การกระจายกับ

มีข้อมูลใดบ้างเกี่ยวกับการกระจายที่มีตายสะสมที่ ? ฟังก์ชั่นการสร้าง cumulant เป็นรูปแบบ ฉันพบว่ามันเป็นการ จำกัด การกระจายของตัวแปรสุ่มบางตัว แต่ฉันไม่สามารถค้นหาข้อมูลใด ๆ ได้ $n$ $\frac 1 n$

κ (t) = \int_{0}^{1} \frac{e^{t x} - 1}{x} d x .

$\kappa(t) = \int_0 ^ 1 \frac{e^{tx} - 1}{x} \ dx.$

distributions mgf cumulants

— ผู้ชาย
แหล่งที่มา

ฉันไม่เห็นว่าฟังก์ชันนี้คุณให้ไว้มีคุณสมบัติที่อ้างสิทธิ์! คุณควรทบทวนผลงานของ yoiur การประมาณเลขชี้กำลัง n อินทิกรัลและใกล้กับศูนย์ด้วยอินทิกรัลและใกล้กับศูนย์จะกลายเป็นดังนั้นจึงแตกต่างกัน ดังนั้นอินทิกรัลไม่สามารถแสดงถึงฟังก์ชันสร้างคิวมูแลนท์ได้

κ (t)

$\kappa(t)$

1 + t x

$1+tx$

t / x

$t/x$

— kjetil b halvorsen

@kjetilbhalvorsen ไม่แน่ใจว่าฉันติดตาม ประมาณ

e^{t x}

$e^{tx}$ ด้วย

1 + t x

$1 + tx$ ให้

\frac{t x}{x} = t

$\frac{tx}{x} = t$ สำหรับการรวมกัน นอกจากนี้ตามฟังก์ชันนี้ที่ฉันให้มีอินทิกรัลที่รู้จักในแง่ของไฮเพอร์โบลิกโคไซน์และอินทิกรัลไซน์ แสดงให้เห็นว่า

κ (t)

$\kappa(t)$ มีคุณสมบัติอ้างว่าเพียงแค่ทำซีรีส์เทย์เลอร์เต็มรอบ

0

$0$ สำหรับ

e^{t x}

$e^{tx}$ และผลักดันหนึ่งผ่านไปยังผลรวมจะได้รับชุดเทย์เลอร์

κ (t)

$\kappa(t)$ รอบ0

0

$0$

— ผู้ชาย

sympy กล่าวว่าอินทิกรัลนั้นแตกต่างกัน (ในทางที่ผิดปกติ!) แต่ sympy ต้องผิดฉันเห็นตอนนี้ทดลองกับการรวมตัวเลขและทำงานได้ดี จะลองอีกครั้ง

— kjetil b halvorsen

เมื่อดูที่ผลการ Wolphram alpha จะไม่สามารถแก้ไขได้เช่นกันมันมีขีด จำกัด ที่ไม่เป็นศูนย์เมื่อ t เข้าใกล้ศูนย์ในขณะที่

κ (0) = 0

$\kappa(0)=0$ ชัดเจน

— kjetil b halvorsen

ผมเชื่อว่ามันเป็นอย่างต่อเนื่อง

)

มันถูกรับรู้เป็นข้อ จำกัด ของตัวแปรสุ่มปัวซอง; เป็น

สารประกอบปัวซองด้วยอัตรา

(0, \infty)

$(0, \infty)$

n \to \infty

$n \to \infty$

และการกระจายความหนาแน่นกระโดด

\int_{1 / n}^{1} \frac{1}{x} d x

$\int_{1/n}^1 \frac 1 x \ dx$

ลู่เข้าหาการกระจายตัวเล็กน้อย

f_{n} (x) \propto \frac{1}{x} I (1 / n < x < 1)

$f_n(x) \propto \frac 1 x I(1/n < x < 1)$

— ผู้ชาย

การรู้คุณค่าของ cumulants ช่วยให้เราเข้าใจว่ากราฟของการแจกแจงความน่าจะเป็นนี้เป็นอย่างไร ค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนของการแจกแจงคือ

E [Y] = κ_{1} = 1, Var [Y] = κ_{2} = \frac{1}{2}

$E[Y] = \kappa_1 =1, \;\; \text{Var}[Y] = \kappa_2 = \frac 12$

ในขณะที่ค่าสัมประสิทธิ์เบ้

γ_{1} = \frac{κ_{3}}{(κ_{2})^{3 / 2}} = \frac{(1 / 3)}{(1 / 2)^{3 / 2}} = \frac{2 \sqrt{2}}{3}

$\gamma_1 = \frac{\kappa_3}{(\kappa_2)^{3/2}} = \frac{(1/3)}{(1/2)^{3/2}} = \frac{2\sqrt 2}{3}$

γ_{2} = \frac{κ_{4}}{(κ_{2})^{2}} = \frac{(1 / 4)}{(1 / 2)^{2}} = 1

$\gamma_2 = \frac{\kappa_4}{(\kappa_2)^{2}} = \frac{(1/4)}{(1/2)^{2}} = 1$

นี่อาจเป็นกราฟที่คุ้นเคยของตัวแปรสุ่มที่เป็นบวกที่แสดงความเบ้บวก ในฐานะที่เป็นสำหรับการค้นหาการกระจายความน่าจะเป็นวิธีการของช่างฝีมืออาจจะระบุแจกแจงความน่าจะต่อเนื่องทั่วไปสละค่าในกับความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกัน $\{0,1,...,m\}$ จากนั้นใช้ cumulants เพื่อคำนวณช่วงเวลาดิบโดยมีวัตถุประสงค์เพื่อสร้างระบบสมการเชิงเส้นที่มีความน่าจะเป็นที่ไม่ทราบ Cumulants เกี่ยวข้องกับช่วงเวลาดิบโดย $\{p_0,p_1,...,p_m\},\; \sum_{k=0}^mp_k =1$ แก้ไขสำหรับครั้งแรกห้าช่วงเวลาดิบนี้จะช่วยให้ (ค่าตัวเลขที่สิ้นสุดเป็นเฉพาะกับ cumulants ในกรณีของเรา)

