“ Peakedness” ของฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นแบบเบ้

11

ฉันต้องการอธิบาย "ความแหลม" และ "ความหนักเบา" ของฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นแบบเบ้

คุณสมบัติที่ฉันต้องการจะอธิบายพวกเขาจะถูกเรียกว่า "kurtosis" หรือไม่? ฉันเคยเห็นเพียงคำว่า "kurtosis" ใช้สำหรับการแจกแจงแบบสมมาตรหรือไม่

— user1375871
แหล่งที่มา

15

ที่จริงแล้วมาตรการของเคิร์ตซีสมักใช้กับการแจกแจงแบบสมมาตร คุณสามารถคำนวณมันสำหรับสิ่งที่เอียงได้เช่นกัน แต่การตีความตีความจะเปลี่ยนไปเนื่องจากค่านี้จะแตกต่างกันไปเมื่อมีการเปิดตัวสมส่วน ที่จริงแล้วแนวคิดทั้งสองนี้แยกกันยาก เมื่อเร็ว ๆ นี้ได้มีการนำเสนอการวัดความไม่แปรปรวนแบบเบ้ของ kurtosis ในบทความนี้

kurtosis สูงมีความสัมพันธ์กับความแหลมและหางที่หนัก (มันเป็นลักษณะ 'ขาดไหล่') หนึ่งในไดรฟ์ข้อมูลของ Kendall และ Stuart หารือเกี่ยวกับปัญหาเหล่านี้ในระยะเวลาหนึ่ง แต่การตีความเช่นนี้เป็นไปตามที่คุณทราบโดยทั่วไปได้รับในสถานการณ์ที่มีความสมมาตร ในกรณีที่ไม่สมมาตรช่วงเวลามาตรฐานที่ 4 นั้นมักจะมีความสัมพันธ์อย่างมากกับจตุรัสของช่วงเวลามาตรฐานที่สามดังนั้นพวกเขาจึงทำการวัดในลักษณะเดียวกัน

— Glen_b -Reinstate Monica

ตามจริงโดยเฉพาะอย่างยิ่งที่ฉันใช้ถ้อยคำในความคิดเห็นก่อนหน้าของฉันมันเป็นความจริงแม้กระทั่งการกระจายสมมาตร - ตารางของตัวอย่างช่วงเวลามาตรฐานที่สาม (ความเบ้ช่วงยกกำลังสอง) มีความสัมพันธ์สูง ที่พูดปกติ

— Glen_b -Reinstate Monica

3

ด้วยความแปรปรวนที่ถูกกำหนดเป็นโมเมนต์ที่สองความเบ้จะถูกกำหนดเป็นโมเมนต์ที่สามและ kurtosis ที่ถูกนิยามเป็นโมเมนต์ที่สี่มันเป็นไปได้ที่จะอธิบายคุณสมบัติของ ช่วงกว้างของการกระจายแบบสมมาตรและไม่สมมาตรจากข้อมูล $\mu_{2}$ $\mu_{3}$ $\mu_{4}$

เทคนิคนี้อธิบายโดยKarl Pearson ครั้งแรกในปี 1895สำหรับสิ่งที่เรียกว่า Pearson ดิสทริบิวชัน I ถึง VII สิ่งนี้ได้รับการขยายออกไปโดย Egon S Pearson (วันที่ไม่แน่นอน) ตามที่ตีพิมพ์ในHahn และ Shapiro ในปี 1966จนถึงช่วงกว้างของสมมาตรไม่สมมาตรและการแจกแบบเทลด์ที่หนักซึ่งรวมถึง Uniform, Normal, Students-t, Lognormal, Exponential, Gamma, Beta, Beta J และ Beta U จากแผนภูมิของ p 197 ของ Hahn และ Shapiro,และสามารถใช้สร้าง descriptors สำหรับความเบ้และความโด่งเป็น: $B_{1}$ $B_{2}$

$\mu_{3} = \sqrt {B_{1}\ \mu_{2}^{3}}$
$\mu_{4} = B_{2}\ \mu_{2}^{2}$

หากคุณเพียงแค่อยากอธิบายญาติง่ายแล้วโดยการใช้อย่างต่อเนื่องเบ้เป็นและโด่งเป็น{2} $\mu_{2} = 1$ $\sqrt {B_{1}}$ $B_{2}$

เราได้พยายามสรุปแผนภูมินี้ที่นี่เพื่อให้สามารถตั้งโปรแกรมได้ แต่ควรตรวจสอบใน Hahn และ Shapiro (หน้า 42-49,122-132,197) ในแง่หนึ่งเรากำลังแนะนำวิศวกรรมย้อนกลับเล็กน้อยของแผนภูมิเพียร์สัน แต่นี่อาจเป็นวิธีการหาปริมาณสิ่งที่คุณกำลังมองหา

