ช่วงเวลากลางของการแจกแจงแบบสมมาตร

ฉันพยายามแสดงให้เห็นว่าช่วงเวลากลางของการแจกแจงแบบสมมาตร: เป็นศูนย์สำหรับเลขคี่ ดังนั้นตัวอย่างเช่นช่วงเวลากลางที่สามฉันเริ่มต้นด้วยการพยายามแสดงให้เห็นว่าฉันไม่แน่ใจว่าจะไปจากที่นี่ข้อเสนอแนะใด ๆ ? มีวิธีที่ดีกว่าในการพิสูจน์เรื่องนี้หรือไม่?

f_{x} (a + x) = f_{x} (a - x)

${\bf f}_x{\bf (a+x)} = {\bf f}_x{\bf(a-x)}$

E [(X - u)^{3}] = 0 .

${\bf E[(X-u)^3] = 0}.$

E [(X - u)^{3}] = E [X^{3}] - 3 u E [X^{2}] + 3 u^{2} E [X] - u^{3} .

${\bf E[(X-u)^3] = E[X^3] -3uE[X^2] + 3u^2E[X] - u^3}.$

mathematical-statistics expected-value moments

— user18262
แหล่งที่มา

คำแนะนำ:สำหรับความเรียบง่ายคิดว่าสมมาตรเกี่ยวกับ0จากนั้นคุณสามารถแสดงให้เห็นว่าโดยการแยกอินทิกรัลระหว่างและและใช้สมมติฐานที่สมมาตร แล้วคุณก็ต้องแสดงให้เห็นว่า

สำหรับ

... สิ่งนี้สามารถทำได้อีกครั้งโดยแยกอินทิกรัลและใช้อาร์กิวเมนต์ที่คล้ายกัน

f

$f$

0

$0$

E [X] = u = 0

$E[X]=u=0$

(- \infty, 0)

$(-\infty,0)$

[0, \infty)

$[0,\infty)$

E [X^{k}] = 0

$E[X^k]=0$

k = 3, 5, 7, 9, . . .

$k=3,5,7,9,...$

แต่คำใบ้ต้องระวังด้วย @ ข้อเสนอแนะของ procrastinator (+1)! มิฉะนั้นคุณอาจ "พิสูจน์" สิ่งที่ผิด! คุณต้องแสดงให้เห็นว่าชิ้นส่วนของอินทิกรัลแยกแต่ละชิ้นนั้นมี จำกัด (หากมีอยู่อีกอันจะต้องเป็นเช่นกัน)

— สำคัญ

ความแตกต่างระหว่างและคืออะไร?

a

$a$

u

$u$

— Henry

@DilipSarwate ทำไมคุณไม่จับความคิดเหล่านั้นทั้งหมดในคำตอบแทนที่จะมองหาคำว่า minutiae ในความคิดเห็นที่ไม่ต้องการคำตอบที่ครอบคลุม?

@Macro: น่าเสียดายจริง ๆ Procrastinator ตอนนี้เข้าร่วมรายการผู้มีส่วนร่วมที่มีค่ามากหลายคน (ในมุมมองของฉัน) ว่าเราสูญเสียไปในช่วงสองสามเดือนที่ผ่านมา (หรือผู้ที่ลดกิจกรรมลงอย่างรุนแรง) ในทางบวกมันเป็นเรื่องดีมากที่จะได้เห็นการเข้าร่วมล่าสุดของคุณ! ฉันหวังว่ามันจะดำเนินต่อไป

— พระคาร์ดินัล

คำตอบนี้มีวัตถุประสงค์เพื่อสาธิตให้เห็นว่าเป็นระดับประถมศึกษาที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้เพราะสิ่งต่าง ๆ มักจะทำให้เกิดแนวคิด เพียงข้อเท็จจริงที่จำเป็น (นอกเหนือจากชนิดที่ง่ายที่สุดของกิจวัตรพีชคณิต) เป็นเชิงเส้นของการรวมกลุ่ม (หรือเท่ากันของความคาดหวัง) การเปลี่ยนแปลงของสูตรสำหรับตัวแปรปริพันธ์และผลจริงว่ารูปแบบไฟล์ PDF บูรณาการเพื่อความสามัคคี