κ_{n} = μ_{n}^{'} - \sum_{i = 1}^{n - 1} (\binom{n - 1}{i - 1}) κ_{i} μ_{n - i}^{'}

$\kappa_n=\mu'_n-\sum_{i=1}^{n-1}{n-1 \choose i-1}\kappa_i \mu_{n-i}'$

\begin{aligned} μ_{1}^{'} = & κ_{1} = 1 \\ μ_{2}^{'} = & κ_{2} + κ_{1}^{2} = 3 / 2 \\ μ_{3}^{'} = & κ_{3} + 3 κ_{2} κ_{1} + κ_{1}^{3} = 17 / 6 \\ μ_{4}^{'} = & κ_{4} + 4 κ_{3} κ_{1} + 3 κ_{2}^{2} + 6 κ_{2} κ_{1}^{2} + κ_{1}^{4} = 19 / 3 \\ μ_{5}^{'} = & κ_{5} + 5 κ_{4} κ_{1} + 10 κ_{3} κ_{2} + 10 κ_{3} κ_{1}^{2} + 15 κ_{2}^{2} κ_{1} + 10 κ_{2} κ_{1}^{3} + κ_{1}^{5} = 243 / 15 \end{aligned}

$\begin{align} \mu'_1=&\kappa_1 =1\\ \mu'_2=&\kappa_2+\kappa_1^2=3/2\\ \mu'_3=&\kappa_3+3\kappa_2\kappa_1+\kappa_1^3=17/6\\ \mu'_4=&\kappa_4+4\kappa_3\kappa_1+3\kappa_2^2+6\kappa_2\kappa_1^2+\kappa_1^4=19/3\\ \mu'_5=&\kappa_5+5\kappa_4\kappa_1+10\kappa_3\kappa_2+10\kappa_3\kappa_1^2+15\kappa_2^2\kappa_1+10\kappa_2\kappa_1^3+\kappa_1^5=243/15\\ \end{align}$ If we (momentarily) set

m = 5

$m=5$ we have the system of equations

\begin{aligned} \sum_{k = 0}^{5} p_{k} = & 1, \sum_{k = 0}^{5} p_{k} k = 1 \\ \sum_{k = 0}^{5} p_{k} k^{2} = & 3 / 2, \sum_{k = 0}^{5} p_{k} k^{3} = 17 / 6 \\ \sum_{k = 0}^{5} p_{k} k^{4} = & 19 / 3, \sum_{k = 0}^{5} p_{k} k^{5} = 243 / 15 \\ s . t . p_{k} \geq 0 \forall k \end{aligned}

$\begin{align} \sum_{k=0}^5p_k=&1,\qquad \sum_{k=0}^5p_kk=1\\ \sum_{k=0}^5p_kk^2=&3/2,\qquad \sum_{k=0}^5p_kk^3=17/6\\ \sum_{k=0}^5p_kk^4=& 19/3 ,\qquad \sum_{k=0}^5p_kk^5= 243/15\\ &s.t. p_k\ge 0 \;\;\forall k\\ \end{align}$

Of course we do not want $m$ to be equal to $5$ . But increasing gradually $m$ (and obtaining the value of the subsequent moments), we should eventually reach a point where the solution for the probabilities stabilizes. Such an approach cannot be done by hand -but I have neither the software access, nor the programming skills necessary to perform such a task.

— Alecos Papadopoulos
แหล่งที่มา

This is cool. Maybe I could do some kind of Edgeworth expansion as well? Actually, I have an idea of what the density looks like already (assuming it exists) since I can simulate directly from it. It is very strange - it looks uniform over some range

(0, a)

$(0, a)$ and then on

(a, \infty)

$(a, \infty)$ it decays with something like an exponential tail (it's been a long time since I did the simulation).

— guy

Thanks. Of course you can always perform an Edgworth expansion based on the cumulants, but I wonder how well it will perform, given the strange shape you describe. It would be interesting to contrast the two.Can you tell me the value for

a

$a$ ?

— Alecos Papadopoulos

Dug up my old code and found

a \approx 1

$a \approx 1$ . If

Y \sim κ (t)

$Y \sim \kappa(t)$ then

[Y ∣ Y < 1]

$[Y \mid Y < 1]$ is approximatey

U (0, 1)

$\mathcal U(0, 1)$ and

[Y - 1 ∣ Y > 1]

$[Y - 1\mid Y > 1]$ is approximately gamma distributed with shape

1.4

$1.4$ and mean

0.64

$0.64$ .

— guy

What do you mean by

Y \sim κ (t)

$Y \sim \kappa(t)$ ?

— Alecos Papadopoulos

So what does the pdf look like then? As for fitting by moments, is the fit 'robust' and 'stable' as one increases the number of moments used (4, 5, 6, 7 or 8 etc), or is it all over the place?

— wolfies