสามของเวลาที่ SB ถูกปลุกขึ้นมา ความน่าจะเป็นของเธอสำหรับหัวจะเป็นหนึ่งในสาม

Thirders มีปัญหา

ส่วนใหญ่ แต่ไม่ใช่ทั้งหมดคนที่เขียนเกี่ยวกับเรื่องนี้เป็นเรื่องที่สิบสาม แต่:

• ในเย็นวันอาทิตย์ก่อนที่ SB จะหลับเธอจะต้องเชื่อว่าโอกาสของการเป็นหัวหน้านั้นเป็นครึ่งเดียวนั่นคือความหมายของการเป็นเหรียญที่ยุติธรรม

• เมื่อใดก็ตามที่ SB ตื่นขึ้นมาเธอก็ไม่ได้เรียนรู้อะไรเลยอย่างแน่นอนเธอไม่รู้จักคืนวันอาทิตย์ เหตุผลอะไรที่เธอสามารถให้ได้สำหรับการระบุว่าความเชื่อของเธอในหัวตอนนี้หนึ่งในสามและไม่ใช่ครึ่ง?

คำอธิบายพยายามบางอย่าง

• SB จำเป็นต้องสูญเสียเงินหากเธอต้องเดิมพันกับราคาอื่นที่ไม่ใช่ 1/3 (Vineberg, alios ระหว่าง )

• ครึ่งหนึ่งถูกต้องจริงๆ: ใช้การตีความ "หลายโลก" ของ Everettian ของ Quantum Mechanics! (ลูอิส)

• SB อัพเดทความเชื่อของเธอตามการรับรู้ตนเองของ“ ตำแหน่งทางโลก” ของเธอในโลก (Elga, ia )

• SB กำลังสับสน:“ [ดูเหมือน] เป็นไปได้มากกว่าที่จะพูดว่าสถานะญาณวิทยาของเธอเมื่อตื่นขึ้นมาไม่ควรมีระดับความเชื่อที่แน่นอนในหัว …ปัญหาที่แท้จริงคือวิธีจัดการกับความผิดปกติทางสติปัญญาที่รู้จักหลีกเลี่ยงไม่ได้” [Arntzenius]

---

คำถาม

การบัญชีสำหรับสิ่งที่เขียนไว้แล้วในเรื่องนี้ (ดูการอ้างอิงรวมถึงการโพสต์ก่อนหน้า ) วิธีการที่ผิดธรรมดานี้สามารถแก้ไขได้ในทางสถิติอย่างเข้มงวด? เป็นไปได้ไหม

---

อ้างอิง

Arntzenius, Frank (2002) การสะท้อนความเห็นเกี่ยวกับการวิเคราะห์ความงามของเจ้าหญิง 62.1 หน้า 53-62

Bradley, DJ (2010) การยืนยันในโลกที่แตกแขนง: เอเวอเรตีความและเจ้าหญิงนิทรา บริท เจฟิล วิทย์ 0 (2010), 1–21

Elga, Adam (2000) ความเชื่อที่ตั้งตัวเองและปัญหาความงามนอนหลับ การวิเคราะห์ 60 pp 143-7

Franceschi, Paul (2005) เจ้าหญิงนิทราและปัญหาที่เกิดจากการลดโลก preprint

Groisman, Berry (2007) ในตอนท้ายของการนอนหลับฝันร้ายของความงาม preprint

Lewis, D (2001) Sleeping Beauty: การตอบกลับ Elga การวิเคราะห์ 61.3 pp 171-6

Papineau, David และ Victor Dura-Vila (2008) Thirder และ Everettian: ตอบกลับของลูอิส 'ควอนตัม Sleeping Beauty'

Pust, Joel (2008) Horgan ในเจ้าหญิงนิทรา ซินธิส 160 หน้า 97-101

Vineberg, Susan (ไม่ได้ระบุไว้, อาจจะเป็นปี 2003) ความงามของเตือนเรื่อง

กลยุทธ์

ฉันต้องการใช้ทฤษฎีการตัดสินใจอย่างมีเหตุผลกับการวิเคราะห์เพราะนั่นเป็นวิธีที่ได้รับการยอมรับอย่างดีในการแก้ไขปัญหาการตัดสินใจเชิงสถิติ ในการพยายามทำเช่นนั้นความยากลำบากอย่างหนึ่งเกิดขึ้นเป็นพิเศษ: การปรับเปลี่ยนจิตสำนึกของ SB

• ทฤษฎีการตัดสินใจอย่างมีเหตุผลไม่มีกลไกในการจัดการกับสภาพจิตใจที่เปลี่ยนแปลงไป

• ในการขอความเชื่อมั่นจาก SB ของเธอในการโยนเหรียญเราพร้อมกันปฏิบัติต่อเธอในลักษณะที่อ้างอิงตนเองทั้งในเรื่องของการทดลอง SB และการทดลอง (เกี่ยวกับการพลิกเหรียญ)

ลองเปลี่ยนการทดลองด้วยวิธีที่ไม่จำเป็น:แทนที่จะจัดการกับยาลบความทรงจำให้เตรียมโคลนนิ่งเจ้าหญิงนิทราก่อนเริ่มการทดลอง (นี่เป็นความคิดหลักเพราะจะช่วยให้เราต่อต้านการเบี่ยงเบนความสนใจ - แต่ท้ายที่สุดประเด็นที่ไม่เกี่ยวข้องและทำให้เข้าใจผิด - เรื่องปรัชญา)

• โคลนเป็นเหมือนเธอทุกประการรวมถึงความทรงจำและความคิด

• SB ตระหนักดีว่าสิ่งนี้จะเกิดขึ้น

โดยหลักการเราสามารถทำการโคลนนิ่ง ET Jaynes แทนที่คำถาม "เราจะสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของสามัญสำนึกของมนุษย์" ได้อย่างไร - สิ่งที่เราต้องการเพื่อคิดผ่านปัญหาเจ้าหญิงนิทรา - โดย "เราจะสร้างเครื่องจักรที่จะใช้เหตุผลที่มีเหตุผลได้อย่างไร การปฏิบัติตามหลักการที่กำหนดไว้อย่างชัดเจนซึ่งแสดงออกถึงสามัญสำนึกในอุดมคติ? " ดังนั้นหากคุณต้องการแทนที่หุ่นยนต์คิด SB ของเจย์เนสและเลียนแบบสิ่งนั้น

(ยังมีอยู่และยังคงมีข้อถกเถียงเกี่ยวกับเครื่องจักร "คิด"

“ พวกเขาจะไม่สร้างเครื่องจักรเพื่อแทนที่จิตใจมนุษย์ - มันทำสิ่งต่าง ๆ ที่ไม่เคยมีมาก่อน”

คุณยืนยันว่ามีบางสิ่งที่เครื่องไม่สามารถทำได้ หากคุณจะบอกฉันอย่างแม่นยำว่าเครื่องไม่สามารถทำได้ฉันก็สามารถสร้างเครื่องจักรที่จะทำเช่นนั้นได้!”

--J von Neumann, 1948 อ้างโดย ET Jaynes ในทฤษฎีความน่าจะเป็น: ตรรกะของวิทยาศาสตร์ , p. 4. )

- วงแหวน Goldberg

การทดลองของเจ้าหญิงนิทราได้รับการปรับปรุงใหม่

เตรียมสำเนา SB ที่เหมือนกันของ SB (รวมถึง SB ด้วยตัวเอง) ในเย็นวันอาทิตย์ พวกเขาทั้งหมดไปนอนในเวลาเดียวกันอาจเป็นเวลา 100 ปี เมื่อใดก็ตามที่คุณต้องการปลุก SB ในระหว่างการทดสอบให้สุ่มเลือกโคลนที่ยังไม่ถูกปลุก การตื่นใด ๆ จะเกิดขึ้นในวันจันทร์และหากจำเป็นในวันอังคาร$n \ge 2$

ฉันอ้างว่าการทดลองรุ่นนี้สร้างผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ชุดเดียวกันตรงไปยังสถานะทางจิตและการรับรู้ของ SB ด้วยความน่าจะเป็นเดียวกัน นี่อาจเป็นประเด็นสำคัญที่นักปรัชญาอาจเลือกที่จะโจมตีโซลูชันของฉัน ฉันอ้างว่ามันเป็นจุดสุดท้ายที่พวกเขาสามารถโจมตีได้เพราะการวิเคราะห์ที่เหลืออยู่นั้นเป็นกิจวัตรและเข้มงวด

ตอนนี้เราใช้เครื่องจักรสถิติทั่วไป เริ่มจากพื้นที่ตัวอย่าง (จากผลการทดลองที่เป็นไปได้) ให้หมายถึง "ตื่นวันจันทร์" และหมายถึง "ตื่นวันอังคาร" ในทำนองเดียวกันให้หมายถึง "หัว" และ "t" หมายถึงก้อย ห้อยโคลนที่มีจำนวนเต็มn จากนั้นสามารถเขียนผลการทดลองที่เป็นไปได้ (ในสิ่งที่ฉันหวังว่าจะเป็นสัญกรณ์ที่โปร่งใสและชัดเจนในตัวเอง) ตามที่ตั้งไว้T h 1 , 2 , … , $M$$T$$h$$1, 2, \ldots, n$

$$\eqalign{ \{&hM_1, hM_2, \ldots, hM_n, \\ &(tM_1, tT_2), (tM_1, tT_3), \ldots, (tM_1, tT_n), \\ &(tM_2, tT_2), (tM_2, tT_3), \ldots, (tM_2, tT_n), \\ &\cdots, \\ &(tM_{n-1}, tT_2), (tM_{n-1}, tT_3), \ldots, (tM_{n-1}, tT_n) & \}. }$$

ความน่าจะเป็นวันจันทร์

ในฐานะหนึ่งในโคลนนิ่ง SB คุณคิดว่าโอกาสที่คุณจะถูกปลุกให้ตื่นในวันจันทร์ระหว่างการทดลองแบบเฮดอัพคือ (โอกาสของหัว) ครั้ง ( โอกาสฉันเลือกให้เป็นโคลนนิ่งที่ถูกปลุกขึ้นมา) ในแง่เทคนิคเพิ่มเติม:1 /$1/2$$1/n$

• ชุดของผลลัพธ์เป็นหัว\} มีของพวกเขา$h = \{hM_j, j=1,2, \ldots,n\}$$n$

• กรณีที่คุณจะตื่นขึ้นมากับหัวเป็น\}$h(i) = \{hM_i\}$

• โอกาสของการโคลนนิ่ง SB ที่ถูกปลุกด้วยเหรียญแสดงหัวเท่ากับ$i$

  $$\Pr[h(i)] = \Pr[h] \times \Pr[h(i)|h] = \frac{1}{2} \times \frac{1}{n} = \frac{1}{2n}.$$

ความน่าจะเป็นวันอังคาร

• ชุดของผลลัพธ์ที่หางเป็น\} มีของพวกเขา ทั้งหมดมีแนวโน้มเท่ากันโดยการออกแบบn ( n - 1 $t = \{(tM_j, tT_k): j \ne k\}$$n(n-1)$

• คุณโคลนถูกปลุกให้ตื่นในของกรณีเหล่านี้ ได้แก่วิธีที่คุณสามารถตื่นขึ้นมาในวันจันทร์ (มีโคลนที่เหลือจะถูกปลุกให้ตื่นขึ้นอังคาร) บวกวิธีที่คุณสามารถตื่นขึ้นมาในวันอังคาร (มีที่เป็นไปได้โคลนจันทร์) เรียกเหตุการณ์นี้(i)( n - 1 ) + ( n - 1 ) = 2 ( n - 1 ) n - 1 n - 1 n - 1 n - 1 n - 1 t ( i $i$$(n-1) + (n-1) = 2(n-1)$$n-1$$n-1$$n-1$$n-1$$t(i)$

• โอกาสที่คุณจะถูกปลุกให้ตื่นในระหว่างการทดสอบแบบก้อยเท่ากับ

  $$\Pr[t(i)] = \Pr[t] \times P[t(i)|t] = \frac{1}{2} \times \frac{2(n-1}{n(n-1)} = \frac{1}{n}.$$

ทฤษฎีบทของเบย์

ตอนนี้เรามาไกลขนาดนี้แล้วทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์ของ Bayes 'ที่เกินข้อโต้เถียงทำให้งานเสร็จสมบูรณ์ โอกาสของการโคลนนิ่งที่เป็นไปได้คือ

$$\Pr[h | t(i) \cup h(i)] = \frac{\Pr[h]\Pr[h(i)|h]}{\Pr[h]\Pr[h(i)|h] + \Pr[t]\Pr[t(i)|t]} = \frac{1/(2n)}{1/n + 1/(2n)} = \frac{1}{3}.$$

