อะไรคือลักษณะที่น่าแปลกใจที่สุดของการแจกแจงแบบเกาส์ (ปกติ)?

52

การแจกแจงแบบเกาส์มาตรฐานบนสามารถกำหนดได้โดยให้ความหนาแน่นอย่างชัดเจน: $\mathbb{R}$

\frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- x^{2} / 2}

$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$

หรือฟังก์ชั่นลักษณะของมัน

ตามที่นึกไว้ในคำถามนี้มันก็เป็นเพียงการแจกแจงที่ค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนตัวอย่างเป็นอิสระ

อะไรคือคุณสมบัติทางเลือกที่น่าแปลกใจอื่น ๆ ของ Gaussian ที่คุณรู้ ฉันจะยอมรับคำตอบที่น่าประหลาดใจที่สุด

— robin girard
แหล่งที่มา

39

ส่วนบุคคลที่น่าประหลาดใจที่สุดของฉันคือสิ่งที่เกี่ยวกับค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนตัวอย่าง แต่นี่เป็นอีกลักษณะที่น่าแปลกใจ: ถ้าและเป็น IID ที่มีความแปรปรวนแน่นอนที่มีและอิสระแล้วและเป็นปกติ $X$ $Y$ $X+Y$ $X-Y$ $X$ $Y$

โดยทั่วไปเราสามารถระบุได้ว่าเมื่อใดที่ตัวแปรไม่ได้เป็นอิสระกับสแกตเตอร์แปลง ดังนั้นลองจินตนาการว่ามีสแกตเทอร์ล็อตของคู่ที่ดูเป็นอิสระ ทีนี้หมุนไปตาม 45 องศาแล้วดูอีกครั้ง: ถ้ามันยังดูเป็นอิสระอยู่พิกัดและทีละตัวต้องเป็นปกติ $(X,Y)$ $X$ $Y$

หากต้องการดูว่าทำไมบิตที่ใช้งานง่ายนั้นลองดู

[\begin{array}{cc} \cos 45^{\circ} & - \sin 45^{\circ} \\ \sin 45^{\circ} & \cos 45^{\circ} \end{array}] [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}] = \frac{1}{\sqrt{2}} [\begin{matrix} x - y \\ x + y \end{matrix}]

$\left[ \begin{array}{cc} \cos45^{\circ} & -\sin45^{\circ} \newline \sin45^{\circ} & \cos45^{\circ} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} x \newline y \end{array} \right]= \frac{1}{\sqrt{2}} \left[ \begin{array}{c} x-y \newline x+y \end{array} \right]$

— user1108
แหล่งที่มา

3

เจย์ - นี่เป็นคำแถลงใหม่เกี่ยวกับค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนที่เป็นอิสระ เป็นค่าเฉลี่ยที่ปรับขนาดใหม่และเป็นค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานที่ปรับลดได้

X + Y

$X+Y$

X - Y

$X-Y$

— ความน่าจะเป็นทางการ

5

@probabilityislogic - ฉันชอบสัญชาตญาณของสิ่งที่คุณพูด แต่ฉันไม่คิดว่ามันเป็นการกล่าวซ้ำเพราะไม่ใช่การลดขนาด SD: SD ลืมสัญญาณ ดังนั้นความเป็นอิสระของค่าเฉลี่ยและ SD จะตามมาจากความเป็นอิสระของ , (เมื่อ ) แต่ไม่ใช่วิธีอื่น ๆ นั่นอาจเป็นสิ่งที่คุณหมายถึงโดยพื้นฐานแล้ว อย่างไรก็ตามมันเป็นสิ่งที่ดี

X - Y

$X - Y$

X + Y

$X+Y$

X - Y

$X-Y$

n = 2

$n = 2$

4

เราจะหาหลักฐานสำหรับอสังหาริมทรัพย์นี้ได้ที่ไหน?