การกระตุ้นการสาธิตนี้เป็นสัญชาตญาณว่าเมื่อมีความสมมาตรเกี่ยวกับดังนั้นการสนับสนุนปริมาณใด ๆถึงความคาดหวังจะมีน้ำหนักเท่ากันกับปริมาณเนื่องจากและอยู่ตรงข้ามกับและอยู่ห่างจากมันเท่า ๆ กัน จากนั้นระบุว่าสำหรับทุกยกเลิกทุกอย่างและความคาดหวังต้องเป็นศูนย์ ความสัมพันธ์ระหว่างกับนั้นคือจุดที่เราต้องจากไป $f_X$ $a$ $G(x)$ $\mathbb{E}_X(G(X))$ $G(2a-x)$ $x$ $2a-x$ $a$ $G(x) = -G(2a-x)$ $x$ $x$ $2a-x$

สังเกตุโดยการเขียนความสมมาตรสามารถแสดงได้โดยความสัมพันธ์ $y = x + a$

f_{X} (y) = f_{X} (2 a - y)

$f_X(y) = f_X(2a-y)$

สำหรับทุกปีสำหรับฟังก์ชันใด ๆ ที่วัดได้การเปลี่ยนแปลงแบบจากเป็นเปลี่ยนเป็นในขณะที่กลับทิศทางของการรวม $y$ $G$ $x$ $2a-x$ $dx$ $-dx$

E_{X} (G (X)) = \int G (x) f_{X} (x) d x = \int G (x) f_{X} (2 a - x) d x = \int G (2 a - x) f_{X} (x) d x .

$\mathbb{E}_X(G(X)) = \int G(x) f_X(x)dx = \int G(x) f_X(2a - x)dx = \int G(2a-x)f_X(x)dx.$

สมมติว่าความคาดหวังนี้มีอยู่ (นั่นคืออินทิกรัลรวมกัน) ความเป็นเส้นตรงของอินทิกรัลหมายถึง

\int (G (x) - G (2 a - x)) f_{X} (x) d x = 0.

$\int \left(G(x) - G(2a - x)\right)f_X(x)dx = 0.$

พิจารณาช่วงเวลาที่แปลกเกี่ยวกับซึ่งจะถูกกำหนดเป็นความคาดหวังของ ,\ ในกรณีเหล่านี้ $a$ $G_{k,a}(X) = (X-a)^k$ $k = 1, 3, 5, \ldots$

\begin{aligned} G_{k, a} (x) - G_{k, a} (2 a - x) & = (x - a)^{k} - (2 a - x - a)^{k} \\ = (x - a)^{k} - (a - x)^{k} \\ = (1^{k} - (- 1)^{k}) (x - a)^{k} \\ = 2 (x - a)^{k}, \end{aligned}

$\eqalign{ G_{k,a}(x) - G_{k,a}(2a-x) &= (x-a)^k - (2a-x-a)^k \\&= (x-a)^k - (a-x)^k \\ &= (1^k - (-1)^k)(x-a)^k \\&= 2(x-a)^k,}$

แม่นยำเพราะแปลก การใช้ผลลัพธ์ก่อนหน้าจะให้ $k$

0 = \int (G_{k, a} (x) - G_{k, a} (2 a - x)) f_{X} (x) d x = 2 \int (x - a)^{k} f_{X} (x) d x .

$0 = \int \left(G_{k,a}(x) - G_{k,a}(2a - x)\right)f_X(x)dx = 2\int (x-a)^k f_X(x)dx.$

เนื่องจากด้านขวามือเป็นสองเท่าของช่วงเวลาที่ประมาณหารด้วยแสดงว่าช่วงเวลานี้เป็นศูนย์เมื่อใดก็ตามที่มีอยู่ $k$ $a$ $2$

ในที่สุดค่าเฉลี่ย (สมมติว่ามีอยู่) คือ

μ_{X} = E_{X} (X) = \int x f_{X} (x) d x = \int (2 a - x) f_{X} (x) d x .