เนื่องจาก SB ไม่สามารถแยกแยะได้จากโคลนนิ่งของเธอ - ถึงตัวเธอเอง! - นี่คือคำตอบที่เธอควรให้เมื่อถูกถามถึงระดับความเชื่อของเธอในหัว

การตีความ

คำถาม "สิ่งที่น่าจะเป็นของหัว" มีการตีความที่สมเหตุสมผลสองประการสำหรับการทดลองนี้:มันสามารถขอโอกาสที่หัวเหรียญที่ยุติธรรมซึ่งคือ (คำตอบของ Halfer) หรือ ขอโอกาสที่หัวเหรียญจะตกลงบนความจริงที่ว่าคุณถูกโคลนตื่นขึ้นมา นี่คือ (คำตอบที่ Thirder)Pr [ H | T ( ฉัน) ∪ ชั่วโมง( ฉัน) ] = 1 /$\Pr[h] = 1/2$$\Pr[h|t(i) \cup h(i)] = 1/3$

ในสถานการณ์ที่ SB (หรือมากกว่าหนึ่งในชุดของเครื่องคิด Jaynes ที่เตรียมไว้เหมือนกัน) พบว่าตัวเองการวิเคราะห์นี้ - ที่คนอื่น ๆ ได้แสดง (แต่ฉันคิดว่าไม่ค่อยน่าเชื่อถือเพราะพวกเขาไม่ได้กำจัดสิ่งรบกวนทางปรัชญาอย่างชัดเจน ในคำอธิบายการทดลอง) - รองรับคำตอบของ Thirder

คำตอบ Halfer นั้นถูกต้อง แต่ไม่น่าสนใจเพราะมันไม่เกี่ยวข้องกับสถานการณ์ที่ SB พบว่าตัวเอง สิ่งนี้จะช่วยแก้ไขความขัดแย้ง

โซลูชันนี้ได้รับการพัฒนาภายใต้บริบทของการตั้งค่าการทดสอบที่กำหนดชัดเจนเพียงครั้งเดียว การชี้แจงการทดสอบทำให้คำถามชัดเจนขึ้น คำถามที่ชัดเจนนำไปสู่คำตอบที่ชัดเจน

ความคิดเห็น

ฉันเดาว่าตาม Elga (2000) คุณสามารถกำหนดลักษณะคำตอบตามเงื่อนไขของเราอย่างถูกต้องตามกฎหมายว่า "นับ [อิง] ตำแหน่งชั่วคราวของคุณเองซึ่งเกี่ยวข้องกับความจริงของ h" แต่การจำแนกลักษณะนั้นไม่ทำให้เกิดความเข้าใจลึกซึ้ง ข้อเท็จจริงทางคณิตศาสตร์ในหลักฐาน สำหรับฉันดูเหมือนว่าจะเป็นเพียงวิธีคลุมเครือในการยืนยันว่า "การโคลนนิ่ง" การตีความของคำถามความน่าจะเป็นเป็นคำถามที่ถูกต้อง

การวิเคราะห์นี้แสดงให้เห็นว่าปัญหาปรัชญาพื้นฐานเป็นหนึ่งในตัวตน : เกิดอะไรขึ้นกับโคลนที่ไม่ตื่นขึ้นมา? มีความสัมพันธ์ทางปัญญาและความคิดอะไรบ้างในโคลนนิ่ง - แต่การสนทนานั้นไม่ได้เป็นเรื่องของการวิเคราะห์ทางสถิติ มันอยู่ในฟอรัมอื่น

ขอบคุณสำหรับโพสต์ที่ยอดเยี่ยมนี้ (+1) และโซลูชัน (+1) ความขัดแย้งนี้ทำให้ฉันปวดหัวแล้ว

ฉันแค่คิดถึงสถานการณ์ต่อไปนี้ซึ่งไม่ต้องการนางฟ้านางฟ้าหรือยาวิเศษ พลิกเหรียญยุติธรรมในวันจันทร์เที่ยง เมื่อ 'ก้อย' ส่งจดหมายถึงอลิซและบ๊อบ (ในแบบที่พวกเขาไม่รู้ว่าอีกคนหนึ่งได้รับจดหมายจากคุณและพวกเขาไม่สามารถสื่อสารได้) เมื่อ 'หัว' ส่งอีเมลถึงหนึ่งในนั้นโดยการสุ่ม (ด้วยความน่าจะเป็น )$1/2$

เมื่ออลิซได้รับจดหมายความน่าจะเป็นที่เหรียญลงบน 'หัว' คืออะไร? ความน่าจะเป็นว่าเธอได้รับจดหมายเป็นและน่าจะเป็นที่เหรียญลงบน 'หัว' เป็น1/31 /$1/2 \times 1/2 + 1/2 = 3/4$$1/3$

ที่นี่ไม่มีความขัดแย้งเพราะอลิซไม่ได้รับจดหมายที่มีความน่าจะเป็นซึ่งในกรณีนี้เธอรู้ว่าเหรียญลงบน 'เฮด' ความจริงที่ว่าเราไม่ได้ถามความเห็นของเธอในกรณีที่จะทำให้ความน่าจะเป็นนี้เท่ากับ 0$1/4$

ดังนั้นความแตกต่างคืออะไร? ทำไมอลิซถึงได้รับข้อมูลจากการรับจดหมายและ SB จะเรียนรู้ว่าไม่มีอะไรถูกปลุกขึ้นมา?

ย้ายไปสู่สถานการณ์ที่น่าอัศจรรย์ยิ่งกว่านี้เราทำให้ SB ที่แตกต่างกัน 2 โหมดเข้าสู่โหมดสลี หากเหรียญตกถึง 'ก้อย' เราตื่นขึ้นมาทั้งคู่ถ้ามันตกลงมาที่ 'หัว' เราจะปลุกพวกมันแบบสุ่ม ที่นี่อีกครั้ง SB แต่ละคนควรพูดว่าความน่าจะเป็นของการลงจอดเหรียญบน 'Heads' คือและอีกครั้งไม่มีความขัดแย้งเพราะมีโอกาสที่ SB นี้จะไม่ถูกปลุกให้ตื่น1 /$1/3$$1/4$

แต่สถานการณ์นี้ใกล้เคียงกับความขัดแย้งแบบดั้งเดิมมากเพราะการลบหน่วยความจำ (หรือการโคลน) นั้นเทียบเท่ากับการมี SB ที่แตกต่างกันสองตัว ดังนั้นฉันอยู่กับ @Douglas Zare ที่นี่ (+1) SB ได้เรียนรู้บางสิ่งด้วยการถูกปลุกให้ตื่น ความจริงที่ว่าเธอไม่สามารถแสดงความคิดเห็นของเธอในวันอังคารเมื่อเหรียญ 'หัว' ขึ้นเพราะเธอกำลังนอนหลับไม่ได้ลบข้อมูลที่เธอได้จากการถูกปลุกให้ตื่น

ในความคิดของฉันความขัดแย้งอยู่ใน " เธอไม่ได้เรียนรู้อะไรเลยเธอไม่รู้คืนวันอาทิตย์ " ซึ่งระบุไว้โดยไม่มีเหตุผล เรามีความประทับใจนี้เพราะสถานการณ์ที่เธอตื่นขึ้นมานั้นเหมือนกัน แต่นี่ก็เหมือนกับที่อลิซได้รับจดหมาย: มันเป็นความจริงที่ว่าเธอถูกถามความคิดเห็นของเธอที่ให้ข้อมูลของเธอ

MAJOR EDIT : หลังจากให้ความคิดที่ลึกล้ำฉันเปลี่ยนความคิดเห็นของฉัน: เจ้าหญิงนิทราไม่ได้เรียนรู้อะไรเลยและตัวอย่างที่ฉันให้ไว้ข้างต้นนั้นไม่ใช่สิ่งที่ดีสำหรับสถานการณ์ของเธอ

แต่นี่เป็นปัญหาที่เทียบเท่าที่ไม่ได้ขัดแย้งกัน ฉันสามารถเล่นเกมต่อไปนี้กับอลิซและบ๊อบ: ฉันโยนเหรียญอย่างลับๆและเดิมพันอย่างอิสระ 1 ดอลลาร์เพื่อพวกเขาไม่สามารถเดาได้ แต่ถ้าเหรียญลงบน 'ก้อย' การเดิมพันของอลิซบ๊อบก็จะถูกยกเลิก (เงินไม่เปลี่ยนมือ) ระบุว่าพวกเขารู้กฎพวกเขาควรวางเดิมพันอะไร

'หัว' อย่างเห็นได้ชัด หากเหรียญตกถึง 'Heads' พวกเขาจะได้รับ 1 $มิฉะนั้นจะเสีย 0.5 $โดยเฉลี่ย หมายความว่าพวกเขาเชื่อหรือไม่ว่าเหรียญมีโอกาส 2/3 ที่จะลงจอดบน 'Heads'? ไม่แน่ใจ เพียงแค่โปรโตคอลเป็นเช่นนั้นพวกเขาไม่ได้รับเงินจำนวนเท่ากันสำหรับแต่ละคำตอบ

ฉันเชื่อว่าเจ้าหญิงนิทราอยู่ในสถานการณ์เดียวกับอลิซหรือบ๊อบ เหตุการณ์ไม่ได้ให้ข้อมูลเกี่ยวกับการโยนแต่ถ้าเธอถูกขอให้วางเดิมพันอัตราต่อรองของเธอไม่ใช่ 1: 1 เนื่องจากความไม่สมดุลในการได้รับ ฉันเชื่อว่านี่คือความหมายของ @whuber

คำตอบ Halfer นั้นถูกต้อง แต่ไม่น่าสนใจเพราะมันไม่เกี่ยวข้องกับสถานการณ์ที่ SB พบว่าตัวเอง สิ่งนี้จะช่วยแก้ไขความขัดแย้ง

"เมื่อใดก็ตามที่ SB ตื่นขึ้นมาเธอก็ไม่ได้เรียนรู้อะไรเลยอย่างแน่นอนเธอไม่รู้จักคืนวันอาทิตย์" นี่เป็นสิ่งที่ผิดเช่นเดียวกับการพูดว่า "ไม่ว่าฉันจะถูกล็อตเตอรี่หรือไม่ก็ตามความน่าจะเป็นคือ " เธอได้เรียนรู้ว่าเธอตื่นขึ้นมาแล้ว นี่คือข้อมูล ตอนนี้เธอน่าจะเชื่อว่าการตื่นขึ้นมาแต่ละครั้งนั้นมีโอกาสเท่ากันไม่ใช่การพลิกทุกครั้ง$50\%$

หากคุณเป็นแพทย์และผู้ป่วยเข้ามาในสำนักงานของคุณคุณได้เรียนรู้ว่าผู้ป่วยได้เข้าสู่สำนักงานแพทย์ซึ่งควรเปลี่ยนการประเมินของคุณจากก่อนหน้านี้ หากทุกคนไปพบแพทย์ แต่ครึ่งหนึ่งของประชากรที่ป่วยไปเท่าบ่อยเท่าครึ่งที่มีสุขภาพดีจากนั้นเมื่อผู้ป่วยเดินเข้ามาคุณรู้ว่าผู้ป่วยอาจจะป่วย$100$

นี่คือความแตกต่างเล็กน้อยอีกอย่างหนึ่ง สมมติว่าไม่ว่าผลของการโยนเหรียญจะเป็นอย่างไรก็ตามเจ้าหญิงนิทราจะถูกปลุกขึ้นสองครั้ง อย่างไรก็ตามหากเป็นหางเธอจะตื่นขึ้นมาอย่างสวยงามสองครั้ง ถ้ามันเป็นหัวเธอจะตื่นขึ้นมาหนึ่งครั้งและจะมีถังน้ำแข็งทิ้งไว้ครั้งเดียว หากเธอตื่นขึ้นมาในกองน้ำแข็งเธอมีข้อมูลว่าเหรียญขึ้นมา หากเธอตื่นขึ้นมาอย่างสวยงามเธอมีข้อมูลว่าเหรียญอาจไม่ปรากฏขึ้น เธอไม่สามารถทำการทดสอบแบบไม่เลิกซึ่งผลลัพธ์ในเชิงบวก (น้ำแข็ง) บอกว่าหัวของเธอมีแนวโน้มมากกว่าโดยไม่มีผลลัพธ์เชิงลบ (ดี) ที่ระบุว่าหัวมีโอกาสน้อยกว่า