— Royi

1

@Royi ดู 16. ที่นี่ สำหรับ (a) ทราบว่า(XY) สำหรับ (b) โปรดทราบว่าซึ่งปรารถนาการทดแทนจากการที่คุณจะได้รับn}) หากแล้ว ดังนั้นสำหรับทุก ,และมีลำดับดังกล่าวว่าและสำหรับทั้งหมดซึ่งขัดแย้งกับความต่อเนื่องของที่

2 X = (X + Y) + (X - Y)

$2X=(X+Y)+(X-Y)$

φ (2 t) φ (- 2 t) = (φ (t) φ (- t))^{4}

$\varphi(2t)\varphi(-2t)=(\varphi(t)\varphi(-t))^4$

ψ (t) = φ (t) φ (- t)

$\psi(t)=\varphi(t)\varphi(-t)$

ψ (t) = ψ^{2^{2 n}} (\frac{t}{2^{n}})

$\psi(t)=\psi^{2^{2n}}(\frac{t}{2^n})$

φ (t_{0}) = 0

$\varphi(t_0)=0$

ψ (t_{0}) = 0

$\psi(t_0)=0$

n

$n$

ψ (\frac{t_{0}}{2^{n}}) = 0

$\psi(\frac{t_0}{2^n})=0$

t_{n}

$t_n$

t_{n} \to 0

$t_n\to 0$

φ (t_{n}) = 0

$\varphi(t_n)=0$

n

$n$

φ

$\varphi$

0

$0$ . (c) ตรงไปตรงมา [ต่อ]

— Gabriel Romon

1

สำหรับ (d)n}) โปรดทราบว่าจึง2) เสียบนี้ในความเท่าเทียมกันก่อนหน้านี้และพิสูจน์ว่าสำหรับการแก้ไข ,ซึ่งหมายถึงสำหรับทุกเสื้อนี่หมายความว่าเป็นจริงและความเท่าเทียมกันใน (a) กลายเป็นสิ่งที่ถูกถาม พิสูจน์อีกครั้งว่าและใช้ที่จะได้รับ2/2} ดังนั้นและ

γ (t) = γ^{2^{n}} (\frac{t}{2^{n}})

$\gamma(t)=\gamma^{2^n}(\frac{t}{2^n})$

φ (t) = 1 - \frac{t^{2}}{2} + o (t^{2})

$\varphi(t)=1-\frac{t^2}2+o(t^2)$

γ (t) = 1 + o (t^{2})

$\gamma(t)=1+o(t^2)$

t

$t$

lim_{n} γ^{2^{n}} (\frac{t}{2^{n}}) = 1

$\lim_n \gamma^{2^n}(\frac{t}{2^n}) = 1$

γ (t) = 1

$\gamma(t)=1$

t

$t$

φ

$\varphi$

φ (t) = φ^{2^{2 n}} (\frac{t}{2^{n}})

$\varphi(t)=\varphi^{2^{2n}}(\frac{t}{2^n})$

φ (t) = 1 - \frac{t^{2}}{2} + o (t^{2})

$\varphi(t)=1-\frac{t^2}2+o(t^2)$

lim_{n} φ^{2^{2 n}} (\frac{t}{2^{n}}) = e^{- t^{2} / 2}

$\lim_n \varphi^{2^{2n}}(\frac{t}{2^n}) = e^{-t^2/2}$

φ (t) = e^{- t^{2} / 2}

$\varphi(t)=e^{-t^2/2}$

X

$X$ เป็นเรื่องปกติ

— Gabriel Romon

27

การกระจายอย่างต่อเนื่องกับความแปรปรวนคงที่ซึ่งทำให้เอนโทรปีต่างกันสูงสุดคือการแจกแจงแบบเกาส์

— shabbychef
แหล่งที่มา

22

มีหนังสือทั้งเล่มที่เขียนเกี่ยวกับเรื่องนี้: "ลักษณะของกฎความน่าจะเป็นปกติ", AM Mathai & G. Perderzoli บทวิจารณ์สั้น ๆ ในJASA (ธันวาคม 1978)กล่าวถึงสิ่งต่อไปนี้:

ให้เป็นตัวแปรสุ่มอิสระ ดังนั้นและมีความเป็นอิสระโดยที่ถ้าหาก [กระจาย] เป็นปกติ $X_1, \ldots, X_n$ $\sum_{i=1}^n{a_i x_i}$ $\sum_{i=1}^n{b_i x_i}$ $a_i b_i \ne 0$ $X_i$