$\mu_X = \mathbb{E}_X(X) = \int x f_X(x)dx = \int (2a-x)f_X(x)dx.$

หาประโยชน์เชิงเส้นตรงอีกครั้งและระลึกว่าเพราะเป็นการกระจายความน่าจะเป็นเราสามารถจัดเท่าเทียมกันสุดท้ายเพื่ออ่าน $\int f_X(x)dx=1$ $f_X$

2 μ_{X} = 2 \int x f_{X} (x) d x = 2 a \int f_{X} (x) d x = 2 a \times 1 = 2 a

$2\mu_X = 2\int x f_X(x)dx = 2a\int f_X(x)dx = 2a\times 1 = 2a$

กับการแก้ปัญหาเฉพาะa ดังนั้นการคำนวณช่วงเวลาก่อนหน้าของเราเกี่ยวกับจึงเป็นช่วงเวลากลางจริง ๆ QED $\mu_X = a$ $a$

Postword

ความต้องการหารด้วยในหลาย ๆ ที่เกี่ยวข้องกับความจริงที่ว่ามีกลุ่มของคำสั่งทำหน้าที่เกี่ยวกับฟังก์ชันที่วัดได้ (กล่าวคือกลุ่มที่สร้างโดยการสะท้อนในเส้นรอบ ) โดยทั่วไปแล้วแนวคิดเรื่องความสมมาตรสามารถนำไปใช้กับการกระทำของกลุ่มใดก็ได้ ทฤษฎีการเป็นตัวแทนของกลุ่มแสดงถึงว่าเมื่อตัวละคร $2$ $2$ $a$ ของการกระทำนั้นในฟังก์ชั่นนั้นไม่สำคัญมันเป็นมุมฉากของตัวละครเล็กน้อยและนั่นหมายความว่าความคาดหวังของฟังก์ชั่นจะต้องเป็นศูนย์ ความสัมพันธ์ orthogonality เกี่ยวข้องกับการเพิ่ม (หรือการบูรณาการ) ในกลุ่มขนาดของกลุ่มที่ปรากฏในหน่วย: ความสำคัญของมันเมื่อมัน จำกัด หรือปริมาณเมื่อมันมีขนาดกะทัดรัด

ความงามของการทำให้เป็นลักษณะทั่วไปนี้ปรากฏชัดในการประยุกต์ใช้กับสมมาตรอย่างชัดแจ้งเช่นในสมการเชิงกลเชิงกล (หรือเชิงกลควอนตัม) ของการเคลื่อนที่ของระบบสมมาตรสุดขั้วโดยโมเลกุลเบนซีน (ซึ่งมี 12 กลุ่มสมมาตรองค์ประกอบ) (แอปพลิเคชัน QM เกี่ยวข้องมากที่สุดที่นี่เพราะคำนวณความคาดหวังอย่างชัดเจน) ค่าของความสนใจทางกายภาพ - ซึ่งโดยทั่วไปเกี่ยวข้องกับปริพันธ์หลายมิติของเทนเซอร์ - สามารถคำนวณได้โดยไม่ต้องทำงานมากกว่าที่เกี่ยวข้องเพียงแค่รู้ตัวละครที่เกี่ยวข้อง integrands ตัวอย่างเช่น "สี" ของโมเลกุลสมมาตรต่างๆ - สเปกตรัมของพวกมันในช่วงความยาวคลื่นต่างๆ - สามารถกำหนดได้โดยเริ่มต้นด้วยวิธีนี้

— whuber
แหล่งที่มา

(1) ในส่วนการเริ่มต้น "พิจารณาช่วงเวลาที่แปลกเกี่ยวกับ..." ผมเชื่อว่าบรรทัดที่สามควรอ่าน k

a

$a$

= (1^{k} - (- 1)^{k}) (x - a)^{k}

$=(1^k-(-1)^k)(x-a)^k$

— สันนิษฐานว่าปกติ

@ Max Yep: ขอบคุณที่อ่านอย่างระมัดระวัง! (ตอนนี้ได้รับการแก้ไขแล้ว)

— whuber