ความขัดแย้งอยู่ในการเปลี่ยนแปลงมุมมองระหว่างการทดสอบเดียวและจุด จำกัด หากคำนึงถึงจำนวนครั้งของการทดสอบคุณสามารถเข้าใจสิ่งนี้ได้แม่นยำยิ่งขึ้นกว่า "ครึ่งหรือ" ของครึ่งและสาม

การทดลองเดี่ยว: Halvers ถูกต้อง

หากมีการทดสอบเดียวมีผลลัพธ์สามรายการและคุณต้องคิดความน่าจะเป็นจากมุมมองของผู้ตื่นขึ้น:

1. หัวถูกโยน: 50%
2. ก้อยถูกโยนและนี่เป็นการปลุกครั้งแรกของฉัน: 25%
3. ก้อยถูกโยนและนี่เป็นการตื่นครั้งที่สองของฉัน: 25%

ดังนั้นในการทดลองครั้งเดียวเมื่อเกิดเหตุการณ์ปลุกคุณควรถือว่า 50/50 ว่าคุณอยู่ในสถานะที่ถูกโยนหัว

การทดลองสองครั้ง: 42% ers ถูกต้อง

ตอนนี้ลองทดลองสองครั้ง:

1. หัวถูกโยนสองครั้ง: 25% (สำหรับการปลุกทั้งสองรวมกัน)
2. ก้อยถูกโยนสองครั้ง: 25% (สำหรับการปลุกทั้งสี่รวมกัน)
3. หัวก็ก้อยแล้วนี่เป็นครั้งแรกที่ฉันตื่นขึ้น: 25% / 3
4. หัวก็ก้อยแล้วนี่คือการตื่นครั้งที่สองหรือครั้งที่ 3 ของฉัน: 25% * 2/3
5. ก้อยแล้ว Heads และการกระตุ้นครั้งที่ 1 หรือ 2 ของฉัน: 25% * 2/3
6. ก้อยแล้วหัวและนี่คือการตื่นครั้งที่ 3 ของฉัน: 25% / 3

ดังนั้นที่นี่ {1, 3, 6} คือสถานะ Heads ของคุณโดยมีความน่าจะเป็นรวม (25 + 25/3 + 25/3)%, 41.66% ซึ่งน้อยกว่า 50% หากมีการเรียกใช้การทดสอบสองรายการในกรณีที่เกิดการปลุกคุณควรถือว่ามีโอกาส 41.66% ที่คุณอยู่ในสถานะที่หัวถูกโยน

การทดลองที่ไม่มีที่สิ้นสุด: Thirders ถูกต้อง

ฉันจะไม่คำนวณทางคณิตศาสตร์ที่นี่ แต่ถ้าคุณดูที่ตัวเลือกสองการทดลองคุณสามารถดู # 1 และ # 2 ขับไปทางครึ่งและส่วนที่เหลือจะผลักไปทางสาม เมื่อจำนวนการทดสอบเพิ่มขึ้นตัวเลือกที่ขับเข้าหาครึ่งหนึ่ง (หัวทั้งหมด / ก้อยทั้งหมด) จะลดความน่าจะเป็นลงเหลือศูนย์โดยปล่อยให้ตัวเลือก "สาม" นำไปใช้ หากมีการทดลองที่ไม่มีที่สิ้นสุดในกรณีที่เกิดการปลุกคุณควรถือว่าโอกาส 1/3 คุณอยู่ในสถานะที่ถูกโยนหัว

Preempting Retort:

แต่การพนัน?

ใช่ในอินสแตนซ์การทดสอบเดียวคุณควร "เล่นการพนัน" โดยอันดับที่สาม นี่ไม่ใช่ความไม่ลงรอยกัน เป็นเพียงเพราะคุณอาจวางเดิมพันเดียวกันหลาย ๆ ครั้งเพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่แน่นอนและทราบล่วงหน้า (หรือถ้าคุณทำไม่ได้มาเฟียจะทำ)

โอเคแล้วการทดลองเดี่ยวสองเรื่องล่ะ ความคลาดเคลื่อนมาก?

ไม่เพราะความรู้เกี่ยวกับว่าคุณกำลังทำการทดสอบครั้งแรกหรือครั้งที่ 2 จะเพิ่มความรู้ความรู้ ลองดูตัวเลือก "การทดสอบสองทาง" และกรองโดยความรู้ที่ว่าคุณกำลังทำการทดสอบครั้งแรก

1. ใช้งานได้สำหรับการกระตุ้นครั้งแรก (1/2)
2. ใช้งานได้สำหรับการปลุกสองครั้งแรก (2/4)
3. เหมาะสม
4. ไม่เคยเกี่ยวข้อง
5. ใช้งานได้สำหรับการกระตุ้นครั้งแรก (1/2)
6. ไม่สามารถใช้ได้

เอาล่ะหัวคน (1,3,6) คูณเหล่านี้ต่อรองโดยการบังคับใช้: 25/2 25/3 + + 0 125/6=

ตอนนี้ใช้คนที่หาง (2,4,5) และทำเช่นเดียวกัน: * 4 25/2 + 0 + 25 * (2/3) / 2 125/6=

Viola พวกมันเหมือนกัน ข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับการทดสอบที่คุณจริง ๆ แล้วปรับอัตราต่อรองของสิ่งที่คุณรู้

แต่โคลน !!

พูดง่ายๆคือการโคลนนั้นสร้างการทดสอบที่เทียบเท่า: การโคลนและการเลือกแบบสุ่มจะเปลี่ยนความรู้ของผู้ทดลองในทางเดียวกัน "การทดลองหลายครั้ง" เปลี่ยนการทดลอง หากมีสองโคลนคุณสามารถดูความน่าจะเป็นของแต่ละโคลนที่สอดคล้องกับความน่าจะเป็นสองการทดสอบ โคลนที่ไม่มีที่สิ้นสุดมาบรรจบกับ Thirders แต่ไม่ใช่การทดลองเดียวกันและไม่ใช่ความรู้เดียวกันในการทดสอบเดี่ยวที่มีหัวเรื่องที่ไม่สุ่มเดียว

คุณพูดว่า "สุ่มหนึ่งอนันต์" และฉันบอกว่า Axiom of Choice dependency

ฉันไม่รู้ทฤษฎีเซตของฉันก็ไม่ได้ยอดเยี่ยมขนาดนั้น แต่สำหรับ N น้อยกว่าอินฟินิตี้คุณสามารถกำหนดลำดับที่รวมกันจากครึ่งหนึ่งถึงสามกรณีที่ไม่มีที่สิ้นสุดซึ่งเท่ากับหนึ่งในสามนั้นจะเป็นจริงหรือไม่อาจตัดสินใจได้ว่าเลวร้ายที่สุด

ลองมาแก้ไขปัญหากัน

หากเหรียญปรากฏขึ้น Heads จะไม่มีการปลุก SB

หาก Tails แสดงว่า SB ถูกปลุกขึ้นหนึ่งครั้ง

ตอนนี้ค่ายคือ Halfers และ Zeroers และชัดเจนว่า Zeroers นั้นถูกต้อง

หรือ: Heads -> ปลุกครั้งเดียว; ก้อย -> ตื่นล้านครั้ง เห็นได้ชัดว่าเธอตื่นขึ้นมามันเป็นหางที่เป็นไปได้มากที่สุด

(ป. ล. เรื่อง "ข้อมูลใหม่" - ข้อมูลอาจถูกทำลายดังนั้นคำถามอีกข้อคือ: เธอเคยสูญเสียข้อมูลที่เคยมีหรือไม่?)

"เมื่อใดก็ตามที่ SB ตื่นขึ้นมาเธอก็ไม่ได้เรียนรู้อะไรเลยอย่างแน่นอนเธอไม่รู้จักคืนวันอาทิตย์"

ไม่ถูกต้องซึ่งเป็นข้อผิดพลาดในอาร์กิวเมนต์ halfer สิ่งหนึ่งที่ทำให้ยากที่จะเถียงกับก็คือว่าอาร์กิวเมนต์ halfer ซึ่งเป็นไปตามคำสั่งนี้จะไม่ค่อยแสดงความรุนแรงมากขึ้นกว่าสิ่งที่ฉันยกมา

มีสามปัญหา ก่อนอื่นอาร์กิวเมนต์ไม่ได้กำหนดว่า "ข้อมูลใหม่" หมายถึงอะไร ดูเหมือนว่าหมายถึง "เหตุการณ์ที่มีความน่าจะเป็นแบบไม่เป็นศูนย์นั้นไม่สามารถเกิดขึ้นได้ตามหลักฐาน" ประการที่สองมันไม่เคยแจกแจงสิ่งที่เป็นที่รู้จักในวันอาทิตย์เพื่อดูว่ามันเหมาะกับคำจำกัดความนี้หรือไม่ และมันสามารถถ้าคุณดูมันอย่างถูกต้อง ในที่สุดก็ไม่มีทฤษฎีบทที่บอกว่า "ถ้าคุณไม่มีข้อมูลใหม่แบบนี้คุณก็ไม่สามารถอัพเดทได้" ถ้าคุณมีมันทฤษฎีบทของเบย์จะสร้างการอัปเดต แต่เป็นความผิดที่จะสรุปหากคุณไม่มีข้อมูลใหม่นี้คุณไม่สามารถอัปเดตได้ การเข้าใจผิดไม่ได้หมายความว่ามันไม่เป็นความจริงมันหมายความว่าคุณไม่สามารถสรุปได้โดยอาศัยหลักฐานนี้เพียงอย่างเดียว

ในคืนวันอาทิตย์พูดว่า SB ม้วนตัวละครในจินตนาการของเธอเองหกด้าน เนื่องจากมันเป็นจินตภาพเธอจึงไม่สามารถดูผลลัพธ์ได้ แต่จุดประสงค์คือเพื่อดูว่าตรงกับวันที่เธอตื่นหรือไม่: เลขคู่หมายถึงตรงกับวันจันทร์และเลขคี่หมายถึงวันอังคาร แต่ไม่สามารถจับคู่ทั้งสองได้ซึ่งแยกความแตกต่างระหว่างสองวันอย่างมีประสิทธิภาพ

SB สามารถ (นั่นคือในวันอาทิตย์) คำนวณความน่าจะเป็นสำหรับชุดค่าผสมที่เป็นไปได้แปดค่าของ {หัว / ก้อย, วันจันทร์ / วันอังคาร, การแข่งขัน / ไม่มีการแข่งขัน} แต่ละอันจะมีค่า 1/8 แต่เมื่อเธอตื่นเธอรู้ว่า {Heads, Tuesday, Match} และ {Heads, Tuesday, No Match} ไม่เกิดขึ้น สิ่งนี้ถือเป็น "ข้อมูลใหม่" ของรูปแบบที่อาร์กิวเมนต์ halfers บอกว่าไม่มีอยู่และทำให้ SB สามารถอัปเดตความน่าจะเป็นที่เหรียญของนักวิจัยลงบนหัว มันเป็น 1 ใน 3 หรือไม่ว่าเหรียญในจินตนาการของเธอจะตรงกับวันจริงหรือไม่ เนื่องจากเป็นวิธีเดียวกันทั้งสองจึงเป็น 1/3 ว่าเธอรู้หรือไม่ว่ามีการแข่งขันหรือไม่ และในความเป็นจริงไม่ว่าเธอจะม้วนหรือจินตนาการกลิ้งตาย

การตายพิเศษนี้ดูเหมือนจะผ่านไปมากเพื่อให้ได้ผลลัพธ์ ที่จริงแล้วมันไม่จำเป็น แต่คุณต้องมีคำจำกัดความที่แตกต่างของ "ข้อมูลใหม่" เพื่อดูว่าทำไม การอัปเดตสามารถเกิดขึ้นได้ทุกเวลาที่เหตุการณ์สำคัญ (เช่นอิสระและไม่น่าจะเป็นศูนย์) ในพื้นที่ตัวอย่างก่อนหน้านั้นแตกต่างจากเหตุการณ์สำคัญในพื้นที่ตัวอย่างด้านหลัง ด้วยวิธีนี้ตัวหารของอัตราส่วนในทฤษฎีบทของเบย์ไม่ได้เป็น 1 ในขณะนี้มักจะเกิดขึ้นเมื่อหลักฐานที่ทำให้เหตุการณ์บางเหตุการณ์มีค่าความน่าจะเป็นศูนย์ แต่มันก็สามารถเกิดขึ้นได้เมื่อหลักฐานเปลี่ยนว่า นี่เป็นการตีความนอกรีตที่ดีมาก แต่ใช้งานได้เพราะความงามได้รับโอกาสมากกว่าหนึ่งครั้งในการสังเกตผลลัพธ์ และจุดจบของจินตภาพของฉันซึ่งแยกแยะวันต่าง ๆ คือการทำให้ระบบเป็นหนึ่งเดียวที่ความน่าจะเป็นทั้งหมดคือ 1