— whuber
แหล่งที่มา

3

จะต้องมีเงื่อนไขเช่นขาดหายไปหรือไม่ ตัวอย่างเช่นหาก n = 2 และไม่เป็นอิสระ

< a, b >= 0

$<a,b>=0$

a_{i} = b_{i} = 1

$a_i=b_i=1$

X_{1} + X_{2}

$X_1+X_2$

X_{1} + X_{2}

$X_1+X_2$

— robin girard

1

@ robin จับได้ดี ฉันก็งงกับปริมาณที่แน่นอนเช่นกัน น่าเสียดายที่ฉันมีสิทธิ์เข้าถึงคือใบเสนอราคา (titillating) จากการตรวจสอบไม่ใช่หนังสือ มันจะสนุกถ้าได้เจอมันในห้องสมุดและดูมัน ...

— whuber

นี่เป็นความเห็นทั่วไปของคำตอบของ G. Jay Kerns (ปัจจุบัน # 1)

— vqv

ฉันคิดว่าคุณอาจมองหากระดาษ Lukacs & King (1954) ดูคำตอบนี้ได้ที่ math.SEพร้อมลิงค์ไปยังเอกสารข้างต้น

— พระคาร์ดินัล

2

ข้อเสนอนี้กล่าวว่า "โดยที่ " หมายความว่าสำหรับ scalars ทุกชุดที่ "หรือไม่ฉันเกลียดการดู" ที่ "ใช้แทน" สำหรับทุกคน "หรือ" สำหรับบางคน " ที่ไหน "ควรใช้เพื่ออธิบายสัญกรณ์ของคนเช่นเดียวกับใน" ที่คือความเร็วของแสงและเป็นผลิตภัณฑ์มวลรวมภายในประเทศ "ฯลฯ

a_{i} b_{i} \neq 0

$a_i b_i\ne 0$

a_{i} b_{i} \neq 0

$a_i b_i \ne 0$

c

$c$

g

$g$

— Michael Hardy

17

การแจกแจงแบบเกาส์เป็นดิสทริบิวชันผลรวมที่มีความผันแปร จำกัด เพียงอย่างเดียว

— shabbychef
แหล่งที่มา

8

ว่าพวกเขามีความมั่นคงรวมและพวกเขาเป็นคนที่ไม่ซ้ำกับความแปรปรวน จำกัด ทั้ง CLT ส่วนที่น่าสนใจของการยืนยันนี้คือมีการแจกแจงผลรวมที่มีเสถียรภาพอื่น ๆ !

— whuber

1

@whuber: แน่นอน! การจำแนกลักษณะนี้ค่อนข้างบิดเบี้ยวและการแจกแจงผลรวมความเสถียรอื่น ๆ อาจจะอยากรู้อยากเห็นมากกว่านี้

— shabbychef

@ จริงแล้วฉันไม่เห็นว่า CLT มีความหมายอย่างไร ดูเหมือนว่าจะบอกเราเท่านั้นว่าasymptoticallyผลรวมของบรรทัดฐานเป็นเรื่องปกติไม่ใช่ว่าผลรวม จำกัด ใด ๆ จะกระจายตามปกติ หรือคุณต้องใช้ทฤษฎีบทของ Slutsky ด้วยเช่นกัน?

— shabbychef

3

การนำมาตรฐานปกติมาใช้ผลรวมของสองบรรทัดฐานคือผลรวมของการแจกแจงปกติหนึ่ง X_0 บวกการ จำกัด การกระจายของชุด X_1, X_2, ... ดังนั้นผลรวมคือการกระจายที่ จำกัด ของ X_0, X_1, ... ซึ่ง โดย Lindeberg-Levy CLT เป็นเรื่องปกติ

— whuber

17

สไตน์เลมม่ามีคุณสมบัติที่มีประโยชน์มาก เป็นมาตรฐานแบบเกาส์ iff สำหรับฟังก์ชั่นต่อเนื่องทุกอย่างกับ<\ $Z$

E f^{'} (Z) = E Z f (Z)

