ตัวประมาณค่าเป็นกลางของเลขชี้กำลังของการวัดชุด?


12

สมมติว่าเรามี (ที่วัดได้และเหมาะสมมีความประพฤติดี) ชุดที่มีขนาดกะทัดรัด นอกจากนี้สมมติว่าเราสามารถวาดตัวอย่างจากการกระจายชุดมากกว่า wrt เกอวัดและที่เรารู้ว่าวัด(B) เช่นบางทีBเป็นกล่อง[ - C , C ] nมีSSBRnBBλ()λ(B)B[c,c]nS

สำหรับการแก้ไขαRจะมีวิธีการที่เป็นกลางที่เรียบง่ายในการประมาณการeαλ(S)โดยสม่ำเสมอสุ่มตัวอย่างในจุดBและการตรวจสอบหากพวกเขาเป็นภายในหรือภายนอกของS ?

เป็นตัวอย่างของบางสิ่งบางอย่างที่ไม่ได้ทำงานค่อนข้างสมมติว่าเราตัวอย่างkจุดp1,,pkUniform(B) ) แล้วเราสามารถใช้การประมาณการ Monte Carlo

λ(S)λ^:=#{piS}kλ(B).
แต่ในขณะที่ λเป็นประมาณการที่เป็นกลางของλ(S)ผมไม่คิดว่ามันเป็นกรณีที่อี-อัลฟ่า λเป็นประมาณการที่เป็นกลางของอี-อัลฟ่าλ(S) มีวิธีแก้ไขอัลกอริทึมนี้ไหม?λ^λ(S)eαλ^eαλ(S)

คำตอบ:


11

สมมติว่าคุณมีทรัพยากรต่อไปนี้ให้คุณ:

  1. คุณมีการเข้าถึงประมาณการλλ^
  2. λ^คือเป็นกลางสำหรับλ(S))
  3. λ^เป็นที่สิ้นสุดเกือบแน่นอนข้างต้นโดยCC
  4. คุณรู้ค่าคงตัวCและ
  5. คุณสามารถสร้างความเข้าใจที่เป็นอิสระจากλหลายครั้งตามที่คุณต้องการλ^

ตอนนี้ทราบว่าสำหรับu>0ใด ๆต่อไปนี้ถือ (โดยการขยายตัวของexpxเทย์เลอร์):

eαλ(S)=eαCeα(Cλ(S))=eαCk0(α[Cλ(S)])kk!=eαCeuk0eu(α[Cλ(S)])kk!=euαCk0ukeuk!(α[Cλ(S)]u)k

ตอนนี้ทำต่อไปนี้:

  1. ตัวอย่างKPoisson(u) )
  2. แบบฟอร์มλ 1 , , λ Kเป็นประมาณเป็นกลาง IID ของλ ( S )λ^1,,λ^Kλ(S)
  3. ส่งคืนตัวประมาณ

Λ^=euαC(αu)Ki=1K{Cλ^i}.

Λ^เป็นแล้วไม่ใช่เชิงลบประมาณการเป็นกลางของλ(S)) นี้เป็นเพราะ

E[Λ^|K]=euαC(αu)KE[i=1K{Cλ^i}|K]=euαC(αu)Ki=1KE[Cλ^i]=euαC(αu)Ki=1K[Cλ(S)]=euαC(αu)K[Cλ(S)]K

และดังนั้น

E[Λ^]=EK[E[Λ^|K]]=EK[euαC(αu)K[Cλ(S)]K]=euαCk0P(K=k)(αu)K[Cλ(S)]K=euαCk0ukeuk!(α[Cλ(S)]u)k=eαλ(S)

โดยการคำนวณก่อนหน้า


! ที่น่าสนใจ ไม่ได้ประมาณการสำหรับλอธิบายในการทำงานของคำถามที่นี่เนื่องจากมันล้อมรอบข้างต้นโดยλ ( B ) < ? ทำไมวิธีนี้ถึงไม่ขัดแย้งกับคำตอบของ @whuber ด้านล่าง? มีข้อโต้แย้งง่าย ๆ หรือไม่ว่าทำไมสิ่งนี้ถึงไม่เอนเอียง? ขออภัยสำหรับคำถามมากมายทฤษฎีความน่าจะเป็นของฉันอ่อนแอ :-)λ^λ(B)<
จัสตินโซโลมอน

1
ประมาณการที่คุณอธิบายผลงานตั้งแต่คุณรู้ ) ฉันคิดว่านี่ไม่ได้ขัดแย้งกับคำตอบอื่น ๆ เนื่องจากข้อ5 ; เนื่องจากการเข้าถึงตัวประมาณที่ไม่เอนเอียงอย่าง จำกัด ฉันไม่คิดว่าการก่อสร้างนี้จะได้ผล unbiasedness มาโดยการเปรียบเทียบความคาดหวังของΛกับชุดไฟข้างต้น ฉันจะทำให้ชัดเจนขึ้นในคำตอบ λ(B)5Λ^
πr8

คุณแน่ใจหรือไม่ว่าคุณสามารถแลกเปลี่ยนผลิตภัณฑ์และความคาดหวังในบรรทัดที่สองของการพิสูจน์ความเป็นกลาง
jbowman

2
ดูเหมือนว่าจะไม่เป็นไรเพราะพวกเขาคำนวณ iid ใช่ไหม
Justin Solomon

2
+1 ฉันคิดว่านี่เป็นตัวอย่างที่น่าสนใจและเป็นประโยชน์ มันประสบความสำเร็จโดยไม่ได้ตั้งสมมติฐานโดยนัยต่อคำตอบของฉัน: ขนาดของกลุ่มตัวอย่างถูกระบุหรืออย่างน้อยก็มีขอบเขต
whuber

10

คำตอบอยู่ในเชิงลบ

สถิติเพียงพอสำหรับตัวอย่างเครื่องแบบนับXของจุดสังเกตที่จะโกหกในSS. นับนี้มีทวินาม(n,λ(S)/λ(B))การจัดจำหน่าย เขียนp=λ(S)/λ(B)และα=αλ(B).

สำหรับขนาดของกลุ่มตัวอย่างของn,ปล่อยให้tnใด ๆ (unrandomized) ประมาณการของexp(αλ(S))=exp((αλ(B))p)=exp(αp). ความคาดหวังคือ

E[tn(X)]=x=0n(nx)px(1p)nxtn(x),

np.αp0,exp(αp)p.n+1p,

p.

ดังนั้นจึงไม่มีตัวประมาณที่เป็นกลาง


1
exp(t)

αp0α.

SB

4
BTW ฉันขอขอบคุณความคิดของคุณในคำตอบอื่น ๆ สำหรับคำถามนี้!
Justin Solomon
โดยการใช้ไซต์ของเรา หมายความว่าคุณได้อ่านและทำความเข้าใจนโยบายคุกกี้และนโยบายความเป็นส่วนตัวของเราแล้ว
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.