ในวันอาทิตย์ SB รู้ P (ตื่นวันจันทร์หัว) = P (ตื่นวันจันทร์ก้อย) = P (ตื่นวันอังคารก้อย) = 1/2 สิ่งเหล่านี้เพิ่มขึ้นมากกว่า 1/2 เนื่องจากเหตุการณ์ไม่ขึ้นอยู่กับข้อมูลที่ SB มีในวันอาทิตย์ แต่พวกเขาก็เป็นอิสระเมื่อเธอตื่น คำตอบตามทฤษฎีบทของเบย์คือ (1/2) / (1/2 + 1/2 + 1/2) = 1/3 ไม่มีอะไรผิดปกติกับตัวส่วนที่มากกว่า 1; แต่ข้อโต้แย้งเชิงจินตนาการได้รับการออกแบบมาให้ทำสิ่งเดียวกันโดยไม่มีตัวส่วน

ฉันเพิ่งสะดุดอีกครั้งในสิ่งนี้ ฉันได้ปรับปรุงความคิดของฉันตั้งแต่โพสต์ที่แล้วและคิดว่าฉันอาจพบผู้ชมที่เปิดกว้างสำหรับพวกเขาที่นี่

ก่อนอื่นบนปรัชญาของวิธีการจัดการกับข้อพิพาทดังกล่าว: พูดว่าข้อโต้แย้ง A และ B มีอยู่ แต่ละแห่งมีหลักฐานลำดับของการหักเงินและผลลัพธ์ และผลลัพธ์ต่างกัน

วิธีที่ดีที่สุดในการพิสูจน์ข้อโต้แย้งหนึ่งอย่างไม่ถูกต้องคือการทำให้การหักหนึ่งครั้งเป็นโมฆะ หากเป็นไปได้ที่นี่จะไม่มีการโต้เถียง อีกข้อหนึ่งคือการพิสูจน์หลักฐาน แต่คุณไม่สามารถทำได้โดยตรง คุณสามารถโต้แย้งได้ว่าทำไมคุณถึงไม่เชื่อสิ่งนั้น แต่นั่นจะไม่สามารถแก้ไขอะไรได้นอกจากคุณจะสามารถโน้มน้าวผู้อื่นให้หยุดเชื่อได้

ในการพิสูจน์หลักฐานที่ผิดทางอ้อมคุณจะต้องสร้างลำดับการหักลดจากทางที่นำไปสู่ความไร้สาระหรือความขัดแย้งของหลักฐาน วิธีที่ผิดพลาดคือการยืนยันว่าผลลัพธ์ของฝ่ายตรงข้ามเป็นการละเมิดหลักฐานของคุณ นั่นหมายความว่ามีคนผิด แต่ไม่ได้ระบุว่าอะไร

+++++

หลักฐานของ halfer คือ "ไม่มีข้อมูลใหม่" ลำดับการหักเงินของพวกเขาว่างเปล่า - ไม่จำเป็นต้องใช้ Pr (Heads | Awake) = Pr (Heads) = 1/2

Thirders (โดยเฉพาะ Elga) มีสองแห่งคือ Pr (H1 | Awake และ Monday) = Pr (T1 | Awake และ Monday) และ Pr (T1 | Awake and Tails) = Pr (T2 | Awake and Tails) ลำดับการหักที่ไม่สามารถย้อนกลับได้นั้นจะนำไปสู่ ​​Pr (หัว | ตื่นตัว) = 1/3

โปรดทราบว่า thirders ไม่เคยคิดว่ามีข้อมูลใหม่ - สถานที่ของพวกเขาจะขึ้นอยู่กับข้อมูลใด ๆ ที่มีอยู่ - "ใหม่" หรือไม่ - เมื่อ SB ตื่น และฉันไม่เคยเห็นใครโต้แย้งว่าทำไมสถานที่ตั้งของ Thirder ผิดยกเว้นว่ามันเป็นการฝ่าฝืน Halfer ผลลัพธ์ ดังนั้นครึ่งหนึ่งจึงไม่ได้ระบุอาร์กิวเมนต์ที่ถูกต้องที่ฉันได้ระบุไว้ เพียงแค่หนึ่งที่ผิดพลาด

แต่มีการหักเงินอื่น ๆ ที่เป็นไปได้จาก "ไม่มีข้อมูลใหม่" ด้วยลำดับการหักเงินที่เริ่มต้นด้วย Pr (Heads | Awake) = 1/2 หนึ่งคือ Pr (หัว | ตื่นและวันจันทร์) = 2/3 และประชาสัมพันธ์ (ก้อย | ตื่นและจันทร์) = 1/3 สิ่งนี้ขัดแย้งกับสถานที่ตั้งของ Thirder แต่อย่างที่ฉันบอกไปนั่นไม่ได้ช่วยสาเหตุที่เกิดจาก Halfer เพราะมันอาจเป็นหลักฐานของพวกเขาที่ผิด กระแทกแดกดันผลลัพธ์นี้พิสูจน์บางสิ่ง - ว่าหลักฐาน halfer ขัดแย้งกันเอง ในวันอาทิตย์ที่ SB กล่าวว่า Pr (หัว | วันจันทร์) = Pr (ก้อย | วันจันทร์) ดังนั้นการเพิ่มข้อมูล "Awake" ทำให้เธอสามารถอัปเดตความน่าจะเป็นเหล่านี้ได้ มันเป็นข้อมูลใหม่

ดังนั้นฉันจึงพิสูจน์ว่าสถานที่ตั้ง Halfer ไม่ถูกต้อง นั่นไม่ได้หมายความว่า thirders นั้นถูกต้อง แต่ก็หมายความว่าครึ่งหนึ่งไม่ได้ให้หลักฐานที่ตรงกันข้าม

+++++

มีข้อโต้แย้งอื่นที่ฉันพบว่าน่าเชื่อถือมากขึ้น มันไม่ได้เป็นแบบดั้งเดิมอย่างสมบูรณ์ แต่ฉันไม่แน่ใจว่ามุมมองที่เหมาะสมได้รับการเน้นเพียงพอ พิจารณารูปแบบของการทดสอบ: SB ถูกปลุกขึ้นในทั้งสองวันเสมอ มักจะอยู่ในห้องที่ทาสีฟ้า แต่ในวันอังคารหลังจากที่ Heads อยู่ในห้องที่ทาสีแดง สิ่งที่เธอควรพูดถึงความน่าจะเป็นของเฮดคือถ้าเธอพบว่าตัวเองตื่นขึ้นมาในห้องสีฟ้า

ฉันไม่คิดว่าใครจะโต้แย้งว่ามันเป็นอะไรนอกจาก 1/3 มีสามสถานการณ์ที่สามารถสอดคล้องกับสถานการณ์ปัจจุบันของเธอทุกคนมีแนวโน้มเท่ากันและมีเพียงคนเดียวเท่านั้น

จุดสำคัญคือว่าไม่มีความแตกต่างระหว่างรุ่นนี้และต้นฉบับ สิ่งที่เธอ "รู้" - "ข้อมูลใหม่" ของเธอ - คือไม่ใช่ H2 มันไม่สำคัญว่าจะเป็นอย่างไรหรือถ้าหากเธอจะรู้ว่ามันอาจเป็น H2 ได้ถ้าทำได้ ความสามารถของเธอในการสังเกตสถานการณ์ที่เธอรู้ว่าไม่ใช้นั้นไม่เกี่ยวข้องถ้าเธอรู้ว่าพวกเขาไม่ได้ใช้

ฉันไม่สามารถเชื่อหลักฐาน halfer มันขึ้นอยู่กับข้อเท็จจริงที่ว่าเธอไม่สามารถสังเกต H2 ซึ่งไม่สำคัญเพราะเธอสามารถทำได้และสังเกตว่ามันไม่ใช่ H2

ดังนั้นฉันหวังว่าฉันจะให้เหตุผลที่น่าเชื่อถือว่าเหตุใดหลักฐานของ halfer จึงไม่ถูกต้อง ระหว่างทางฉันรู้ว่าฉันได้แสดงให้เห็นว่าผลลัพธ์ที่สิบสามต้องถูกต้อง

หนึ่งในสามของการเดิมพันที่เป็นไปได้คือเฮดแวคส์และสองในสามของการเดิมพันที่เป็นไปได้คือ อย่างไรก็ตามครึ่งหนึ่งของเจ้าหญิง (หรืออะไรก็ตาม) เป็นเจ้าหญิงเฮดและอีกครึ่งเป็นเจ้าหญิงก้อย เจ้าหญิงก้อยทั้งรายบุคคลและโดยรวมได้สัมผัสกับการตื่นขึ้นมากเป็นสองเท่าของเจ้าหญิงเฮด

จากมุมมองของเจ้าหญิงเมื่อตื่นขึ้นมามีความเป็นไปได้สามประการ เธอเป็นเจ้าหญิง Heads ที่ตื่นขึ้นมาเป็นครั้งแรก (และครั้งเดียว) ( ) เจ้าหญิง Tails จะตื่นขึ้นเป็นครั้งแรก ( ) หรือเจ้าหญิง tails ตื่นขึ้นเป็นครั้งที่สอง ( ) ดูเหมือนว่าไม่มีเหตุผลที่จะสันนิษฐานว่าผลลัพธ์ทั้งสามนี้มีแนวโน้มที่เท่าเทียมกัน แต่ ,และP$H1$$T1$$T2$$P[H1]=0.5$$P[T1]=0.25$$P[T2]=0.25$

ผมยังไม่ได้อ่านเหตุผล Vineberg แต่ผมคิดว่าผมสามารถดูวิธีการที่เธอมาถึงที่เดิมพันยุติธรรมของ3/1 สมมติว่าทุกครั้งที่เจ้าหญิงตื่นขึ้นมาเธอก็พนันว่าเธอเป็นหัวหน้าเจ้าหญิงรับ$ 1 ถ้าเธอเป็นเจ้าหญิง Heads และ$ 0 เป็นอย่างอื่น จากนั้นเจ้าหญิงเฮดจะได้รับและเจ้าหญิงก้อยจะได้รับทุกครั้งที่เธอเล่น ตั้งแต่หางเจ้าหญิงจะต้องเล่นสองครั้งและตั้งแต่ครึ่งหนึ่งของเจ้าหญิงที่มีหัวเจ้าหญิงตอบแทนที่คาดหวังคือและราคายุติธรรม3/1$ x $ ( 1 - x ) $ ( - x ) $ ( 1 - 3 x ) / 2 $ 1 /$\$1/3$$\$x$$\$(1-x)$$\$(-x)$$\$(1-3x)/2$$\$1/3$

โดยทั่วไปนี่จะเป็นข้อสรุปที่แน่ชัดว่าความน่าจะเป็นคือแต่เหตุผลทั่วไปที่ไม่ได้มีในกรณีนี้: เจ้าหญิงที่ถูกกำหนดให้แพ้การเดิมพันจะต้องเล่นเกมสองครั้งในขณะที่ผู้ที่ชนะจะได้รับรางวัล เล่นเพียงครั้งเดียว! ความไม่สมดุลนี้ทำให้เกิดความสัมพันธ์ตามปกติระหว่างความน่าจะเป็นและการเดิมพันที่ยุติธรรม$1/3$

(ในทางกลับกันช่างเทคนิคที่ได้รับมอบหมายให้ช่วยในกระบวนการตื่นจริง ๆ จะมีโอกาสเพียงหนึ่งในสามของการได้รับมอบหมายให้เป็นหัวหน้าเจ้าหญิง)

เมื่อคุณตื่นขึ้นมาคุณควรเชื่อว่าผลลัพธ์ของการโยนเหรียญเป็นระดับใด

คุณหมายถึงอะไร " ควร " ความเชื่อของฉันคืออะไร ในการทดลองเช่นนี้ฉันจะไม่เชื่ออะไรเลย คำถามนี้ถูกแท็กเป็นdecision-theoryแต่วิธีการทดลองนี้เกิดขึ้นฉันไม่มีแรงจูงใจในการตัดสินใจ