$E f’(Z) = E Z f(Z)$

f

$f$

E | f^{'} (Z) | < \infty

$E|f’(Z)| < \infty$

— vqv
แหล่งที่มา

12

ทฤษฎีบท [เฮอร์เชล - แม็กซ์เวลล์]:ปล่อยเป็นเวกเตอร์สุ่มที่ (i) การคาดการณ์ในฉากย่อย orthogonal เป็นอิสระและ (ii) การกระจายของขึ้นอยู่กับความยาว. จากนั้นจะกระจายตัวตามปกติ $Z \in \mathbb{R}^n$ $Z$ $\|Z\|$ $Z$

อ้างถึงโดย George Cobb ในสถิติการสอน: ความตึงเครียดที่สำคัญบางอย่าง (Chilean J. Statistics Vol. 2, No. 1, April 2011) at p. 54

Cobb ใช้คุณลักษณะนี้เป็นจุดเริ่มต้นสำหรับการหา , , และการแจกแจงแบบโดยไม่ต้องใช้แคลคูลัส (หรือทฤษฎีความน่าจะเป็นมาก) $\chi^2$ $t$ $F$

— whuber
แหล่งที่มา

9

ให้และเป็นสองตัวแปรสุ่มอิสระที่มีการแจกแจงแบบสมมาตรทั่วไปเช่นนั้น $\eta$ $\xi$

P (| \frac{ξ + η}{\sqrt{2}} | \geq t) \leq P (| ξ | \geq t) .

$P\left ( \left |\frac{\xi+\eta}{\sqrt{2}}\right | \geq t \right )\leq P(|\xi|\geq t).$

จากนั้นตัวแปรสุ่มเหล่านี้คือ Gaussian (เห็นได้ชัดว่าถ้าและอยู่กึ่งกลาง gaussian มันเป็นเรื่องจริง) $\xi$ $\eta$

นี่คือทฤษฎีบทของ Bobkov-Houdre

— robin girard
แหล่งที่มา

9

นี่ไม่ใช่ลักษณะเฉพาะ แต่เป็นการคาดเดาซึ่งมีอายุย้อนกลับไปตั้งแต่ปี 2460 และเกิดจาก Cantelli:

ถ้าเป็นฟังก์ชันบวกบนและและเป็นตัวแปรสุ่มอิสระเช่นเป็นเรื่องปกติแล้วเป็นค่าคงที่เกือบทุกที่ $f$ $\mathbb{R}$ $X$ $Y$ $N(0,1)$ $X+f(X)Y$ $f$

กล่าวโดยGérard Letac ที่นี่

— ได้
แหล่งที่มา

มันเป็นเรื่องดีที่คุณพูดถึงมัน! ฉันไม่เข้าใจปรีชาใช่ไหม

— robin girard

@robin นี่คือสิ่งที่ทำให้การคาดเดานี้เป็นพิเศษ: คำแถลงเบื้องต้นที่สมบูรณ์แนวทางที่ชัดเจนซึ่งล้มเหลวอย่างน่าสังเวช (ฟังก์ชั่นลักษณะ) และอีกวิธีหนึ่งที่เหลืออยู่โดยไม่มีอะไรที่จะเข้าใจ ... หรือเท็จ? แม้จะไม่ชัดเจน (สำหรับฉัน)

— ทำ

2

ถ้าGérard Letac ไม่สามารถพิสูจน์ได้มันคงเป็นการคาดเดาที่เปิดอยู่พักหนึ่ง ... !

— ซีอาน

@ ซีอาน: ฉันเห็นด้วยอย่างแน่นอน (ไม่ทราบว่าคุณกำลังใช้บริการโรมมิ่งในไตรมาสนี้ของเว็บ ... ข่าวดีว่าคุณมี.)

— Did

6

@ ซีอานนี่คือตัวอย่างก่อนพิมพ์โดย Victor Kleptsyn และ Aline Kurtzmann ที่มีตัวอย่างของการคาดคะเน Cantelli การก่อสร้างใช้เป็นเครื่องมือใหม่ที่ผู้เขียนเรียกขนส่งมวลชน Brownian และมีผลเป็นฟังก์ชั่นต่อเนื่องฉผู้เขียนระบุว่าพวกเขาเชื่อว่าการคาดคะเนของ Cantelli จะถือเอาไว้ถ้ามีคนถามว่าเป็นแบบต่อเนื่อง

f

$f$

f

$f$

— ทำ

8

สมมติว่าหนึ่งคือการประมาณพารามิเตอร์สถานที่โดยใช้ข้อมูล IID\} ถ้าเป็นตัวประมาณความเป็นไปได้สูงสุดการกระจายตัวตัวอย่างคือ Gaussian ตามทฤษฎีความน่าจะเป็นของเจย์เนส: ตรรกะของวิทยาศาสตร์หน้า 202-4 นี่คือวิธีที่เกาส์ได้รับมันมา $\{x_1,...,x_n\}$ $\bar{x}$

