คำถามนี้ได้รับแรงบันดาลใจจากมินิเกมจาก Pokemon Soulsilver:

ลองนึกภาพมี 15 ระเบิดซ่อนอยู่ในพื้นที่ 5x6 นี้ (แก้ไข: สูงสุด 1 ระเบิด / เซลล์):

ทีนี้คุณจะประเมินความน่าจะเป็นในการหาลูกระเบิดในสนามที่ระบุโดยรวมของแถว / คอลัมน์อย่างไร

หากคุณดูที่คอลัมน์ 5 (จำนวนระเบิดทั้งหมด = 5) คุณอาจคิดว่า: ภายในคอลัมน์นี้โอกาสที่จะพบระเบิดในแถวที่ 2 นั้นเพิ่มเป็นสองเท่าของโอกาสที่จะพบหนึ่งในแถวที่ 1

สมมติฐาน (ผิด) นี้ของสัดส่วนโดยตรงซึ่งโดยทั่วไปสามารถอธิบายได้ว่าเป็นการวาดมาตรฐานการดำเนินการทดสอบอิสระ (เช่นใน Chi-Square) ในบริบทที่ไม่ถูกต้องจะนำไปสู่การประมาณดังต่อไปนี้:

อย่างที่คุณเห็นสัดส่วนโดยตรงจะนำไปสู่การประมาณความน่าจะเป็นมากกว่า 100% และก่อนหน้านั้นจะผิด

ดังนั้นฉันจึงทำการจำลองการคำนวณของพีชคณิตที่เป็นไปได้ทั้งหมดซึ่งนำไปสู่ ​​276 ความเป็นไปได้ที่ไม่ซ้ำกันของการวางระเบิด 15 ครั้ง (ผลรวมของแถวและคอลัมน์ที่กำหนด)

นี่คือค่าเฉลี่ยของโซลูชัน 276 รายการ:

นี่เป็นวิธีแก้ไขที่ถูกต้อง แต่เนื่องจากงานคำนวณเลขชี้กำลังฉันต้องการค้นหาวิธีการประมาณค่า

คำถามของฉันคือตอนนี้: มีวิธีการทางสถิติที่จัดตั้งขึ้นเพื่อประเมินสิ่งนี้หรือไม่? ฉันสงสัยว่านี่เป็นปัญหาที่ทราบแล้วมันถูกเรียกอย่างไรและหากมีเอกสาร / เว็บไซต์ที่คุณสามารถแนะนำได้!

พื้นที่การแก้ปัญหา (การกำหนดค่าระเบิดที่ถูกต้อง) สามารถดูได้เป็นชุดของกราฟสองฝ่ายที่มีลำดับองศาที่กำหนด (ตารางเป็นเมทริกซ์ biadjacency) การสร้างการกระจายแบบสม่ำเสมอบนพื้นที่นั้นสามารถเข้าถึงได้โดยใช้วิธีมาร์คอฟเชนมอนติคาร์โล (MCMC): วิธีแก้ปัญหาทุกอย่างสามารถหาได้จากที่อื่นโดยใช้ลำดับของ "สวิตช์" ซึ่งในสูตรปริศนาของคุณ ดูเหมือน:

$$\begin{pmatrix} x & - \\ - & x \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} - & x \\ x & - \end{pmatrix}$$

ได้รับการพิสูจน์แล้วว่ามีคุณสมบัติการผสมที่รวดเร็ว ดังนั้นเริ่มต้นด้วยการกำหนดค่าที่ถูกต้องและการตั้งค่า MCMC ที่ทำงานอยู่ครู่หนึ่งคุณควรจะจบลงด้วยการประมาณของการแจกแจงแบบสม่ำเสมอบนโซลูชันซึ่งคุณสามารถหาค่าเฉลี่ยความน่าจะเป็นที่คุณต้องการ

ฉันคุ้นเคยกับวิธีการเหล่านี้และแง่มุมการคำนวณของพวกเขาเท่านั้น แต่อย่างน้อยที่สุดคุณก็หลีกเลี่ยงการแจกแจงวิธีแก้ปัญหาใด ๆ