เราสามารถปรับเปลี่ยนการทดสอบในรูปแบบต่าง ๆ เพื่อให้ฉันรู้สึกอยากให้คำตอบ ตัวอย่างเช่นฉันอาจเดาได้ว่าฉันถูกปลุกเพราะ "หัว" หรือ "ก้อย" และฉันจะได้รับขนมสำหรับคำตอบที่ถูกต้องแต่ละข้อที่ฉันให้ ในกรณีนั้นเห็นได้ชัดว่าฉันตัดสินใจเลือก "ก้อย" เพราะในการทดลองซ้ำ ๆ ฉันจะได้รับลูกกวาดหนึ่งอันต่อการทดลองโดยเฉลี่ย: ใน 50% ของกรณีการโยนจะเป็น "ก้อย" ฉัน ตื่นขึ้นมาสองครั้งและฉันจะได้รับขนมทั้งสองครั้ง ในอีก 50% ("หัว") ฉันไม่ได้อะไรเลย ฉันควรจะตอบว่า "หัว" ฉันจะได้รับขนมเพียงครึ่งเดียวต่อการทดสอบเพราะฉันมีโอกาสเพียงครั้งเดียวที่จะตอบและฉันจะแก้ไขให้ถูกต้อง 50% ของเวลา ถ้าฉันจะโยนเหรียญที่ยุติธรรมสำหรับคำตอบฉันเอง$3/4$

ความเป็นไปได้อีกอย่างหนึ่งคือการได้รับขนมสำหรับการทดลองแต่ละครั้งซึ่งคำตอบทั้งหมดของฉันนั้นถูกต้อง ในกรณีนั้นมันไม่สำคัญว่าคำตอบที่เป็นระบบที่ฉันให้โดยเฉลี่ยแล้วฉันจะได้รับขนมครึ่งหนึ่งต่อการทดลอง: ถ้าฉันตัดสินใจตอบ "หัว" ตลอดเวลาฉันจะถูกต้อง 50% ของคดีและถือเหมือนกันสำหรับ "ก้อย" เฉพาะเมื่อฉันโยนเหรียญด้วยตัวเองฉันจะได้รับขนมหวาน : ใน 50% ของกรณีที่นักวิจัยจะโยน "หัว" และอีก 50% จากนั้นฉันก็จะโยน "หัว" ด้วยก็ได้ ฉันของขนม ในอีก 50% ของกรณีเมื่องานวิจัยโยน "ก้อย" ฉันจะต้องโยน "ก้อย" สองครั้ง$3/8$$1/4$$1/4$ของกรณีเพื่อที่ฉันจะได้รับเพียงของขนม$1/8$

ความขัดแย้งนี้จะแก้ไขได้อย่างไรในวิธีที่เข้มงวดทางสถิติ? เป็นไปได้ไหม

กำหนด " วิธีการทางสถิติอย่างเข้มงวด " คำถามเกี่ยวกับความเชื่อนั้นไม่มีความเกี่ยวข้องกันเลย เพียง แต่การดำเนินการเรื่อง

คำถามนั้นคลุมเครือและดูเหมือนจะขัดแย้งกันเท่านั้น คำถามถูกวางในลักษณะนี้:

เมื่อคุณตื่นขึ้นมาคุณควรเชื่อว่าผลลัพธ์ของการโยนเหรียญเป็นระดับใด

ซึ่งสับสนกับคำถามนี้:

เมื่อคุณตื่นขึ้นมาคุณควรเชื่อว่าHeads ในระดับใดเป็นเหตุผลที่คุณตื่นขึ้นมา ?

ในคำถามแรกความน่าจะเป็นคือ 1/2 ในคำถามที่สอง 1/3

ปัญหาคือมีการระบุคำถามแรก แต่คำถามที่สองมีความหมายโดยนัยในบริบทของการทดสอบ ผู้ที่ยอมรับจิตใต้สำนึกโดยไม่รู้ตัวก็บอกว่ามันเป็น 1/3 คนที่อ่านคำถามจะพูดว่า 1/2

ผู้ที่สับสนไม่แน่ใจว่าคำถามใดที่พวกเขาถาม!

ฉันชอบตัวอย่างนี้จริง ๆ แต่ฉันจะยืนยันว่ามีจุดหนึ่งที่จะทำให้สับสนกับความรำคาญรบกวนสองสามครั้ง

เพื่อหลีกเลี่ยงการรบกวนความรำคาญผู้ถกเถียงควรพยายามแยกแยะปัญหาเกี่ยวกับนามธรรมที่ชัดเจนโดยปราศจากข้อสงสัยที่สมเหตุสมผล (ในฐานะตัวแทนที่เพียงพอ) และสามารถจัดการได้อย่างถูกต้อง (จัดการโดยผู้อื่นที่มีคุณสมบัติ) เพื่อพิสูจน์การเรียกร้อง ในฐานะที่เป็นตัวอย่างง่ายๆคิดว่าเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า (คณิตศาสตร์นามธรรม) และการอ้างว่ามันสามารถทำให้เป็นรูปสามเหลี่ยมสองรูป

วาดสี่เหลี่ยมมุมฉากที่ว่างแทนการเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าทางคณิตศาสตร์ (ในรูปวาดของคุณมุมทั้งสี่จะไม่เพิ่มเท่ากับ 180 องศาและเส้นที่อยู่ติดกันจะไม่เท่ากันหรือตรง แต่จะไม่มีข้อสงสัยจริง ๆ ว่ามันหมายถึงสี่เหลี่ยมจริง ) ตอนนี้จัดการมันโดยการลากเส้นจากมุมหนึ่งไปยังอีกมุมหนึ่งซึ่งใคร ๆ ก็ทำได้และคุณได้รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่ไม่มีใครสงสัย การซักถามใด ๆ ของสิ่งนี้อาจดูไร้สาระ

จุดที่ฉันพยายามทำที่นี่คือถ้าคุณได้รับข้อสงสัยที่สมเหตุสมผลของปัญหา SB ในการกระจายความน่าจะเป็นร่วมและสามารถกำหนดเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในการทดลองในการเป็นตัวแทนนี้ - แล้วอ้างว่ามีอะไรเรียนรู้ โดยเหตุการณ์นั้นสามารถแสดงให้เห็นได้โดยการจัดการที่พิสูจน์ได้และไม่จำเป็นต้องมีการอภิปรายหรือการตั้งคำถาม

ตอนนี้ฉันแสดงความพยายามของฉันได้ดีขึ้นและผู้อ่านจะต้องแยกแยะหากฉันประสบความสำเร็จ ฉันจะใช้ต้นไม้ความน่าจะเป็นเพื่อเป็นตัวแทนของความน่าจะเป็นร่วมสำหรับการนอนหลับตอนกลางวันในการทดลอง (DSIE) ผลการพลิกเหรียญในวันจันทร์ (CFOM) และตื่นขึ้นมาเพราะสิ่งหนึ่งกำลังหลับอยู่ในการทดลอง (WGSIE) ฉันจะดึงมันออกมา (จริง ๆ แล้วเขียนมันตรงนี้) ในรูปของ p (DSIE) * p (CFOM | DSIE) * p (WGSIE | DSIE, CFOM)

ฉันต้องการโทรหา unknowns ที่เป็นไปได้ของ DSIE และ CFOM และ WGSIE เป็นไปได้ที่รู้จักแล้ว p (DSIE, CFOM) เป็นรุ่นก่อนหน้าและ p (WGSIE | DSIE, CFOM) เป็นรูปแบบข้อมูลหรือความน่าจะเป็นและทฤษฎีบท Bayes ใช้โดยไม่มีการติดฉลากนี้เพียงน่าจะเป็นเงื่อนไขซึ่งเป็นเหตุผลในสิ่งเดียวกัน

ตอนนี้เรารู้ p (DSIE = จันทร์) + p (DSIE = อังคาร) = 1 และ p (DSIE = อังคาร) = ½ p (DSIE = จันทร์)

ดังนั้น p (DSIE = จันทร์) = 2/3 และ p (DSIE = อังคาร) = 1/3

ตอนนี้ P (CFOM = H | DSIE = จันทร์) = 1/2, P (CFOM = T | DSIE = จันทร์) = 1/2, P (CFOM = T | DSIE = อังคาร) = 1

P (WGSIE | DSIE =., CFOM =.) จะเท่ากับหนึ่งเสมอ

เท่ากับก่อนหน้า

P (DSIE = จันทร์ CFOM = H) = 2/3 * ½ = 1/3

P (DSIE = จันทร์ CFOM = T) = 2/3 * ½ = 1/3

P (DSIE = อังคาร, CFOM = T) = 1/3 * 1 = 1/3

ดังนั้นส่วนเล็กน้อยก่อนสำหรับ CFOM = 1/3 H และ 2/3 T และด้านหลังที่ให้คุณถูกปลุกขณะนอนหลับในการทดสอบ - จะเหมือนกัน (ไม่มีการเรียนรู้เกิดขึ้น) - ดังนั้นคุณก่อนหน้านี้คือ 2/3 T

ตกลง - ฉันไปผิดที่ไหน ฉันจำเป็นต้องทบทวนทฤษฎีความน่าจะเป็นของฉันหรือไม่?

คำอธิบายง่ายๆสำหรับเรื่องนี้ก็คือมี 3 วิธีที่ความงามในการนอนหลับสามารถตื่นขึ้นมาได้สองวิธีซึ่งมาจากการโยนก้อย ดังนั้นความน่าจะเป็นต้องเป็น 1/3 สำหรับหัวทุกครั้งที่เธอตื่นขึ้น ฉันได้อธิบายไว้ในโพสต์บล็อก

ข้อโต้แย้งหลักต่อมุมมอง "halfer" มีดังต่อไปนี้: ในแง่ที่เป็นเบส์เอสบีมักมองหาข้อมูลใหม่ ๆ ที่เธอมีอยู่เสมอ ในความเป็นจริงเมื่อเธอตัดสินใจที่จะมีส่วนร่วมในการทดสอบเธอมีข้อมูลเพิ่มเติมว่าเมื่อเธอตื่นขึ้นมามันอาจจะเป็นในวันที่ หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือการขาดข้อมูล (ลบล้างความทรงจำ) คือสิ่งที่ให้หลักฐานที่นี่อย่างละเอียด

มันขึ้นอยู่กับความหมายที่แท้จริงของคำถาม:

เมื่อคุณตื่นขึ้นมาคุณควรเชื่อว่าผลลัพธ์ของการโยนเหรียญเป็นระดับใด

หากคุณตีความว่าเป็น "อัตราเดิมพันที่เหรียญทอยคือหัว" เห็นได้ชัดว่าคำตอบคือ "ครึ่งราคา"

แต่สิ่งที่คุณถามไม่ใช่ในความหมายของฉัน แต่ "ซึ่งเป็นโอกาสที่การตื่นตัวในปัจจุบันนั้นเกิดจากหัวหน้า?" ในกรณีนั้นเห็นได้ชัดว่ามีเพียงหนึ่งในสามของการตื่นที่เกิดจากหัวดังนั้นคำตอบที่น่าจะเป็นไปได้มากที่สุดคือ "ก้อย"

นี่เป็นคำถามที่น่าสนใจมาก ฉันจะให้คำตอบราวกับว่าฉันกำลังหลับใหล ฉันรู้สึกว่าประเด็นสำคัญที่ต้องเข้าใจคือเราเชื่อมั่นผู้ทดลอง 100%

1) เมื่อคืนวันอาทิตย์ถ้าคุณถามฉันว่าน่าจะเป็นเหรียญที่เป็นหัวฉันจะบอกคุณ{2}$\frac{1}{2}$

2) เมื่อใดก็ตามที่คุณตื่นฉันขึ้นและถามผมผมจะบอกคุณ{3}$\frac{1}{3}$

3) เมื่อคุณบอกฉันว่านี่เป็นครั้งสุดท้ายที่คุณปลุกฉันฉันจะเปลี่ยนไปบอกความน่าจะเป็นทันที$\frac{1}{2}$

เห็นได้ชัดว่า (1) ติดตามจากข้อเท็จจริงที่ว่าเหรียญมีความยุติธรรม (2) ติดตามจากข้อเท็จจริงที่ว่าเมื่อคุณถูกปลุกให้ตื่นคุณอยู่ในหนึ่งในสามของสถานการณ์ที่มีแนวโน้มเท่ากันจากมุมมองของคุณ แต่ละคนอาจเกิดขึ้นกับความน่าจะเป็น{2}$\frac{1}{2}$

จากนั้น (3) จะดำเนินการในลักษณะเดียวกันยกเว้นว่าเมื่อคุณได้รับแจ้งว่านี่เป็นครั้งสุดท้ายที่คุณถูกปลุกจำนวนสถานการณ์ที่คุณสามารถล้มลงเป็น 2 (ตอนนี้ก้อยและนี่เป็นครั้งแรกที่คุณเป็น ไม่สามารถปลุกให้ตื่นได้)

ฉันจะแก้ปัญหานี้สำหรับกรณีทั่วไปที่จะลุกขึ้น SB ' ' ครั้งหลังจากที่ 'หัว' และ ' ' ครั้งหลังจากที่ 'ก้อย' กับm≤nn เมตร≤ $m$$n$$m≤n$

หากเหรียญเป็น 'หัว' เธอจะถูกปลุกให้ตื่น ...

