วิธีการค้นหาเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมของรูปหลายเหลี่ยม?

ลองนึกภาพคุณมีรูปหลายเหลี่ยมที่กำหนดโดยชุดพิกัด $(x_1,y_1)...(x_n,y_n)$ และศูนย์กลางของมวลอยู่ที่ $(0,0)$. คุณสามารถถือว่ารูปหลายเหลี่ยมเป็นการกระจายแบบสม่ำเสมอด้วยขอบเขตรูปหลายเหลี่ยม

ฉันหลังจากวิธีการที่จะได้พบกับการเมทริกซ์ความแปรปรวนของรูปหลายเหลี่ยม

ฉันสงสัยว่าเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมของรูปหลายเหลี่ยมนั้นเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับช่วงเวลาที่สองของพื้นที่แต่ไม่ว่าพวกมันจะเท่ากันหรือไม่ฉันไม่แน่ใจ สูตรที่พบในบทความวิกิพีเดียที่ฉันเชื่อมโยงดูเหมือน (คาดเดาที่นี่มันไม่ชัดเจนโดยเฉพาะอย่างยิ่งกับฉันจากบทความ) เพื่ออ้างถึงความเฉื่อยหมุนรอบแกน x, y และ z มากกว่าแกนหลักของรูปหลายเหลี่ยม

(บังเอิญถ้าใครสามารถชี้ให้ฉันถึงวิธีการคำนวณแกนหลักของรูปหลายเหลี่ยมนั้นจะเป็นประโยชน์กับฉันด้วย)

เป็นที่น่าดึงดูดใจที่จะเพียงแค่ทำการ PCA บนพิกัดแต่การทำเช่นนี้จะทำให้เกิดปัญหาที่พิกัดไม่จำเป็นต้องกระจายทั่วรูปหลายเหลี่ยมอย่างสม่ำเสมอและดังนั้นจึงไม่ได้เป็นตัวแทนของความหนาแน่นของรูปหลายเหลี่ยม ตัวอย่างสุดขั้วคือโครงร่างของนอร์ทดาโคตาซึ่งรูปหลายเหลี่ยมถูกกำหนดโดยจุดจำนวนมากที่ตามแม่น้ำแดงรวมทั้งอีกสองจุดที่กำหนดขอบตะวันตกของรัฐ

ลองทำการวิเคราะห์ก่อน

สมมติว่าภายในรูปหลายเหลี่ยม $\mathcal{P}$ ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นเป็นฟังก์ชันแบบสัดส่วน $p(x,y).$ จากนั้นค่าคงที่ของสัดส่วนก็คือค่าผกผันของอินทิกรัลของ $p$ เหนือรูปหลายเหลี่ยม

$$\mu_{0,0}(\mathcal{P})=\iint_{\mathcal P} p(x,y) \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y.$$

barycenterของรูปหลายเหลี่ยมเป็นจุดพิกัดเฉลี่ยคำนวณช่วงเวลาแรกของพวกเขา อันแรกก็คือ

$$\mu_{1,0}(\mathcal{P})=\frac{1}{\mu_{0,0}(\mathcal{P})} \iint_{\mathcal P} x\,p(x,y)\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y.$$

เมตริกซ์เฉื่อยสามารถแสดงเป็นอาร์เรย์สมมาตรของช่วงเวลาที่สองคำนวณหลังจากแปลรูปหลายเหลี่ยมที่จะนำ barycenter ที่กำเนิด: นั่นคือเมทริกซ์ของช่วงเวลาที่สองกลาง

$$\mu^\prime_{k,l}(\mathcal{P}) = \frac{1}{\mu_{0,0}(\mathcal{P})} \iint_{\mathcal P} \left(x - \mu_{1,0}(\mathcal{P})\right)^k\,\left(y - \mu_{0,1}(\mathcal{P})\right)^l\,p(x,y)\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$$