เริ่มต้นวรรณกรรมที่หัวข้อ:
https://faculty.math.illinois.edu/~mlavrov/seminar/2018-erdos.pdf
https://arxiv.org/pdf/1701.07101.pdf
https: // www tandfonline.com/doi/abs/10.1198/016214504000001303

ไม่มีทางออกที่ไม่ซ้ำใคร

ฉันไม่คิดว่าการกระจายความน่าจะเป็นแบบไม่ต่อเนื่องที่แท้จริงสามารถกู้คืนได้เว้นแต่คุณจะตั้งสมมติฐานเพิ่มเติม สถานการณ์ของคุณนั้นเป็นปัญหาของการกู้คืนการกระจายข้อต่อจากระยะขอบ บางครั้งก็แก้ไขได้โดยใช้copulasในอุตสาหกรรมเช่นการจัดการความเสี่ยงทางการเงิน แต่มักจะกระจายอย่างต่อเนื่อง

สถานะเป็นอิสระ AS 205

ในปัญหาการปรากฏตัวไม่อนุญาตให้มีการระเบิดมากกว่าหนึ่งครั้งในเซลล์ อีกครั้งสำหรับกรณีพิเศษของความเป็นอิสระมีวิธีการคำนวณที่มีประสิทธิภาพค่อนข้าง

หากคุณรู้จัก FORTRAN คุณสามารถใช้รหัสนี้ที่ใช้ AS 205 อัลกอริทึม: Ian Saunders, Algorithm AS 205: การนับตาราง R x C ด้วยจำนวนแถวซ้ำ, สถิติประยุกต์ปริมาณ 33, หมายเลข 3, 1984, หน้า 340-352 มันเกี่ยวข้องกับ algo ของ Panefield ที่ @Glen_B อ้างถึง

อัลโกนี้จะแจกแจงตารางการแสดงตนทั้งหมดเช่นผ่านตารางที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่มีระเบิดเพียงนัดเดียว นอกจากนี้ยังคำนวณหลายหลากเช่นตารางหลายตารางที่มีลักษณะเหมือนกันและคำนวณความน่าจะเป็นบางอย่าง (ไม่ใช่ที่คุณสนใจ) ด้วยอัลกอริทึมนี้คุณอาจสามารถเรียกใช้การแจงนับที่สมบูรณ์เร็วกว่าที่คุณเคยทำได้

ไม่ปรากฏตัว

อัลกอริทึม AS 205 สามารถนำไปใช้กับกรณีที่แถวและคอลัมน์ไม่เป็นอิสระ ในกรณีนี้คุณจะต้องใช้น้ำหนักต่างกันในแต่ละตารางที่สร้างโดยตรรกะการแจงนับ น้ำหนักจะขึ้นอยู่กับกระบวนการวางระเบิด

นับเป็นอิสระ

นับปัญหาช่วยให้มากกว่าหนึ่งระเบิดวางไว้ในมือถือของหลักสูตร กรณีพิเศษของแถวและคอลัมน์อิสระของปัญหาการนับเป็นเรื่องง่าย: โดยที่และเป็นระยะขอบของแถวและคอลัมน์ ยกตัวอย่างเช่นแถวและคอลัมน์จึงน่าจะเป็นที่ระเบิดอยู่ในแถวที่ 6 และคอลัมน์ 3 เป็นP_6คุณสร้างการกระจายตัวนี้ในตารางแรกของคุณ$P_i^j=P_i\times P^j$$P_i$$P^j$$P_6=3/15=0.2$$P^3=3/15=0.2$$P_6^3=0.04$

นับ, ไม่เป็นอิสระ, ไม่ต่อเนื่อง

เพื่อแก้ปัญหาการนับที่แถวและคอลัมน์ไม่เป็นอิสระเราสามารถใช้ copulas แบบแยก พวกเขามีปัญหา: พวกเขาไม่ซ้ำกัน มันไม่ได้ทำให้พวกเขาไร้ประโยชน์แม้ว่า ดังนั้นฉันจะลองใช้ copulas แบบแยก คุณสามารถหาภาพรวมที่ดีของพวกเขาในGenest, C. และ J. Nešlehová (2007) ไพรเมอร์บน copulas สำหรับการนับข้อมูล Astin Bull 37 (2), 475–515