วัน 1
วัน 2 วัน
⋯ $\cdots$
$\cdots$
$m$

... และหากเหรียญเป็น 'ก้อย' เธอจะถูกปลุกให้ตื่นขึ้น ...

วัน 1
วัน 2 วัน
⋯ $\cdots$
$\cdots$
$n$

$m≤n$

แล้วสำหรับคำถามนี้โดยเฉพาะจะเป็นและ 2 ฉันจะไม่ตั้งสมมติฐานจะใช้เฉพาะข้อมูลที่กำหนดว่าเหรียญมีความยุติธรรมดังนั้นก่อนที่จะตื่นขึ้นมาก็คือ เมื่อถูกปลุกให้ตื่นเธอก็ไม่รู้ว่าวันนี้เป็นวันอะไรหรือว่าเธอตื่นขึ้นมาก่อน เธอรู้เพียงว่าเหรียญที่ยุติธรรมถูกโยนด้วยผลลัพธ์ 'หัว' และ 'ก้อย' ที่เป็นไปได้ เธอยังรู้ว่าการตื่นขึ้นนั้นเกิดขึ้นใน 'วันที่ 1' หรือ 'วันที่ 2' หรือหรือ 'วันที่ ' เพื่อผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ 'หัว' มี ' ' ผลที่เป็นไปได้ที่ผมจะตั้งชื่อ , , , D_mn = 2 P ( H อีd s ) = P ( T ฉันลิตรs ) = 1 / 2 ... n มD 1 D 2 ... D $m=1$$n=2$

$$P(Heads)=P(Tails)=1/2.$$ $\ldots$$n$$m$$D_1$$D_2$$\ldots$$D_m$

D 2 D 3 ⋯ ⋯ D เมตร$D_1$ : การปลุกนี้กำลังเกิดขึ้นใน 'วันที่ 1' : การปลุกนี้กำลังเกิดขึ้นใน 'วันที่ 2' : การตื่นนี้เกิดขึ้นใน 'วันที่ 3' : การตื่นนี้เกิดขึ้นที่ 'วัน '
$D_2$
$D_3$
$\cdots$
$\cdots$
$D_m$$m$

เพื่อผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ 'ก้อย' มี ' ' ผลที่เป็นไปได้รวมถึง ' ' ผลลัพธ์ที่เป็นไปตามที่ระบุไว้ข้างต้น$n$$m$

D 2 D 3 ⋯ ⋯ D n$D_1$ : ตื่นนอนนี้จะเกิดขึ้นในวัน '1' : ตื่นนอนนี้จะเกิดขึ้นใน 'วันที่ 2' : ตื่นนอนนี้จะเกิดขึ้นใน 'วันที่ 3' : ตื่นนอนนี้จะเกิดขึ้นในวัน ' '
$D_2$
$D_3$
$\cdots$
$\cdots$
$D_n$$n$

ดังนั้นจึงมีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ ขณะนี้เนื่องจากเหรียญมีการลง 'Heads' เหตุการณ์ , , ,มีโอกาสเท่ากัน ดังนั้น ... นอกจากนี้เนื่องจากเหรียญมีที่ดิน 'ก้อย' เหตุการณ์ , , ,มีโอกาสเท่ากัน ดังนั้น ... ตอนนี้สำหรับเหตุการณ์ใด ๆ ที่เป็นไปได้โดยที่เป็นจำนวนเต็มและD 1 D 2 … D $m+n$$D_1$$D_2$$\ldots$$D_m$

$$P(D_1|H)=P(D_2|H)=\ldots=P(D_m|H) = \frac{1}{m}$$ $D_1$$D_2$$\ldots$$D_n$ $$P(D_1|T)=P(D_2|T)=\ldots=P(D_n|T) = \frac{1}{n}$$ $D_i$$i$$1≤i≤m$ $$P(D_i\cap H)=P(H)\times P(D_i|H)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{m} = \frac {1}{2m}$$ $$P(D_i∩T)=P(T)\times P(D_i|T)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{n} = \frac {1}{2n}$$ สำหรับนี้เห็นได้ชัดว่า ... $m<i≤n$ $$P(D_i∩H)=P(H)\times P(D_i|H)=\frac{1}{2}\times0=0$$ $$P(D_i∩T)=P(T)\times P(D_i|T)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{n} = \frac {1}{2n}$$

ทีนี้เรามาคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ , , ,$D_1$$D_2$$\ldots$$D_n$

สำหรับ สำหรับ$1≤i≤m$

$$P(D_i)=P(D_i∩H)+P(D_i∩T) = \frac {1}{2m}+\frac {1}{2n}$$ $m<i≤n$ $$P(D_i)=P(D_i∩H)+P(D_i∩T)=0+\frac {1}{2n} = \frac {1}{2n}$$

ตอนนี้เราสามารถคำนวณความน่าจะเป็นของ 'Heads' ที่ได้รับจาก SB นั้นตื่นขึ้นมา ตามที่กล่าวข้างต้นเหตุการณ์ที่เป็นไปเมื่อตื่นนอนมี , , , D_nดังนั้นความน่าจะเป็นคือ ...$D_1$$D_2$$\ldots$$D_n$

$$\begin{align}P(H|awake)&=P(H|(D_1∪D_2∪...∪D_n))\\ &\\ &=\frac {P(H∩(D_1∪D_2∪\ldots∪D_n))}{P(D_1∪D_2∪\ldots∪D_n)}\\ &\\ &=\frac {P((H∩D_1)∪(H∩D_2)∪\ldots∪(H∩D_n))}{P(D_1∪D_2∪\ldots∪D_n)}\\ &\\ &=\frac{P(H∩D_1)+P(H∩D_2)+\ldots+P(H∩D_n)}{P(D_1)+P(D_2)+\ldots+P(D_n)}\\ &\\ &=\frac{P(H∩D_1)+P(H∩D_2)+\ldots+P(H∩D_m)+\ldots+P(H∩D_n)}{P(D_1)+P(D_2)+\ldots+P(D_m)+\ldots+P(D_n)}\\ &\\ &=\frac{\frac {1}{2m}\times m + 0\times(n-m)}{(\frac {1}{2m}+\frac {1}{2n})\times m + \frac {1}{2n}\times(n-m)}\\ &\\ &=\frac{\frac {1}{2}+0}{\frac {1}{2}+\frac{m}{2n}+\frac {1}{2}-\frac{m}{2n}}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}+\frac {1}{2}}=\frac{\frac{1}{2}}{1}=\frac{1}{2} \end{align}$$

เรามีคำตอบอยู่แล้ว แต่ลองคำนวณความน่าจะเป็นของ 'Heads' หรือ 'Tails' เมื่อการตื่นขึ้นมาเกิดขึ้นในวันหนึ่ง

สำหรับ$1≤i≤m$

$$P(H|D_i)=\frac{P(H∩D_i)}{P(D_i)}=\frac{\frac {1}{2m}}{\frac {1}{2m}+\frac {1}{2n}}=\frac{n}{m+n}$$ $$P(T|D_i)=\frac{P(T∩D_i)}{P(D_i)}=\frac{\frac {1}{2n}}{\frac {1}{2m}+\frac {1}{2n}}=\frac{m}{m+n}$$

สำหรับ$m<i≤n$

$$P(H|D_i)=\frac{P(H∩D_i)}{P(D_i)}=\frac{0}{P(D_i)}=0$$ $$P(T|D_i)=\frac{P(T∩D_i)}{P(D_i)}=\frac{\frac{1}{2n}}{\frac{1}{2n}}=1$$

ฉันรู้ว่านี่ไม่ใช่คำตอบสำหรับผู้ที่เชื่อคำตอบ "1/3" นี่เป็นเพียงการใช้ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข ดังนั้นฉันไม่เชื่อว่าปัญหานี้จะคลุมเครือและเป็นความขัดแย้ง แม้ว่ามันจะทำให้ผู้อ่านสับสนโดยทำให้ไม่ชัดเจนซึ่งเป็นการทดลองแบบสุ่มและเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ของการทดลองเหล่านั้น

เนื่องจากความงามในการนอนหลับไม่สามารถจำได้ว่าเธอตื่นมากี่ครั้งแล้วเราไม่ได้ดูความน่าจะเป็นของเฮดเพราะเธอเพิ่งตื่นขึ้นมาซักครั้งเดียว แต่ความน่าจะเป็นของเฮดที่ได้ตื่นขึ้นอย่างน้อยหนึ่งครั้ง:

ดังนั้นเราจึงมี:และไม่ใช่$P(Heads\mid x\geq1) = 1/2$ $P(Heads\mid x=1) = 1/3$

ดังนั้นคำตอบคือ 50% (ครึ่งที่ถูกต้อง) และไม่มีความขัดแย้ง

คนดูเหมือนจะทำนี้ไกลไกลที่ซับซ้อนมากขึ้นกว่านั้นจริงๆ!

Non-statistially

ในความใจดีที่น่าพอใจของเธอเจ้าหญิงนิทราสามารถทำการทดลองสมมุติในการนอนของเธอซึ่งจะทำให้เธอเชื่อว่า:

import numpy as np

# Take clones of our Sleeping Beauties.
# One type of clones is persistently heads guessing,
# the other persistently guesses tails.

# Keeping score for heads guessing Sleeping Beauty ...
guessed_heads_right = 0

# ... and also for the tails guessing Sleeping Beauty
guessed_tails_right = 0

# Coding the toss outcomes
HEADS = 0
TAILS = 1


# Function to wake up heads guessing Sleeping Beauty
def heads_guesser_guesses_right(toss):
    return toss == HEADS


# Function to wake up tails guessing Sleeping Beauty
def tails_guesser_guesses_right(toss):
    return toss == TAILS


# Repeating the tossing and awakenings many times
for i in range(1000):

    # Toss fair coin, result is either HEADS or TAILS
    toss = np.random.randint(0, 2)

    # Waking SBs up first time and count successful guesses
    if heads_guesser_guesses_right(toss):
        guessed_heads_right += 1
    if tails_guesser_guesses_right(toss):
        guessed_tails_right += 1

    # If toss was TAILS, wake SBs up second time ...
    if toss == TAILS:

        # ... and counts successful guesses
        if heads_guesser_guesses_right(toss):
            guessed_heads_right += 1
        if tails_guesser_guesses_right(toss):
            guessed_tails_right += 1

# Print the raw statistics
print('Guessed HEADS right: {}'.format(guessed_heads_right))
print('Guessed TAILS right: {}'.format(guessed_tails_right))

เอาท์พุท:

Guessed HEADS right: 498
Guessed TAILS right: 1004

ดังนั้นเจ้าหญิงนิทราของเราจะเชื่อว่าหางที่คาดเดาได้ดีกว่า

และสถิติ?