ที่ไหน $(k,l)$ ช่วงจาก $(2,0)$ ถึง $(1,1)$ ถึง $(0,2).$ เทนเซอร์เอง - อาคาเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วม - คือ

$$I(\mathcal{P}) = \pmatrix{\mu^\prime_{2,0}(\mathcal{P}) & \mu^\prime_{1,1}(\mathcal{P}) \\ \mu^\prime_{1,1}(\mathcal{P}) & \mu^\prime_{0,2}(\mathcal{P})}.$$

PCA ของ $I(\mathcal{P})$ให้แกนหลักของ$\mathcal{P}:$ สิ่งเหล่านี้คือค่าลักษณะเฉพาะของหน่วยโดยค่าลักษณะเฉพาะ

---

ต่อไปเรามาดูวิธีการคำนวณ เนื่องจากรูปหลายเหลี่ยมนั้นแสดงเป็นลำดับของจุดยอดที่อธิบายขอบเขตเชิงของมัน$\partial\mathcal P,$ มันเป็นธรรมชาติที่จะเรียก

ทฤษฎีบทกรีน

$$\iint_{\mathcal{P}} \mathrm{d}\omega = \oint_{\partial\mathcal{P}}\omega$$ ที่ไหน $\omega = M(x,y)\mathrm{d}x + N(x,y)\mathrm{d}y$ เป็นรูปแบบหนึ่งที่กำหนดไว้ในละแวกของ $\mathcal{P}$ และ $$\mathrm{d}\omega = \left(\frac{\partial}{\partial x}N(x,y) - \frac{\partial}{\partial y}M(x,y)\right)\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y.$$

ตัวอย่างเช่นกับ $\mathrm{d}\omega = x^k y^l \mathrm{d}x\mathrm{d}y$และความหนาแน่นคงที่ ( เช่นสม่ำเสมอ)$p,$ เราอาจ (โดยการตรวจสอบ) เลือกหนึ่งในหลาย ๆ วิธีเช่น

$$\omega(x,y) = \frac{-1}{l+1}x^k y^{l+1}\mathrm{d}x.$$

จุดนี้คือสิ่งที่อินทิกรัลของรูปร่างตามส่วนของเส้นตรงที่กำหนดโดยลำดับของจุดยอด ส่วนของเส้นใดก็ได้จากจุดสุดยอด$\mathbf{u}$ เพื่อจุดสุดยอด $\mathbf{v}$ สามารถแปรค่าโดยตัวแปรจริง $t$ ในรูปแบบ

$$t \to \mathbf{u} + t\mathbf{w}$$

ที่ไหน $\mathbf{w} \propto \mathbf{v}-\mathbf{u}$ เป็นทิศทางปกติของหน่วยจาก $\mathbf{u}$ ถึง $\mathbf{v}.$ ค่าของ $t$ ดังนั้นช่วงจาก $0$ ถึง $|\mathbf{v}-\mathbf{u}|.$ ภายใต้การปรับพารามิเตอร์นี้ $x$ และ $y$ ฟังก์ชั่นเชิงเส้นของ $t$ และ $\mathrm{d}x$ และ $\mathrm{d}y$ ฟังก์ชั่นเชิงเส้นของ $\mathrm{d}t.$ ดังนั้นปริพันธ์และอินทิกรัลของเส้นขอบเหนือขอบแต่ละอันจึงกลายเป็นฟังก์ชันพหุนามของ$t,$ ซึ่งประเมินได้ง่ายสำหรับขนาดเล็ก $k$ และ $l.$