Copulas มีประโยชน์อย่างยิ่งเนื่องจากมักอนุญาตให้มีการพึ่งพาอาศัยกันอย่างชัดเจนหรือประเมินจากข้อมูลเมื่อมีข้อมูล ฉันหมายถึงการพึ่งพาของแถวและคอลัมน์เมื่อวางระเบิด ตัวอย่างเช่นอาจเป็นกรณีที่หากการวางระเบิดเป็นหนึ่งในแถวแรกก็มีแนวโน้มว่าจะเป็นหนึ่งในคอลัมน์แรกเช่นกัน

ตัวอย่าง

ลองใช้ Kimeldorf และ Sampson copula กับข้อมูลของคุณโดยสมมติอีกครั้งว่าสามารถวางระเบิดได้มากกว่าหนึ่งอันในเซลล์ copula สำหรับพารามิเตอร์การพึ่งพาถูกกำหนดเป็น: คุณสามารถคิดถึงเป็นแอนะล็อกของสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์$\theta$

$$C(u,v)=(u^{-\theta}+u^{-\theta}-1)^{-1/\theta}$$ $\theta$

อิสระ

เริ่มจากกรณีของการพึ่งพาที่อ่อนแอโดยที่เรามีความน่าจะเป็นต่อไปนี้ (PMF) และ PDF ส่วนเพิ่มจะแสดงบนพาเนลด้านขวาและด้านล่าง:$\theta=0.000001$

คุณสามารถดูได้ว่าในคอลัมน์ 5 ความน่าจะเป็นของแถวที่สองมีความน่าจะเป็นที่สูงกว่าสองเท่าในแถวแรกอย่างไร ไม่ผิดกับสิ่งที่คุณดูเหมือนจะบอกเป็นนัยในคำถามของคุณ ความน่าจะเป็นทั้งหมดนั้นเพิ่มขึ้น 100% แน่นอนว่าระยะขอบบนแผงตรงกับความถี่ ตัวอย่างเช่นคอลัมน์ 5 ในแผงด้านล่างแสดง 1/3 ซึ่งสอดคล้องกับ 5 ระเบิดระบุจากทั้งหมด 15 ตามที่คาดไว้

ความสัมพันธ์เชิงบวก

สำหรับการพึ่งพาที่แข็งแกร่ง (ความสัมพันธ์เชิงบวก) กับเรามีดังต่อไปนี้:$\theta=10$

สหสัมพันธ์เชิงลบ

เหมือนกันสำหรับความสัมพันธ์ที่แข็งแกร่ง แต่เชิงลบ (การพึ่งพา) :$\theta=-0.2$

คุณจะเห็นว่าความน่าจะเป็นทั้งหมดเพิ่มขึ้น 100% แน่นอน นอกจากนี้คุณสามารถดูว่าการพึ่งพามีผลต่อรูปร่างของ PMF อย่างไร สำหรับการพึ่งพาเชิงบวก (สหสัมพันธ์) คุณจะได้รับ PMF สูงสุดที่มุ่งเน้นไปที่เส้นทแยงมุมในขณะที่การพึ่งพาเชิงลบมันจะเป็นแนวทแยงมุม

คำถามของคุณไม่ได้ทำให้ชัดเจน แต่ฉันจะสมมติว่าการกระจายระเบิดครั้งแรกผ่านการสุ่มตัวอย่างอย่างง่ายโดยไม่ต้องแทนที่เซลล์ (เซลล์จึงไม่สามารถมีระเบิดมากกว่าหนึ่ง) คำถามที่คุณยกขึ้นเป็นหลักขอให้การพัฒนาวิธีการประมาณค่าสำหรับการแจกแจงความน่าจะเป็นที่สามารถคำนวณได้อย่างแน่นอน (ในทางทฤษฎี) แต่กลายเป็นไปไม่ได้ที่จะคำนวณเพื่อคำนวณค่าพารามิเตอร์ขนาดใหญ่