— สีฟ้า
แหล่งที่มา

ฉันไม่แน่ใจว่าฉันเข้าใจสิ่งนี้เป็นลักษณะของการแจกแจงแบบปกติดังนั้นฉันอาจจะพลาดอะไรบางอย่างไป เกิดอะไรขึ้นถ้าเรามีข้อมูล IID Poisson และต้องการที่จะประเมิน ? MLE คือแต่การกระจายตัวตัวอย่างของไม่ใช่ Gaussian - ประการแรกจะต้องมีเหตุผล; ประการที่สองถ้าเป็นแบบเกาส์จึงจะแต่ที่MU)

μ

$\mu$

\bar{x}

$\bar{x}$

\bar{x}

$\bar{x}$

\bar{x}

$\bar{x}$

\sum x_{i}

$\sum{x_i}$

Poisson (n μ)

$\text{Poisson}(n\mu)$

— Silverfish

2

ค่าเฉลี่ยของปัวซองนั้นไม่ใช่พารามิเตอร์ตำแหน่ง!

— kjetil b halvorsen

6

ลักษณะเฉพาะมากขึ้นของการกระจายปกติในหมู่ระดับของการหารเพียบกระจายจะนำเสนอในSteutel และรถตู้ในหาน (2004)

ตัวแปรสุ่มแบบสุ่มที่ไม่เสื่อมโทรมที่ไม่มีการแบ่งมีการแจกแจงแบบปกติหากว่าเป็นไปตาม $X$
$- \underset{x \to \infty}{lim sup} \frac{\log P (| X | > x)}{x \log (x)} = \infty .$ $-\limsup_{x\rightarrow\infty}\dfrac{\log{\mathbb P}(\vert X\vert>x)}{x\log(x)}=\infty.$

ผลลัพธ์นี้เป็นลักษณะการแจกแจงแบบปกติในแง่ของพฤติกรรมหาง

— user10525
แหล่งที่มา

1

หลักฐานสั้น ๆ ของข้อ จำกัด ที่ระบุมีดังนี้: ถ้าเป็นมาตรฐานปกติแล้วเป็นดังนั้น0 แต่และดังนั้นผลลัพธ์จึงตามมา ร่างคร่าวๆของปัวซองดูเหมือนจะบ่งบอกว่าขีด จำกัด ที่กำหนดคือแต่ฉันไม่ได้ตรวจสอบอย่างใกล้ชิดเกินไป

X

$X$

x P (X > x) / φ (x) \to 1

$x \mathbb P(X>x)/\varphi(x)\to 1$

x \to \infty

$x\to \infty$

\log P (X > x) - \log φ (x) + \log x \to 0

$\log\mathbb P(X>x)−\log \varphi(x) + \log x \to 0$

2 \log φ (x) \sim - x^{2}

$2 \log \varphi(x) \sim −x^2$

λ

$\lambda$

— พระคาร์ดินัล

6

ในบริบทของการปรับภาพให้เรียบ (เช่นพื้นที่สเกล ) เกาส์เซียนเป็นเคอร์เนล * ที่แยกได้แบบสมมาตร

นั่นคือถ้าเราต้องการ โดยที่ดังนั้นความสมมาตรในการหมุนจึงต้อง ซึ่งเทียบเท่ากับ\

F [x, y] = f [x] f [y]

$F[x,y]=f[x]f[y]$

[x, y] = r [\cos θ, \sin θ]

$[x,y]=r[\cos\theta,\sin\theta]$

\begin{aligned} F_{θ} & = f^{'} [x] f [y] x_{θ} + f [x] f^{'} [y] y_{θ} \\ = - f^{'} [x] f [y] y + f [x] f^{'} [y] x = 0 \\ ⟹ \\ \frac{f^{'} [x]}{x f [x]} & = \frac{f^{'} [y]}{y f [y]} = c o n s t . \end{aligned}