---

การใช้การวิเคราะห์นี้ตรงไปตรงมาเหมือนกับการเขียนโค้ดส่วนประกอบ ในระดับต่ำสุดเราจะต้องมีฟังก์ชั่นเพื่อรวมพหุนามหนึ่งรูปแบบเหนือส่วนของเส้นตรง ฟังก์ชั่นระดับที่สูงขึ้นจะรวมสิ่งเหล่านี้เพื่อคำนวณช่วงเวลาดิบและตอนกลางเพื่อรับ barycenter และเทนเซอร์แรงเฉื่อยและในที่สุดเราก็สามารถทำงานกับเทนเซอร์นั้นเพื่อค้นหาแกนหลัก Rโค้ดด้านล่างนี้ดำเนินงานนี้ ไม่มีข้อ จำกัด เรื่องประสิทธิภาพ: มีวัตถุประสงค์เพื่อแสดงให้เห็นถึงการใช้งานจริงของการวิเคราะห์ที่กล่าวมาข้างต้น แต่ละฟังก์ชั่นนั้นตรงไปตรงมาและอนุสัญญาการตั้งชื่อนั้นขนานกับการวิเคราะห์

รวมอยู่ในรหัสเป็นขั้นตอนในการสร้างปิดที่ถูกต้องเพียงเชื่อมต่อรูปหลายเหลี่ยมที่ไม่ได้ตัดตัวเอง (โดยการสุ่มจุดเปลี่ยนรูปตามวงกลมและรวมจุดสุดยอดเริ่มต้นเป็นจุดสุดท้ายเพื่อสร้างวงปิด) ต่อไปนี้เป็นข้อความสองสามข้อในการพล็อตรูปหลายเหลี่ยมแสดงจุดยอดติด barycenter และพล็อตแกนหลักในสีแดง (ใหญ่ที่สุด) และสีฟ้า (เล็กที่สุด) สร้างระบบพิกัดรูปหลายเหลี่ยมเชิงบวก

#
# Integrate a monomial one-form x^k*y^l*dx along the line segment given as an 
# origin, unit direction vector, and distance.
#
lintegrate <- function(k, l, origin, normal, distance) {
  # Binomial theorem expansion of (u + tw)^k
  expand <- function(k, u, w) {
    i <- seq_len(k+1)-1
    u^i * w^rev(i) * choose(k,i)
  }
  # Construction of the product of two polynomials times a constant.
  omega <- normal[1] * convolve(rev(expand(k, origin[1], normal[1])), 
                                expand(l, origin[2], normal[2]),
                                type="open")
  # Integrate the resulting polynomial from 0 to `distance`.
  sum(omega * distance^seq_along(omega) / seq_along(omega))
}
#
# Integrate monomials along a piecewise linear path given as a sequence of
# (x,y) vertices.
#
cintegrate <- function(xy, k, l) {
  n <- dim(xy)[1]-1 # Number of edges
  sum(sapply(1:n, function(i) {
    dv <- xy[i+1,] - xy[i,]               # The direction vector
    lambda <- sum(dv * dv)
    if (isTRUE(all.equal(lambda, 0.0))) {
      0.0
    } else {
      lambda <- sqrt(lambda)              # Length of the direction vector
      -lintegrate(k, l+1, xy[i,], dv/lambda, lambda) / (l+1)
    }
  }))
}
#
# Compute moments of inertia.
#
inertia <- function(xy) {
  mass <- cintegrate(xy, 0, 0)
  barycenter = c(cintegrate(xy, 1, 0), cintegrate(xy, 0, 1)) / mass
  uv <- t(t(xy) - barycenter)   # Recenter the polygon to obtain central moments
  i <- matrix(0.0, 2, 2)
  i[1,1] <- cintegrate(uv, 2, 0)
  i[1,2] <- i[2,1] <- cintegrate(uv, 1, 1)
  i[2,2] <- cintegrate(uv, 0, 2)
  list(Mass=mass,
       Barycenter=barycenter,
       Inertia=i / mass)
}
#
# Find principal axes of an inertial tensor.
#
principal.axes <- function(i.xy) {
  obj <- eigen(i.xy)
  t(t(obj$vectors) * obj$values)
}
#
# Construct a polygon.
#
circle <- t(sapply(seq(0, 2*pi, length.out=11), function(a) c(cos(a), sin(a))))
set.seed(17)
radii <- (1 + rgamma(dim(circle)[1]-1, 3, 3))
radii <- c(radii, radii[1])  # Closes the loop
xy <- circle * radii
#
# Compute principal axes.
#
i.xy <- inertia(xy)
axes <- principal.axes(i.xy$Inertia)
sign <- sign(det(axes))
#
# Plot barycenter and principal axes.
#
plot(xy, bty="n", xaxt="n", yaxt="n", asp=1, xlab="x", ylab="y",
     main="A random polygon\nand its principal axes", cex.main=0.75)
polygon(xy, col="#e0e0e080")
arrows(rep(i.xy$Barycenter[1], 2), 
       rep(i.xy$Barycenter[2], 2),
       -axes[1,] + i.xy$Barycenter[1],     # The -signs make the first axis .. 
       -axes[2,]*sign + i.xy$Barycenter[2],# .. point to the right or down.
       length=0.1, angle=15, col=c("#e02020", "#4040c0"), lwd=2)
points(matrix(i.xy$Barycenter, 1, 2), pch=21, bg="#404040")