---

มีวิธีการแก้ปัญหาที่แน่นอน แต่มีความเข้มข้นในการคำนวณ

เมื่อคุณชี้ให้เห็นในคำถามของคุณเป็นไปได้ที่คุณจะทำการค้นหาเพื่อคำนวณการจัดสรรที่เป็นไปได้ทั้งหมดเพื่อระบุการจัดสรรที่ตรงกับผลรวมของแถวและคอลัมน์ เราสามารถดำเนินการอย่างเป็นทางการดังนี้ สมมติว่าเรากำลังติดต่อกับกริดและเราจัดสรร bombs ผ่านการสุ่มตัวอย่างแบบง่ายโดยไม่มีการแทนที่ (ดังนั้นแต่ละเซลล์ไม่สามารถมีระเบิดมากกว่าหนึ่งตัว)$n \times m$$b$

ปล่อยเป็นเวกเตอร์ของตัวบ่งชี้ตัวแปรที่ระบุว่ามีระเบิดอยู่ในแต่ละเซลล์หรือไม่และให้แสดงถึงเวกเตอร์ที่สอดคล้องกันของผลรวมของแถวและคอลัมน์ กำหนดฟังก์ชั่นซึ่งแม็พจากเวกเตอร์การจัดสรรไปยังผลรวมของแถวและคอลัมน์$\mathbf{x} = (x_1,...,x_{nm})$$\mathbf{s} = (r_1, ..., r_n, c_1, ..., c_m)$$S: \mathbf{x} \mapsto \mathbf{s}$

เป้าหมายคือการหาความน่าจะเป็นของเวกเตอร์การจัดสรรแต่ละเงื่อนไขตามความรู้ของผลรวมของแถวและคอลัมน์ ภายใต้การสุ่มตัวอย่างแบบง่ายเรามีดังนั้นความน่าจะเป็นตามเงื่อนไขที่น่าสนใจคือ:$\mathbb{P}(\mathbf{x}) \propto 1$

$$\begin{equation} \begin{aligned} \mathbb{P}(\mathbf{x} | \mathbf{s}) = \frac{\mathbb{P}(\mathbf{x}, \mathbf{s})}{\mathbb{P}(\mathbf{s})} &= \frac{\mathbb{P}(\mathbf{x}) \cdot \mathbb{I}(S(\mathbf{x}) = \mathbf{s})}{\sum_\mathbf{x} \mathbb{P}(\mathbf{x}) \cdot \mathbb{I}(S(\mathbf{x}) = \mathbf{s})} \\[6pt] &= \frac{\mathbb{I}(S(\mathbf{x}) = \mathbf{s})}{\sum_\mathbf{x} \mathbb{I}(S(\mathbf{x}) = \mathbf{s})} \\[6pt] &= \frac{1}{|\mathscr{X}_\mathbf{s}|} \cdot \mathbb{I}(S(\mathbf{x}) = \mathbf{s}) \\[6pt] &= \text{U}(\mathbf{x} | \mathscr{X}_\mathbf{s}), \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

โดยที่คือชุดของทุกพาหะจัดสรรเข้ากันได้กับเวกเตอร์{s} นี่แสดงให้เห็นว่า (ภายใต้การสุ่มตัวอย่างอย่างง่าย ๆ ของระเบิด) เรามี{s}) นั่นคือการแจกแจงแบบมีเงื่อนไขของเวกเตอร์การจัดสรรสำหรับระเบิดนั้นเหมือนกันกับชุดของเวกเตอร์การจัดสรรทั้งหมดที่เข้ากันได้กับผลรวมของแถวและคอลัมน์ที่สังเกตได้ ความน่าจะเป็นที่เกิดจากการระเบิดในเซลล์ที่กำหนดนั้นสามารถได้มาโดยการทำให้เกิดการกระจัดกระจายของการกระจายข้อต่อ:$\mathscr{X}_\mathbf{s} \equiv \{ \mathbf{x} \in \{ 0, 1\}^{nm} | S(\mathbf{x}) = \mathbf{s} \}$$\mathbf{s}$$\mathbf{x} | \mathbf{s} \sim \text{U}(\mathscr{X}_\mathbf{s})$