$\begin{align} F_\theta &= f'[x]f[y]x_\theta+f[x]f'[y]y_\theta \\ &= -f'[x]f[y]y+f[x]f'[y]x = 0 \\ &\implies \\ \frac{f'[x]}{xf[x]} &= \frac{f'[y]}{yf[y]} = \mathrm{const.} \end{align}$

\log [f [x]]^{'} = c x

$\log\big[f[x]\big]'=cx$

ต้องการให้เป็นเคอร์เนลที่เหมาะสมจากนั้นต้องการค่าคงที่เป็นค่าลบและค่าเริ่มต้นเป็นค่าบวกโดยให้เคอร์เนล Gaussian $f[x]$

* ในบริบทของการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบแยกได้หมายถึงเป็นอิสระในขณะที่ในบริบทของการกรองภาพจะช่วยให้การลดความซับซ้อนของ 2D ในการคำนวณลดลงไปถึงการโน้มน้าวใจ 1D สองครั้ง

— GeoMatt22
แหล่งที่มา

2

+1 แต่สิ่งนี้ไม่ได้ตามมาจากการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบท Herschel-Maxwellใน 2D ทันทีหรือไม่

— whuber

@whuber แน่นอนฉันพยายามที่จะมองข้ามคำตอบของคุณเมื่อมองผ่านหัวข้อนี้!

— อะมีบาพูดว่า Reinstate Monica

@whuber ใช่ ฉันไม่ได้อ่านรายละเอียดของเธรดเก่าและเพิ่งเพิ่มคำตอบนี้ตามคำขอ

— GeoMatt22

1

@amoeba ดูที่นี่ด้วย

— GeoMatt22

3

เมื่อเร็ว ๆ นี้ Ejsmont [1] บทความที่ตีพิมพ์พร้อมการอธิบายลักษณะของเกาส์เซียนใหม่:

ปล่อยเป็นเวกเตอร์สุ่มอิสระทุกช่วงเวลาโดยที่ นั้นไม่ได้สร้างและให้สถิติ มีการจัดจำหน่ายซึ่งขึ้นอยู่เฉพาะในที่และ<n จากนั้นมีความเป็นอิสระและมีการกระจายปกติเดียวกันกับศูนย์วิธีการและสำหรับ\} $(X_1,\dots, X_m,Y) \textrm{ and } (X_{m+1},\dots,X_n,Z)$ $X_i$ $\sum_{i=1}^na_iX_i+Y+Z$ $\sum_{i=1}^n a_i^2$ $a_i\in \mathbb{R}$ $1\leq m < n$ $X_i$ $cov(X_i,Y)=cov(X_i,Z)=0$ $i\in\{1,\dots,n\}$

[1] Ejsmont, Wiktor "ลักษณะของการแจกแจงแบบปกติโดยความเป็นอิสระของเวกเตอร์สุ่มคู่หนึ่ง" สถิติและความน่าจะเป็นที่จดหมาย 114 (2016): 1-5

— แดเนียล
แหล่งที่มา

1

นั่นเป็นลักษณะที่ละเอียดอ่อนและน่าหลงใหล ขอบคุณสำหรับการปรับปรุงหัวข้อนี้ด้วยการแบ่งปัน!

— whuber

1

ฟังก์ชั่นลักษณะของมันมีรูปแบบเช่นเดียวกับ pdf ฉันไม่แน่ใจเกี่ยวกับการกระจายอื่นซึ่งทำเช่นนั้น

— เจสัน
แหล่งที่มา

4

ดูคำตอบของฉันนี้สำหรับวิธีการสร้างตัวแปรสุ่มที่มีฟังก์ชั่นลักษณะเหมือนกับไฟล์ PDF ของพวกเขา

— Dilip Sarwate

-1

ความคาดหวังบวกลบค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานคือจุดอานของฟังก์ชัน

— Tal Galili
แหล่งที่มา

11

นี่คือคุณสมบัติของการแจกแจงแบบปกติเพื่อให้แน่ใจ แต่ไม่ได้ระบุลักษณะเพราะการกระจายอื่น ๆ มากมายมีคุณสมบัตินี้

— whuber