แก้ไข: ไม่ได้สังเกตว่า whuber ตอบแล้ว ฉันจะทิ้งเรื่องนี้ไว้เป็นตัวอย่างของแนวทางอื่น (อาจจะดูสง่าน้อยกว่า) สำหรับปัญหา

เมทริกซ์ความแปรปรวนร่วม

ปล่อย $(X,Y)$ เป็นจุดสุ่มจากการกระจายตัวของรูปหลายเหลี่ยม $P$ กับพื้นที่ $A$. เมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมคือ:

$$C = \begin{bmatrix} C_{XX} & C_{XY} \\ C_{XY} & C_{YY} \end{bmatrix}$$

ที่ไหน $C_{XX} = E[X^2]$ คือความแปรปรวนของ $X$, $C_{YY} = E[Y^2]$ คือความแปรปรวนของ $Y$และ $C_{XY} = E[XY]$ คือความแปรปรวนร่วมระหว่าง $X$ และ $Y$. สิ่งนี้จะถือว่าค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์เนื่องจากจุดศูนย์กลางมวลของรูปหลายเหลี่ยมตั้งอยู่ที่จุดกำเนิด การกระจายแบบสม่ำเสมอกำหนดความหนาแน่นของความน่าจะเป็นคงที่$\frac{1}{A}$ ทุกจุดใน $P$ดังนั้น:

$$C_{XX} = \frac{1}{A} \underset{P}{\iint} x^2 dV \quad C_{YY} = \frac{1}{A} \underset{P}{\iint} y^2 dV \quad C_{XY} = \frac{1}{A} \underset{P}{\iint} x y dV \tag{1}$$

triangulation

แทนที่จะพยายามบูรณาการโดยตรงในพื้นที่ที่ซับซ้อนเช่น $P$เราสามารถทำให้ปัญหาง่ายขึ้นโดยการแบ่งพาร์ติชัน $P$ เข้าไป $n$ ภูมิภาคย่อยสามเหลี่ยม:

$$P = T_1 \cup \cdots \cup T_n$$

ในตัวอย่างของคุณการแบ่งพาร์ติชันที่เป็นไปได้มีลักษณะดังนี้:

มีหลายวิธีในการสร้างสมการ (ดูที่นี่ ) ตัวอย่างเช่นคุณสามารถคำนวณDelaunay triangulationของจุดยอดแล้วทิ้งขอบที่อยู่ข้างนอก$P$(เนื่องจากอาจไม่ใช่คอนเน็กซ์ตามตัวอย่าง)