$$\begin{equation} \begin{aligned} \mathbb{P}(x_{ij} = 1 | \mathbf{s}) = \sum_{\mathbf{x}: x_{ij} = 1} \text{U}(\mathbf{x} | \mathscr{X}_\mathbf{s}) = \frac{|\mathscr{X}_{ij} \cap \mathscr{X}_\mathbf{s}|}{|\mathscr{X}_\mathbf{s}|}. \end{aligned} \end{equation}$$

โดยที่คือชุดของเวกเตอร์การจัดสรรทั้งหมดที่มีระเบิดในเซลล์ในคอลัมน์ th และ th ตอนนี้ในปัญหาเฉพาะของคุณคุณได้คำนวณ setและพบว่าดังนั้นความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเวกเตอร์การจัดสรรจะเหมือนกันกับชุดการจัดสรรที่คุณคำนวณ (สมมติว่าคุณทำอย่างถูกต้อง) นี่เป็นการแก้ไขปัญหาที่แน่นอน อย่างไรก็ตามมันมีความเข้มข้นในการคำนวณเพื่อคำนวณ setและดังนั้นการคำนวณของวิธีนี้อาจกลายเป็นไปไม่ได้เมื่อ ,$\mathscr{X}_{ij} \equiv \{ \mathbf{x} \in \{ 0, 1\}^{nm} | x_{ij} = 1 \}$$i$$j$$\mathscr{X}_\mathbf{s}$$|\mathscr{X}_\mathbf{s}| = 276$$\mathscr{X}_\mathbf{s}$$n$$m$หรือกลายเป็นใหญ่ขึ้น$b$

---

ค้นหาวิธีการประมาณที่ดี

ในกรณีที่เป็นไปไม่ได้ที่จะคำนวณ setคุณต้องการประเมินความน่าจะเป็นของการระเบิดที่อยู่ในเซลล์ใด ๆ ฉันไม่ได้ตระหนักถึงการวิจัยใด ๆ ที่มีอยู่ซึ่งให้วิธีการประมาณค่าสำหรับปัญหานี้ดังนั้นคุณจะต้องพัฒนาตัวประมาณค่าที่เป็นไปได้บางอย่างแล้วทดสอบการทำงานกับโซลูชันที่แน่นอนโดยใช้แบบจำลองคอมพิวเตอร์ เป็นไปได้$\mathscr{X}_\mathbf{s}$

ตัวประมาณเชิงประจักษ์ที่ไร้เดียงสา:ตัวประมาณที่คุณเสนอและใช้ในตารางสีเขียวของคุณคือ:

$$\hat{\mathbb{P}}(x_{ij} = 1 | \mathbf{s}) = \frac{r_i}{b} \cdot \frac{c_j}{b} \cdot b = \frac{r_i \cdot c_j}{b}.$$

วิธีการประมาณค่านี้ปฏิบัติต่อแถวและคอลัมน์อย่างอิสระและประมาณความน่าจะเป็นของระเบิดในแถว / คอลัมน์หนึ่งโดยความถี่ที่สัมพันธ์กันในผลรวมของแถวและคอลัมน์ มันเป็นเรื่องง่ายที่จะสร้างที่ว่านี้จำนวนเงินประมาณการเพื่อมากกว่าเซลล์ทั้งหมดที่คุณต้องการ น่าเสียดายที่มันมีข้อเสียเปรียบหลักที่สามารถให้ความน่าจะเป็นที่ประมาณไว้ข้างต้นได้ในบางกรณี นั่นคือคุณสมบัติที่ไม่ดีสำหรับตัวประมาณ$b$