มีซีมโทติคอันดับสามอยู่หรือไม่?

ผลลัพธ์เชิงสถิติส่วนใหญ่พิสูจน์ว่า$n \rightarrow \infty$ตัวประมาณ (เช่น MLE) มาบรรจบกับการแจกแจงแบบปกติตามการขยายตัวของเทย์เลอร์อันดับสองของฟังก์ชันความน่าจะเป็น ฉันเชื่อว่ามีผลคล้ายกันในวรรณกรรม Bayesian, "ทฤษฎีบท Bayesian Central Limit" ซึ่งแสดงให้เห็นว่าด้านหลังบรรจบกันแบบอะซิมทีโทรติกกลับมาเป็นปกติเหมือน$n \rightarrow \infty$

คำถามของฉันคือ - การกระจายเข้าหากันกับบางสิ่งบางอย่าง "ก่อนหน้า" จะกลายเป็นเรื่องปกติหรือไม่ขึ้นอยู่กับเทอมที่สามในซีรีส์ของ Taylor หรือเป็นไปไม่ได้ที่จะทำโดยทั่วไป?

คุณกำลังค้นหาซีรี่ส์ Edgeworth ใช่ไหม?

http://en.wikipedia.org/wiki/Edgeworth_series#Edgeworth_series

(โปรดทราบว่า Edgeworth เสียชีวิตในปี 2469 ควรอยู่ในสถิติที่โด่งดังที่สุด?)

มันเป็นไปไม่ได้สำหรับลำดับที่จะ "มาบรรจบกัน" กับสิ่งใดสิ่งหนึ่ง คำสั่งที่สูงขึ้นในการขยาย asymptotic จะเป็นศูนย์ สิ่งที่พวกเขาบอกคุณก็คือมันใกล้เคียงกับศูนย์มากน้อยเพียงใดสำหรับมูลค่าที่กำหนดไว้n$n$

สำหรับทฤษฎีบทขีด จำกัด กลาง (เป็นตัวอย่าง) การขยายตัวที่เหมาะสมคือลอการิทึมของฟังก์ชันลักษณะ: ฟังก์ชันสร้าง Cumulant (cgf) การทำให้เป็นมาตรฐานของการแจกแจงแก้ไขข้อ zeroth, คำที่หนึ่งและที่สองของ cgf เงื่อนไขที่เหลือซึ่งมีค่าสัมประสิทธิ์เป็นcumulantsขึ้นอยู่กับอย่างเป็นระเบียบ มาตรฐานที่เกิดขึ้นใน CLT (การหารผลรวมของnตัวแปรสุ่มโดยบางสิ่งบางอย่างได้สัดส่วนกับn 1 / 2 --without ซึ่งบรรจบกันจะไม่เกิดขึ้น) ทำให้เมตรTH cumulant - ซึ่งหลังจากทั้งหมดขึ้นอยู่กับมณช่วงเวลา - เพื่อ หารด้วย( $n$$n$$n^{1/2}$$m^\text{th}$$m^\text{th}$แต่ในเวลาเดียวกันเพราะเรากำลังสรุปnแง่ผลกำไรเป็นที่ม. THระยะเพื่อเป็นสัดส่วนกับn / n เมตร/ 2 = n - ( เมตร- 2 ) / 2 ดังนั้น cumulant สามของจำนวนเงินเอามาตรฐานเป็นสัดส่วนกับ1 / n 1 / 2ที่ cumulant สี่เป็นสัดส่วน1 /$(n^{1/2})^m = n^{m/2}$$n$$m^\text{th}$$n/n^{m/2} = n^{-(m-2)/2}$$1/n^{1/2}$$1/n$และอื่น ๆ เหล่านี้เป็นคำสั่งที่สูงขึ้น (สำหรับรายละเอียดดูตัวอย่างของ Yuval Filmusในเอกสารนี้)

$n$$n$$n$$n$$1/n^{1/2}$$1/n$คำคือการแก้ไขที่เล็กลงและหายไปอย่างรวดเร็วยิ่งขึ้น กล่าวโดยย่อคำศัพท์เพิ่มเติมจะให้ภาพว่าลำดับนั้นแปรเปลี่ยนเป็นขีด จำกัด ได้เร็วแค่ไหน

$n$$1/n^{1/2}$

นี่คือความพยายามที่จะตอบคำถามที่ลึกซึ้งของคุณ ฉันได้เห็นการรวมของเทอมที่ 3 ของซีรีส์เทย์เลอร์เพื่อเพิ่มความเร็วของการบรรจบกันของซีรีส์เพื่อการกระจายที่แท้จริง อย่างไรก็ตามฉันไม่เคยเห็นการใช้งานในช่วงเวลาที่สามและสูงกว่า

$n^{1/2}$$n^{1/2}$$n$

ดังนั้นผมคิดว่าคำตอบสำหรับคำถามของคุณควรจะไม่มี การกระจายแบบซีมโทติคแปรไปเป็นระยะทางปกติ (โดย CLT ภายใต้เงื่อนไขปกติของ CLT ของ Lindberg) อย่างไรก็ตามการใช้คำสั่งคำสั่งที่สูงขึ้นอาจเพิ่มอัตราการบรรจบกับการกระจายแบบซีมโทติค

ไม่ใช่พื้นที่ของฉันอย่างแน่นอน แต่ฉันค่อนข้างแน่ใจว่ามี asymptotics อันดับสามและสูงกว่าอยู่ นี่เป็นความช่วยเหลือหรือไม่?

Robert L. Strawderman ลำดับที่สูงกว่าประมาณ Asymptotic: เลซ Saddlepoint และวิธีการที่เกี่ยวข้อง วารสารของสมาคมอเมริกันสถิติฉบับ 95 หมายเลข 452 (ธ.ค. 2000) หน้า 1358-1364