ปริพันธ์มากกว่า $P$ จากนั้นสามารถแบ่งออกเป็นผลรวมของปริพันธ์บนสามเหลี่ยมได้:

$$C_{XX} = \frac{1}{A} \sum_{i=1}^n \underset{T_i}{\iint} x^2 dV \quad C_{YY} = \frac{1}{A} \sum_{i=1}^n \underset{T_i}{\iint} y^2 dV \quad C_{XY} = \frac{1}{A} \sum_{i=1}^n \underset{T_i}{\iint} x y dV \tag{2}$$

สามเหลี่ยมมีขอบเขตที่ดีและเรียบง่ายดังนั้นอินทิกรัลเหล่านี้จึงประเมินได้ง่ายกว่า

บูรณาการมากกว่ารูปสามเหลี่ยม

มีหลายวิธีในการรวมเข้ากับสามเหลี่ยม ในกรณีนี้ฉันใช้เคล็ดลับที่เกี่ยวข้องกับการทำแผนที่สามเหลี่ยมกับสี่เหลี่ยมหน่วย การแปลงเป็นค่าพิกัดไบโอเซนทริกอาจเป็นตัวเลือกที่ดีกว่า

นี่คือวิธีแก้ปัญหาสำหรับอินทิกรัลด้านบนสำหรับสามเหลี่ยมโดยพลการ $T$ กำหนดโดยจุดยอด $(x_1,y_1), (x_2,y_2), (x_3,y_3)$. ปล่อย:

$$v_x = \left[ \begin{smallmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{smallmatrix} \right] \quad v_y = \left[ \begin{smallmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{smallmatrix} \right] \quad \vec{1} = \left[ \begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{smallmatrix} \right] \quad L = \left[ \begin{smallmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{smallmatrix} \right]$$

แล้ว:

$$\underset{T}{\iint} x^2 dV = \frac{A}{6} \text{Tr}(v_x v_x^T L) \quad \underset{T}{\iint} y^2 dV = \frac{A}{6} \text{Tr}(v_y v_y^T L) \quad \underset{T}{\iint} x y dV = \frac{A}{12} (\vec{1}^T v_x v_y^T \vec{1} + v_x^T v_y) \tag{3}$$

วางทุกอย่างเข้าด้วยกัน

ปล่อย $v_x^i$ และ $v_y^i$ มีพิกัด x / y ของจุดยอดสำหรับแต่ละสามเหลี่ยม $T_i$เหมือนข้างต้น ปลั๊ก$(3)$ เข้าไป $(2)$สำหรับสามเหลี่ยมแต่ละรูปโดยสังเกตว่าเงื่อนไขของพื้นที่นั้นถูกยกเลิก สิ่งนี้จะช่วยแก้ปัญหา:

$$C_{XX} = \frac{1}{6} \sum_{i=1}^n \text{Tr} \big( v_x^i (v_x^i)^T L \big) \quad C_{YY} = \frac{1}{6} \sum_{i=1}^n \text{Tr} \big( v_y^i (v_y^i)^T L \big) \quad C_{XY} = \frac{1}{12} \sum_{i=1}^n \big( \vec{1}^T v_x^i (v_y^i)^T \vec{1} + (v_x^i)^T v_y^i \big) \tag{4}$$

แกนหลัก

แกนหลักถูกกำหนดโดย eigenvectors ของเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วม $C$เช่นเดียวกับใน PCA ซึ่งแตกต่างจาก PCA เรามีการแสดงออกการวิเคราะห์สำหรับ$C$แทนที่จะต้องประเมินจากจุดข้อมูลที่สุ่มตัวอย่าง โปรดทราบว่าจุดยอดเองไม่ใช่ตัวอย่างตัวแทนจากการกระจายเครื่องแบบบน$P$ดังนั้นเราจึงไม่สามารถใช้เมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมตัวอย่างของจุดยอดได้ แต่,$C$ * คือ * เป็นฟังก์ชันที่ค่อนข้างง่ายของจุดยอดตามที่เห็นใน $(4)$.