อัลกอริทึมข้างต้นไม่ได้a statistically rigorous wayระบุว่าต้องเดาอะไร อย่างไรก็ตามมันทำให้ชัดเจนเป็นลางไม่ดีว่าในกรณีของก้อยเธอได้รับการคาดเดาสองครั้งดังนั้นก้อยคาดเดาเป็นสองเท่าน่าจะเป็นการเดาที่ถูกต้อง สิ่งนี้ตามมาจากขั้นตอนการปฏิบัติงานของการทดสอบ

ความน่าจะเป็นบ่อย

ความน่าจะเป็นของนักความถี่เป็นแนวคิดของสถิติตามทฤษฎีของฟิชเชอร์เนย์แมนและ (Egon) เพียร์สัน

แนวคิดพื้นฐานในความน่าจะเป็นของนักที่ใช้บ่อยคือการปฏิบัติการในการทดลองสามารถทำซ้ำได้อย่างน้อยก็สมมุติจำนวนครั้งที่ไม่มีที่สิ้นสุด การดำเนินการดังกล่าวในแต่ละจะนำไปสู่ผล{n}$n$$E_{n}$

ความเป็นไปได้ของความถี่ของผลลัพธ์ถูกกำหนดเป็น:$E$$Pr(E)\equiv\texttt{lim}_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{E_{n}}{N}\right)$

ตรงนี้เป็นสิ่งที่เจ้าหญิงนิทราได้ในหัวของเธอบน: ถ้าเป็นเหตุการณ์ของการที่เหมาะสมในขณะที่การคาดเดาหัวแล้วลู่ไป{3}$E$$Pr(E)$$\frac{1}{3}$

และเธอเชื่อไหม

ดังนั้นเมื่อในที่สุดเธอก็มาถึงที่นี่ด้วยเหตุผลของเธอเธอมีเหตุผลทางสถิติที่เข้มงวดเพื่อให้เธอเชื่อมั่น แต่ในที่สุดเธอจะสร้างรูปร่างอย่างไรในที่สุดเธอก็ขึ้นอยู่กับความคิดของเธอ

ฉันแค่คิดถึงวิธีใหม่ในการอธิบายประเด็นของฉันและสิ่งที่ผิดกับคำตอบ 1/2 เรียกใช้การทดสอบสองเวอร์ชันในเวลาเดียวกันโดยใช้การพลิกเหรียญแบบเดียวกัน รุ่นเดียวเหมือนต้นฉบับ ในอีกด้านหนึ่งต้องการอาสาสมัครสามคน (หรือสี่คน - ไม่สำคัญ) แต่ละคนได้รับการรวมกันที่แตกต่างกันของ Heads-or-Tails และ Monday-or-Tuesday (การรวม Heads + Tuesday ถูกตัดออกหากคุณใช้อาสาสมัครเพียงสามคนเท่านั้น) ติดป้ายกำกับพวกเขา HM, HT, TM และ TT ตามลำดับ (อาจละเว้น HT)

หากอาสาสมัครในรุ่นที่สองตื่นขึ้นมาด้วยวิธีนี้เธอรู้ว่าเธอน่าจะเท่าเทียมกันที่จะมีป้ายกำกับ HM, TM หรือ TT กล่าวอีกนัยหนึ่งความน่าจะเป็นที่เธอได้รับการระบุชื่อ HM ว่าเธอตื่นขึ้นมาคือ 1/3 เนื่องจากการโยนเหรียญและวันสอดคล้องกับการมอบหมายนี้เธอจึงสามารถสรุปได้ว่า P (Heads | Awake) = 1/3

อาสาสมัครในรุ่นแรกอาจถูกปลุกมากกว่าหนึ่งครั้ง แต่เนื่องจาก "วันนี้" เป็นเพียงหนึ่งในสองวันที่เป็นไปได้เมื่อเธอตื่นเธอจึงมีข้อมูลเหมือนกับอาสาสมัครที่ตื่นตัวในรุ่นที่สอง เธอรู้ว่าสถานการณ์ปัจจุบันของเธอสามารถสอดคล้องกับฉลากที่ใช้กับอาสาสมัครคนอื่นและหนึ่งคนเท่านั้น นั่นคือเธอสามารถพูดกับตัวเองว่า "ทั้งอาสาสมัครที่มีป้ายกำกับ HM หรือ HT หรือ TT ก็ตื่นเช่นกันเนื่องจากแต่ละคนมีโอกาสเท่ากันจึงมีโอกาส 1/3 คือ HM และโอกาส 1/3 ที่เหรียญลง หาง."

สาเหตุที่ผู้คนทำผิดพลาดคือพวกเขาสับสน "ตื่นขึ้นบ้างในระหว่างการทดสอบ" โดย "ตื่นแล้ว" คำตอบ 1/2 มาจาก SB ดั้งเดิมที่บอกกับเธอว่า "HM เป็นเพียงอาสาสมัครที่ตื่นขึ้นมาคนอื่น ๆ ในขณะนี้หรือ TM และ TT เป็นทั้งตื่นในบางครั้งในระหว่างประสบการณ์เนื่องจากแต่ละสถานการณ์มีโอกาสเท่ากันมีโอกาส 1/2 มันเป็น HM และโอกาส 1/2 ที่หางเหรียญจะร่อนลง " มันเป็นความผิดพลาดเพราะมีเพียงอาสาสมัครคนเดียวเท่านั้นที่ตื่นขึ้นมา

แทนที่จะให้คำตอบที่เข้มงวดทางสถิติฉันต้องการแก้ไขคำถามเล็กน้อยในลักษณะที่อาจโน้มน้าวใจผู้คนซึ่งสัญชาตญาณทำให้พวกเขากลายเป็นครึ่งหนึ่ง

นักวิจัยบางคนต้องการให้คุณนอนหลับ พวกเขาจะปลุกคุณครั้งเดียว (หัว) หรือเก้าร้อยและเก้าสิบเก้าครั้ง (ก้อย) ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับการโยนเหรียญลับอย่างยุติธรรม หลังจากการกระตุ้นแต่ละครั้งพวกเขาจะนำคุณกลับไปนอนด้วยยาที่ทำให้คุณลืมการตื่นขึ้น

เมื่อคุณตื่นขึ้นมาคุณควรมีความเชื่อในระดับใดว่าผลลัพธ์ของการโยนเหรียญคือเฮด

ทำตามตรรกะเดียวกันเหมือนก่อนอาจมีสองค่าย -

• Halfers - การโยนเหรียญนั้นยุติธรรมและ SB รู้เรื่องนี้ดังนั้นเธอจึงควรเชื่อว่ามีโอกาสครึ่งหัว
• พัน - หากการทดสอบซ้ำหลายครั้งเหรียญที่โยนจะเป็นเพียงหนึ่งครั้งในหนึ่งพันครั้งดังนั้นเธอควรเชื่อว่าโอกาสของการเป็นหัวหน้านั้นเป็นหนึ่งในพัน

ฉันเชื่อว่าความสับสนบางส่วนจากคำถามดังเดิมนั้นเกิดขึ้นเพียงเพราะไม่มีความแตกต่างระหว่างครึ่งกับหนึ่งในสาม ผู้คนคิดว่าน่าจะเป็นความคิดที่ค่อนข้างคลุมเครือ (โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อความน่าจะเป็นระดับความเชื่อมากกว่าความถี่) และเป็นการยากที่จะหยั่งรู้ความแตกต่างระหว่างองศาแห่งความเชื่อครึ่งหนึ่งและสาม

อย่างไรก็ตามความแตกต่างระหว่างครึ่งกับหนึ่งในพันเป็นอวัยวะภายในมากขึ้น ฉันอ้างว่ามันจะชัดเจนโดยสัญชาตญาณกับผู้คนมากขึ้นว่าคำตอบของปัญหานี้คือหนึ่งในพันมากกว่าครึ่ง ฉันสนใจที่จะเห็น "halfer" ปกป้องอาร์กิวเมนต์ของพวกเขาโดยใช้ปัญหาเวอร์ชันนี้แทน

หากความงามของการนอนหลับต้องบอกว่าหัวหรือก้อย - เธอจะลดฟังก์ชั่นการสูญเสีย 0-1 ที่คาดไว้ (ประเมินทุกวัน) โดยการเลือกหาง อย่างไรก็ตามหากฟังก์ชั่นการสูญเสีย 0-1 ถูกประเมินเพียงการทดลองแต่ละครั้งหัวหรือก้อยจะดีเท่า ๆ กัน

thirders ชนะ

แทนที่จะเป็นเหรียญให้สมมติเป็นลูกเต๋าที่ยุติธรรม:

on friday, the sleeping beauty will sleep:
if the dice == 1 , they will awake her on saturday;
if the dice == 2 , they will awake her on saturday and sunday;
if the dice == 3 , they will awake her on saturday, sunday and monday;
if the dice == 4 , they will awake her on saturday, sunday, monday and tuesday;
if the dice == 5 , they will awake her on saturday, sunday, monday, tuesday and wednesday;
if the dice == 6 , they will awake her on saturday, sunday, monday, tuesday, wednesday and thursday;

ทุกครั้งที่พวกเขาถามเธอว่าคุณควรเชื่อในระดับใดว่าผลลัพธ์ของลูกเต๋าเท่ากับ 1

ครึ่งหนึ่งจะบอกว่าความน่าจะเป็นของลูกเต๋า = 1 คือ 1/6 Thirdersจะบอกว่าความน่าจะเป็นของลูกเต๋า = 1 คือ 1/21

แต่การจำลองสถานการณ์ช่วยแก้ปัญหาได้อย่างชัดเจน:

days <- c("saturday", "sunday", "monday", "tuesday", "wednesday", "thursday")

#she will answer the dice was 1 every time 
#the trick here is that this is not absolutely random because every day implies the days before it. 


number_of_correct_answer <- 0
number_of_days <- 0
for (i in 1:1000){
dice <- sample(1:6,1)
for (item in days[1:dice]){
        number_of_correct_answer <- number_of_correct_answer + (dice == 1)
        number_of_days <- number_of_days + 1
}
}
number_of_correct_answer/number_of_days
#equals 1/21
#but if we divided by 1000 , which is incorrect because every experiment has more than one day we will get 1/6
number_of_correct_answer/1000
#equals 1/6

นอกจากนี้เราสามารถจำลองปัญหาการโยน

days <- c("monday", "tuesday")
number_of_correct_answer <- 0
number_of_tosses <- 0
for (i in 1:1000){
        toss <- sample(1:2,1)
        for (item in days[1:toss]){
                number_of_correct_answer <- number_of_correct_answer + (toss == 1)
                number_of_tosses <- number_of_tosses + 1
        }
}
number_of_correct_answer/number_of_tosses
#equals 1/3
#but if we divided by 1000 , which is incorrect because every experiment can has more than one toss we will get 1/2
number_of_correct_answer/1000
#equals 1/2

ความขัดแย้งที่ชัดเจนเกิดขึ้นจากหลักฐานที่ผิด ๆ ว่าความน่าจะเป็นแน่นอน ในความเป็นจริงความน่าจะเป็นจะสัมพันธ์กับคำจำกัดความของเหตุการณ์ที่กำลังนับ

$P(Letter,Time|Audio)$$P(Letter|Time,Audio)$$P(Letter,Time)$$P(Letter|Time)$

ทั้ง P (หัว) = 1/2 โลก wrt (หรือเกิด), และ P (หัว) = 1/3 wrt instants (หรือตื่น) เป็นจริง แต่หลังจากถูกนำไปนอนเจ้าหญิงนิทราสามารถคำนวณความน่าจะเป็นที่เกี่ยวข้องกับ instants เพราะเธอรู้ว่าความทรงจำของเธอถูกลบทิ้ง (ก่อนนอนเธอจะคำนวณโดยคำนึงถึงโลก)

ฉันคิดว่าข้อผิดพลาดมาจาก "thirders" และเหตุผลของฉันคือว่า "awakenings" นั้นไม่น่าเท่ากัน - ถ้าคุณถูกปลุกให้ตื่นขึ้นก็มีแนวโน้มที่จะเป็น "ครั้งแรก" ที่คุณตื่นขึ้นมา - 75 โอกาสในความเป็นจริง

ซึ่งหมายความว่าคุณไม่สามารถนับ "3 ผลลัพธ์" (heads1, tails1, tails2) เท่า ๆ กัน

$AA=A$$A$$Pr(A|I)=1$$I\implies A$$IA=I$$p(H|AI)=p(H|I)=0.5$

คณิตศาสตร์แสดงให้เห็นอย่างชัดเจนในคำตอบที่ได้รับจาก @ pit847 ดังนั้นฉันจะไม่พูดซ้ำในเหมือง

$1$$g$$U$

$$E(U|h)=0.5\times (g-1) + 0.5\times (-2) = \frac{g - 3}{2}$$ $$E(U|t)=0.5\times (-1) + 0.5 \times (2g-2)=\frac{2g - 3}{2}$$

