ความหนาแน่นของหุ่นยนต์ที่เดินแบบสุ่มในกราฟเรขาคณิตแบบสุ่มที่ไม่มีที่สิ้นสุด

พิจารณาอนันต์กราฟเรขาคณิตแบบสุ่มในสถานที่ที่โหนดเป็นไปตามกระบวนการจุด Poisson ที่มีความหนาแน่นและขอบจะอยู่ระหว่างโหนดที่อยู่ใกล้กว่างดังนั้นความยาวของขอบจึงเป็นไปตาม PDF ดังต่อไปนี้: $\rho$ $d$

f (l) = {\begin{cases} \frac{2 l}{d^{2}} l \leq d \\ 0 l > d \end{cases}

$f(l)= \begin{cases} \frac{2 l}{d^2} \;\quad l \le d \\ 0 \qquad\; l > d \end{cases}$

ในกราฟข้างต้นพิจารณาโหนดภายในวงกลมของรัศมีศูนย์กลางที่แหล่งกำเนิด สมมติว่าในเวลาเราวางหุ่นยนต์ตัวเล็ก ๆ ไว้ในแต่ละโหนดที่กล่าวถึง นั่นคือความหนาแน่นของหุ่นยนต์บนเครื่องบินโดย: $r$ $t=0$

โดยที่คือระยะทางจากจุดกำเนิด รูปต่อไปนี้แสดงตัวอย่างตำแหน่งเริ่มต้นของหุ่นยนต์

g (l) = {\begin{cases} ρ l \leq r \\ 0 l > d \end{cases}

$g(l)= \begin{cases} \rho \quad l \le r \\ 0 \quad\; l > d \end{cases}$

l

$l$

ตัวอย่าง

ในแต่ละขั้นตอนหุ่นยนต์จะไปที่หนึ่งในเพื่อนบ้านแบบสุ่ม

ทีนี้คำถามของฉันคือ: ฟังก์ชันความหนาแน่นของหุ่นยนต์ที่คืออะไร? เป็นไปได้ที่จะคำนวณฟังก์ชั่นความหนาแน่นเมื่อ ? $t>0$ $t \rightarrow \infty$

ขอโทษนะฉันไม่ได้เป็นนักคณิตศาสตร์ โปรดแจ้งให้เราทราบหากมีสิ่งใดที่ไม่ชัดเจน

— ฮีเลียม
แหล่งที่มา

ค้นหาหนังสือโดย Wolfgang Woess ในฐานะบรรณาธิการหรือผู้แต่ง คอลเลกชันล่าสุด: เดินสุ่มขอบเขตและสเปกตรัม Birkhauser, 2011. จาก 2000 (Cambridge Univ.Press): สุ่มเดินบนกราฟและกลุ่มที่ไม่มีที่สิ้นสุด

— Deer Hunter

ขอบคุณฮันเตอร์ ฉันดูหนังสือ 2011 ของเขาอย่างรวดเร็ว แต่ฉันไม่พบสิ่งที่เกี่ยวข้อง ฉันไม่สามารถเข้าถึง 2000 ตอนนี้ แต่ฉันจะค้นหามันเมื่อฉันพบมัน โปรดแจ้งให้เราทราบหากคุณจำอะไรที่เฉพาะเจาะจงมากขึ้นจากหนังสือ

— ฮีเลียม

นี่เป็นการเริ่มต้น

$r = d/2$

$t$ $n = 1 + 4t + 2t(t-1)$ $t$ $A_t$ $n \times n$ $n$ $e_{i,t} \in \{0,1\}^n$ $0$ $1$ $i$ $A_t$ $i$ $t$ $e_{1,t}' A_t^t e_{i,t}$ $A^t = A \times A \cdots \times A$ $A$ $t$ $\cal L_1$

$t$ $r(t+1)$ $0$ $t$ $q$ $t$ $(x,y)$ $t$ $f_t(x,y)$ $f_t$ $r$ $X$

$U$ $M$ $MU + X$

$X$

— user1448319
แหล่งที่มา

t

$t$

t = 0

$t = 0$

t = 1

$t = 1$

t = 2

$t = 2$

t^{2}

$t^2$

n = 1 + 4 t + 2 (t - 1)^{2}

$n = 1 + 4t + 2(t-1)^2$

n = 1 + 4 t + 2 t (t - 1) = 1 + 2 t + 2 t^{2}

$n= 1 + 4t + 2t(t-1) = 1 + 2t + 2t^2$

1

$1$

+ 4 t

$+4t$

+ 2 t (t - 1)

$+2t(t-1)$

t = 2

$t=2$

(0, 0)

$(0,0)$

(1, 0), (2, 0)

$(1,0), (2, 0)$

(1, 1)

$(1,1)$

(1, 0)

$(1,0)$

Z^{2}

$\mathbb Z^2$

(1, 0)

$(1,0)$

(0, 0)

$(0,0)$

(1, 0)

$(1,0)$

A_{t}

$A_t$

$n=1+4t+2(t−1)^2$ $t$