— AsymLabs
แหล่งที่มา

3

ปัญหาหลักที่นี่คือ "ความแหลม" คืออะไร? มันเป็นความโค้งที่จุดสูงสุด (อนุพันธ์อันดับ 2 หรือไม่) มันต้องมีมาตรฐานก่อนหรือไม่? (คุณจะคิดอย่างนั้น แต่มีวรรณคดีที่เริ่มต้นด้วย Proschan, Ann. Math. Statist. เล่มที่ 36, Number 6 (1965), 1703-1706, ที่กำหนด peakedness ในแบบที่ปกติกับความแปรปรวนขนาดเล็กมากขึ้น " แหลม"). หรือเป็นความเข้มข้นของความน่าจะเป็นภายในค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของค่าเฉลี่ยตามนัยใน Balanda และ Macgillivray (The American Statistics, 1988, Vol 42, 111-119) เมื่อคุณตัดสินความหมายแล้วมันควรจะนำไปใช้เล็กน้อย แต่ฉันจะถามว่า "ทำไมคุณถึงสนใจ" "ความแหลม" หมายถึงอะไร?

BTW, kurtosis ของเพียร์สันวัดหางเท่านั้นและไม่ได้วัดคำจำกัดความ "ความแหลม" ดังกล่าวข้างต้น คุณสามารถเปลี่ยนข้อมูลหรือการกระจายภายในส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของค่าเฉลี่ยได้มากเท่าที่คุณต้องการ (รักษาค่าเฉลี่ย = 0 และความแปรปรวน = 1 ข้อ จำกัด ) แต่ความสามารถเปลี่ยนได้เฉพาะในช่วงสูงสุด 0.25 (โดยปกติจะน้อยกว่า) ดังนั้นคุณสามารถออกกฎโดยใช้ kurtosis ในการวัดความแหลมสำหรับการแจกแจงใด ๆ แม้ว่า kurtosis นั้นจะเป็นการวัดส่วนท้ายสำหรับการแจกแจงใด ๆ ไม่ว่าการกระจายนั้นจะสมมาตร, ไม่สมมาตร, ไม่ต่อเนื่อง, ต่อเนื่อง Kurtosis วัดหางสำหรับการแจกแจงทั้งหมดและแทบไม่มีอะไรเกี่ยวกับจุดสูงสุด (ที่นิยามไว้อย่างไรก็ตาม)

— Peter Westfall
แหล่งที่มา

1

วิธีการปฏิบัติที่เป็นไปได้มากสามารถคำนวณอัตราส่วนของฟังก์ชันการอยู่รอดของการแจกแจงเทียบกับวิธีปกติแสดงให้เห็นว่ามันค่อนข้างไกลกว่า วิธีอื่นสามารถคำนวณอัตราส่วนของเปอร์เซนต์ไทล์ของการแจกแจงภายใต้ความสนใจและหารด้วยค่าควอนไทล์ปกติหนึ่งค่า ,{} $\Pr\left(\tilde X \gt 1- \alpha \right)$ $w_1=\frac{\tilde{x_{99}}-\tilde{x_{50}}}{\tilde{x_{75}}-\tilde{x_{50}}}$ $\tilde x$ $w_2=\frac{\tilde{\Phi_{99}}-\tilde{\Phi_{50}}}{\tilde{\Phi_{75}}-\tilde{\Phi_{50}}}$ $\tau=\frac{w_1}{w_2}$

— Giorgio Spedicato
แหล่งที่มา

0

ฉันไม่แน่ใจว่าฉันเข้าใจความแหลมและความหนักแน่นของคุณ Kurtosis หมายถึง "ส่วนเกิน" ในภาษาเยอรมันดังนั้นจึงอธิบาย "หัว" หรือ "จุดสูงสุด" ของการแจกแจงโดยอธิบายว่ามันกว้างหรือแคบมาก Wikipedia ระบุว่า "peakedness" นั้นถูกอธิบายโดย "kurtosis" ในขณะที่ peakedness จะไม่ปรากฏเป็นคำจริงและคุณควรใช้คำว่า "Kurtosis"

ดังนั้นฉันคิดว่าคุณอาจได้รับทุกอย่างถูกต้องหัวคือ Kurtosis "ความหนัก" ของหางอาจเป็นความเบ้ "