ดังนั้นคุณจะได้รับพิเศษ$\frac{g}{2}$$g=\frac{3}{2}=1.5$

$E(U|h)=\frac{g-5}{3}$$E(U|t)=\frac{4g-5}{3}$$g=\frac{5}{4}=1.25$

$g=1.4$$498$$502$$1004 \times 1.4 = 1405.6$$1502$$97.6$

เมื่อ Sleeping Beauty ตื่นขึ้นมาเธอก็รู้ว่า:

$r$$r = \mathrm{H}$$r = \mathrm{T}$

$\mathcal{I}$

$\mathrm{prob}(r = \mathrm{H} | \mathcal{I})?$

$w$$\mathcal{I}$

$$(r = \mathrm{H} \vee r = \mathrm{T}) \wedge (r = \mathrm{H} \implies w = 1) \wedge (r = \mathrm{T} \implies (w = 1 \vee w = 2))$$

$$(r = \mathrm{H} \wedge w = 1) \vee (r = \mathrm{T} \wedge w = 1) \vee (r = \mathrm{T} \wedge w = 2)$$

$\frac{1}{3}$$\mathrm{prob}(r = \mathrm{H} | \mathcal{I}) = \frac{1}{3}$

---

PS

$\mathrm{H}$$\mathrm{T}$$\mathrm{prob}(r = \mathrm{H} | \mathcal{I}) = \frac{1}{2}$

ในมุมมองของฉันอย่างไรก็ตามข้อความประเภทนี้ไม่สามารถยอมรับได้ในทางเทคนิคเพราะความน่าจะเป็นเป็นสิ่งที่ต้องดำเนินการจากข้อเสนอก่อนหน้าและตามมา วลี "เคล็ดลับการโยนเหรียญที่ยุติธรรม" ทำให้เกิดคำถาม: เจ้าหญิงนิทรารู้ได้อย่างไรว่ามันยุติธรรม เธอมีข้อมูลใดที่กำหนดไว้ โดยปกติแล้วความเป็นธรรมของเหรียญในอุดมคตินั้นเกิดขึ้นจากข้อเท็จจริงที่ว่ามีความเป็นไปได้สองอย่างที่เทียบเท่าได้กับข้อมูล เมื่อการพลิกเหรียญผสมกับปัจจัยการตื่นเราจะมีความเป็นไปได้สามทางที่เทียบเท่ากับการให้ข้อมูล มันคือเหรียญในอุดมคติสามด้านดังนั้นเราจึงมาถึงวิธีการแก้ปัญหาข้างต้น

ฉันไปงานปาร์ตี้สาย

คำถามนี้คล้ายกับปัญหา Monty Hall ซึ่งคุณจะต้องเดาว่าประตูไหนของรางวัล 3 ประตู สมมติว่าคุณเลือก Door No.1 จากนั้นผู้นำเสนอ (ที่รู้ว่ารางวัลอยู่ที่ไหน) จะลบ Door No.3 ออกจากเกมและถามว่าคุณต้องการเปลี่ยนการเดาของคุณจาก Door No1 เป็น Door No2 หรือไม่ เรื่องราวควรดำเนินต่อไปคุณควรสลับไปมาเสมอเนื่องจากมีความเป็นไปได้สูงกว่าที่จะได้รับรางวัลใน Door No2 ผู้คนมักสับสนในจุดนี้และชี้ให้เห็นว่าความน่าจะเป็นของการได้รับรางวัลในแต่ละประตูยังคงเป็น 1/3 แต่ไม่ thats จุด. คำถามไม่ใช่สิ่งที่น่าจะเป็นเบื้องต้นคำถามที่แท้จริงคือโอกาสที่คุณเดาได้ถูกต้องและอะไรคือโอกาสที่คุณคิดผิด ในกรณีนี้คุณควรเปลี่ยนเพราะโอกาสที่คุณจะได้รับมันผิดคือ 2/3

เช่นเดียวกับปัญหา Monty Hall สิ่งที่ชัดเจนยิ่งขึ้นถ้าเราสร้าง 3 ประตูให้เป็นหนึ่งล้านประตู หากมีประตูเป็นล้านประตูคุณเลือก Door No1 และผู้นำเสนอปิดประตูจาก 3 เป็นหนึ่งล้านโดยเหลือเพียงประตู No1 และประตู No2 เท่านั้นในการเล่นคุณจะเปลี่ยนหรือไม่ แน่นอนคุณต้องการ! โอกาสที่คุณจะเลือก Door No1 อย่างถูกต้องตั้งแต่แรกคือ 1 ในล้าน โอกาสที่คุณไม่ได้

กล่าวอีกนัยหนึ่งข้อผิดพลาดในการให้เหตุผลมาจากการเชื่อว่าความน่าจะเป็นของการดำเนินการเท่ากับความน่าจะเป็นของการกระทำที่มีการกระทำเมื่อบริบทระหว่างสองไม่ทำให้งบเทียบเท่า วลีที่แตกต่างกันขึ้นอยู่กับบริบทและสถานการณ์ของปัญหาความน่าจะเป็นของการ "เลือกอย่างถูกต้อง" อาจไม่เหมือนกับความน่าจะเป็นของการ 'เลือกอย่างถูกต้อง'

ในทำนองเดียวกันกับปัญหาความงามนอนหลับ หากคุณไม่ได้ตื่น 2 ครั้งในกรณีของ tails แต่ 1 ล้านครั้งมันเหมาะสมกว่าที่คุณจะพูดว่า "การตื่นขึ้นในปัจจุบันที่ฉันกำลังประสบอยู่ตอนนี้มีแนวโน้มที่จะเป็นหนึ่งในนั้น คราวของการตื่นล้านครั้งจากการโยนก้อยกว่าที่ฉันเพิ่งเกิดขึ้นเมื่อเจอกับการปลุกครั้งเดียวที่เกิดจากหัว " การโต้เถียงว่าเป็นเหรียญที่ยุติธรรมไม่มีอะไรเกี่ยวข้องกับที่นี่ เหรียญยุติธรรมจะบอกคุณว่าโอกาสในการ 'โยน' หัวเท่านั้นคือความน่าจะเป็นที่จะต้องปลุกครั้งเดียวเมื่อเทียบกับหนึ่งล้านครั้งเมื่อคุณโยนเหรียญครั้งแรก ดังนั้นถ้าคุณถาม SB ก่อนการทดสอบเพื่อเลือกว่าเธอจะนอนหนึ่งครั้งหรือหนึ่งล้านครั้งก่อนการโยนแต่ละครั้งความน่าจะเป็นของเธอที่ 'เลือกอย่างถูกต้อง' เป็น 50% แน่นอน

แต่จากจุดนั้นสมมติว่ามีการทดลองที่ต่อเนื่องและความจริงที่ว่า SB ไม่ได้บอกว่าการทดลองใดที่เธอกำลังอยู่ในทุกจุดที่เธอตื่นขึ้นมาความน่าจะเป็นที่จะถูก 'โยน' หัวนั้นมีน้อย ตื่นขึ้นมาจากหนึ่งในล้าน awakenings กว่าจากหนึ่งเดียว

โปรดทราบว่าสิ่งนี้แสดงถึงการทดลองที่ต่อเนื่องตามการใช้ถ้อยคำของปัญหา หาก SB มั่นใจกับการเริ่มต้นของการทดสอบว่าจะมีการทดลองเพียงครั้งเดียวเท่านั้น (เช่นเพียงหนึ่ง toin coss) ความเชื่อของเธอกลับไปที่ 50% เนื่องจาก ณ เวลาใดเวลาหนึ่งความจริงที่ว่าเธออาจตื่นขึ้นมา หลายต่อหลายครั้งก่อนหน้านี้จะไม่เกี่ยวข้อง กล่าวอีกนัยหนึ่งในบริบทนี้ความน่าจะเป็นของ 'การเลือกที่ถูกต้อง' และ 'การเลือกที่ถูกต้อง' จะเทียบเท่ากันอีกครั้ง

โปรดทราบว่าการตอบโต้ใด ๆ ที่ใช้ 'การเดิมพัน' เป็นคำถามที่แตกต่างกันในการเปลี่ยนบริบทโดยสิ้นเชิง เช่นแม้ในการทดลองครั้งเดียวหากคุณต้องรับเงินทุกครั้งที่คุณเดาถูกต้องคุณจะต้องไปหาหาง แต่นี่เป็นเพราะรางวัลที่คาดหวังสูงกว่าไม่ใช่เพราะความน่าจะเป็นของก้อยนั้นแตกต่างจากหัว ดังนั้น 'การแก้ปัญหา' ใด ๆ ที่แนะนำการเดิมพันจะมีผลเฉพาะเมื่อพวกเขาล้มเหลวในการตีความโดยเฉพาะอย่างยิ่ง

ก่อนที่ SB จะหลับเธอเชื่อว่าโอกาสในการพลิกเหรียญครั้งต่อไปคือ 1/2 หลังจากที่เธอตื่นขึ้นมาเธอเชื่อว่าโอกาสที่การพลิกเหรียญครั้งล่าสุดคือหัวจะเป็น 1/3 เหตุการณ์เหล่านั้นไม่เหมือนกันเพราะไม่มีการโต้ตอบแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างการกระตุ้นและการพลิกเหรียญ

วิธีแก้ปัญหาต่อไปนี้:

คำถามคือการประเมินความน่าจะเป็นของเหรียญที่ขึ้นมา "หัว" ดังนั้นหากเจ้าหญิงนิทราตื่นขึ้นมาในวันจันทร์และรู้ว่าวันนี้เป็นวันอะไรเธอคงต้องเชื่อว่าความน่าจะเป็นของ "หัว" นั้นจะอยู่ที่ 50%

อย่างไรก็ตามหากเธอถูกปลุกให้ตื่นในวันอังคารและรู้ว่าวันนี้เป็นวันใดความน่าจะเป็นของเหรียญที่จะเกิดขึ้นจะเป็นศูนย์

ดังนั้นความรู้ของวันที่มันจะเพิ่มข้อมูลที่สำคัญการเปลี่ยนแปลงความน่าจะเป็นของ "หัว"

อย่างไรก็ตามเจ้าหญิงนิทรายังไม่รู้ว่าวันไหนที่เธอตื่นขึ้นมา เราจำเป็นต้องกำหนดความน่าจะเป็นที่จะตื่นขึ้นในวันจันทร์หรือวันอังคารตามลำดับ

ก่อนอื่นมาพิจารณาความน่าจะเป็นของมันวันอังคาร เมื่อผู้ทดสอบพลิกเหรียญผลลัพธ์จะเป็นตัวตัดสินสถานการณ์ของการทดลองที่เขาจะติดตาม ถ้ามันเป็นหัว SB จะตื่นขึ้นมาเฉพาะในวันจันทร์ ถ้ามันก้อยเธอตื่นทั้งในวันจันทร์และวันอังคาร ความน่าจะเป็นของการทดสอบที่ใช้หนึ่งในเส้นทางเหล่านี้คือ 50/50 อย่างเห็นได้ชัด ตอนนี้ถ้าเราอยู่ในสาขา "สอง awakenings" ความน่าจะเป็นที่จะเป็นวันอังคารหรือวันจันทร์ที่ SB ตื่นขึ้นมามีทั้ง 50% เราสามารถคำนวณความน่าจะเป็นทั้งหมดของวันอังคารได้เมื่อ SB ตื่นขึ้นมาเป็น 0.5 * 0.5 = 0.25 เห็นได้ชัดว่าความน่าจะเป็นของวันจันทร์ที่เธอตื่นขึ้นมาคือ 1-0.25 = 0.75

ถ้า SB รู้ว่าเธอตื่นในวันอังคารความน่าจะเป็นของเหรียญที่เกิดขึ้น "หัว" จะเป็นศูนย์

อย่างไรก็ตามหากเธอรู้ว่าเธอตื่นขึ้นมาในวันจันทร์ความน่าจะเป็นของเหรียญที่เกิดขึ้น "หัว" จะเป็น 50% แต่เรารู้ว่าความน่าจะเป็นของมันคือวันจันทร์เท่ากับ 0.75 ดังนั้นเพื่อหาความน่าจะเป็นรวมของเหรียญที่มี "หัว" เราต้องคูณ 0.75 * 0.5 = 0.375

คำตอบคือความน่าจะเป็นที่เหรียญขึ้นมา "หัว" คือ 37.5%

ข้างต้นเป็นเพียงข้อเสนอแนะ กรุณาชี้ให้เห็นถ้าคุณเห็นข้อบกพร่องในการให้เหตุผลของฉัน