นี่คือวิธีที่คุณพบ:

a_{3} = \frac{Σ_{i = 1}^{N} (x_{i} - \bar{x})^{3}}{N * s_{x}^{3}}

$a_3 = \frac{\Sigma^{N}_{i=1}(x_i - \overline x)^3}{N * s^3_x}$

กับ s เป็นค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานสำหรับ x

ค่าบ่งชี้:

เชิงลบเอียง:

a_{3} < 0

$a_3 < 0$

Positive Skew:

a_{3} > 0

$a_3 > 0$

ไม่มีความเอียง

a_{3} = 0

$a_3 = 0$

คุณสามารถรับค่า kurtosis ด้วย:

a_{4} = \frac{Σ_{i = 1}^{N} (x_{i} - \bar{x})^{4}}{N * s_{x}^{4}}

$a_4 = \frac{\Sigma^{N}_{i=1}(x_i - \overline x)^4}{N * s^4_x}$

ค่าบ่งชี้:

ตัวย่อ:

a_{4} < 3

$a_4 < 3$

Leptocurtic:

a_{4} > 3

$a_4 > 3$

ปกติ:

a_{4} = 3.0

$a_4 = 3.0$

นั่นช่วยได้ไหม

— Johannes Hofmeister
แหล่งที่มา

3

ฉันเกรงว่าคำตอบนี้ในรูปแบบปัจจุบันอาจจะมีประโยชน์น้อยกว่าเนื่องจากข้อผิดพลาด เบ้เป็นตัวชี้วัดมาตรฐานของความไม่สมดุล มันไม่เกี่ยวข้องกับความหนักเบาของหาง: เป็นไปได้ที่หางจะหนักมากและความเบ้จะเป็นศูนย์ (ซึ่งเป็นกรณีของการกระจายแบบสมมาตรเป็นต้น) โปรดทราบด้วยว่ามันเป็นไปไม่ได้ที่จะเป็นค่าลบดังนั้นครึ่งหลังของคำตอบนี้จึงสมเหตุสมผลเล็กน้อย (บางทีคุณอาจสับสนกับภาวะส่วนเกินหรือไม่?)

a_{4}

$a_4$

— whuber

1

ขอบคุณสำหรับการชี้แจง อาจมีข้อผิดพลาดบางอย่างในสูตรฉันเพิ่งคัดลอกพวกเขาจากสคริปต์ที่พวกเขาให้ที่เดียว ฉันตรวจสอบความจริงที่ว่า a4 ไม่สามารถลบได้

— Johannes Hofmeister

1

ฉันค้นหาว่าทำไมคำตอบของฉันผิด - เป็นข้อผิดพลาดในการแปลฉันขอโทษสำหรับสิ่งนั้น ภาพนิ่งของฉันที่มีทั้งหมดในเยอรมันผสมโด่งและส่วนเกิน

— Johannes Hofmeister

@ Peter เป็นปีเตอร์ Westfall ชี้ให้เห็นความคิดเห็นของคุณไม่ถูกต้อง: "peakedness" (ของโหมดใด ๆ ), คิดว่าเป็นจุดหรือความสูงราง ๆ ไม่มีอะไรเกี่ยวข้องกับหางของการกระจายใด ๆ หรือวัดโดย จำกัด ใด ๆ การรวมกันของช่วงเวลา (เช่น kurtosis) มันอาจเกิดขึ้นได้กับการเชื่อมต่อกับหางที่มีน้ำหนักมากสำหรับครอบครัวของการกระจายแต่นั่นเป็นเรื่องที่แตกต่างอย่างสิ้นเชิง

— whuber

-1

Kurtosis เกี่ยวข้องกับความแหลมของเส้นโค้งอย่างแน่นอน จากนี้ไปฉันเชื่อว่าคุณกำลังมองหาความรุนแรงที่เกิดขึ้นไม่ว่าการกระจายนั้นจะสมมาตรหรือไม่ (user10525) พูดอย่างถูกต้องแล้ว! ฉันหวังว่าปัญหาของคุณจะได้รับการแก้ไขในขณะนี้ อย่าแบ่งปันผลของมันความคิดเห็นทั้งหมดยินดีต้อนรับ

— วานี
แหล่งที่มา

1

ฉันไม่แน่ใจว่าสิ่งนี้ถือเป็นคำตอบที่เป็นประโยชน์มากกว่าสิ่งที่เขียนไว้แล้วที่นี่ แล้วคุณจะขยายขอบเขตของ kurtosis และความแหลมของเส้นโค้งมากขึ้นได้อย่างไร?

— Momo

ต้องการให้คำชี้แจงที่ชัดเจนตัดกับแบบสอบถาม การสนทนาดูเหมือนจะสร้างความสับสน @Momo

— Vani