หากการแข่งขันเทนนิสเป็นชุดใหญ่เดี่ยวเกมจะมีความแม่นยำเท่ากันกี่เกม?

เทนนิสมีระบบการให้คะแนนสามระดับที่แปลกประหลาดและฉันสงสัยว่ามันจะมีประโยชน์ทางสถิติใด ๆ จากมุมมองของการแข่งขันเป็นการทดลองเพื่อกำหนดผู้เล่นที่ดีกว่า

สำหรับผู้ที่ไม่คุ้นเคยในกฎปกติเกมจะได้คะแนนแรกถึง 4 คะแนนตราบใดที่คุณมีผู้นำ 2 คะแนน (เช่นถ้าเป็น 4-2 คุณชนะ แต่ 4-3 คุณต้องมี 1 คะแนนมากขึ้นและเก็บไว้ ดำเนินต่อไปจนกว่าผู้เล่นหนึ่งคนจะไปข้างหน้า 2 คน)

เซตคือชุดของเกมและเซตแรกชนะถึง 6 อีกครั้งต้องชนะด้วย 2 ยกเว้นเวลานี้เกมไทเบรก - เบรกแบบพิเศษจะเล่นแทนการพกพา (ยกเว้นชุดสุดท้ายของวิมเบิลดันเป็นต้น .. )

การแข่งขันจะได้รับรางวัลแรกถึง 2 หรือ 3 ชุดขึ้นอยู่กับการแข่งขัน

ตอนนี้เทนนิสก็แปลกในเกมที่ไม่เป็นธรรม สำหรับจุดใดก็ตามเซิร์ฟเวอร์มีข้อได้เปรียบอย่างมากดังนั้นในแต่ละเกมเซิร์ฟเวอร์จะสลับกัน

ในเกมไทเบรกเกอร์การเสิร์ฟเสิร์ฟจะเปลี่ยนหลังจากทุกแต้มและเป็นแต้มแรกถึง 7 แต้มอีกครั้งด้วยคะแนน 2 แต้ม

ให้คิดว่าผู้เล่นที่มีความน่าจะเป็นในการชนะจุดบนของพวกเขาทำหน้าที่ของและเมื่อได้รับp_r $p_s$ $p_r$

คำถามคือสิ่งนี้สมมติว่าเรา

A) เพิ่งเล่นเทนนิสในการแข่งขัน "ดีที่สุดของเกม N" จำนวนเกมที่จะให้ความแม่นยำเช่นเดียวกับปกติดีที่สุดของ 5 ชุดเทนนิส

B) เพิ่งเล่นเทนนิสเป็นเกม tiebreaker ขนาดใหญ่กี่คะแนนที่ให้ความแม่นยำเท่ากับปกติที่สุดของเทนนิส 5 ชุด?

เห็นได้ชัดว่าคำตอบเหล่านี้จะขึ้นอยู่กับค่าและด้วยตนเองดังนั้นจึงเป็นการดีที่จะรู้ $p_s$ $p_r$

C) จำนวนที่คาดหวังของเกม & คะแนนที่เล่นในเทนนิสปกติคืออะไรคงที่ , $p_s$ $p_r$

การกำหนด "ความแม่นยำ"

หากเราสันนิษฐานว่าความสามารถของผู้เล่นทั้งสองนั้นคงที่ถ้าหากพวกเขาเล่นเป็นระยะเวลาไม่ จำกัด ผู้เล่นคนใดคนหนึ่งจะชนะเกือบแน่นอนโดยไม่คำนึงถึงรูปแบบการเล่น ผู้เล่นนี้เป็นผู้ชนะ "ถูกต้อง" ผมค่อนข้างมั่นใจว่าผู้ชนะที่ถูกต้องคือผู้เล่นสำหรับผู้ที่1 $p_r+p_s > 1$

รูปแบบการเล่นที่ดีกว่าคือรูปแบบหนึ่งที่ให้ผู้ชนะที่ถูกต้องบ่อยกว่าสำหรับจำนวนแต้มที่เล่นกันหรือในทางกลับกันจะสร้างผู้ชนะที่ถูกต้องด้วยความน่าจะเป็นที่เท่าเทียมกันในการเล่นไม่กี่คะแนน

probability inference games

— Corone
แหล่งที่มา

ชุดที่ 5 เท่านั้นไม่มีตัวผูกไทในวิมเบิลดันออสเตรเลียนโอเพนและเฟรนช์โอเพ่น 4 เซ็ตแรกจะเล่นกับ tie-breakers

— mpiktas

"ความแม่นยำ" คุณหมายถึงอะไร? คุณหมายถึงบางอย่างเช่น "ผู้เล่นที่ดีกว่าจะชนะบ่อยแค่ไหน" ไม่ว่าในกรณีใดคุณต้องมีพารามิเตอร์สี่ตัวไม่ใช่สองตัว คุณต้องการและสำหรับผู้เล่นแต่ละคนแม้ว่าและในทางกลับกัน หากมีผู้เล่นสโมสรเล่นเป็นผู้เล่นระดับโลกแล้วบางที ,001 ฉันคิดว่าวิธีที่ง่ายที่สุดในการค้นหาสิ่งนี้คือวิธีการใช้คอมพิวเตอร์อย่างเข้มข้น คุณสามารถคิดวิเคราะห์ได้ แต่การคำนวณจะเข้มข้นขึ้น

p_{s}

$p_s$

p_{r}

$p_r$

p 1_{s} = 1 - p 2_{r}

$p1_s = 1 - p2_r$

p 1_{s} = .01

$p1_s = .01$

p 1_{r} = .001

$p1_r = .001$

— Peter Flom - Reinstate Monica

ฉันกำลังคิดว่าความสัมพันธ์ระหว่างและทักษะผู้เล่นอาจถูกละไว้เนื่องจากเราแค่ต้องการเปรียบเทียบระหว่างวิธีการวัด เช่นสำหรับการจับคู่ที่กำหนดถ้าจากนั้นผู้เล่น 1 ควรชนะ (เช่นความสามารถในการชนะคะแนนเฉลี่ยของพวกเขาเกิน 50%) การแข่งขันที่ดีกว่าประสบความสำเร็จบ่อยครั้งกว่านี้

p_{s / r}

$p_{s/r}$

p_{s} + p_{r} > 1

$p_s + p_r > 1$

— Corone

โดย "ความแม่นยำเดียวกัน" คุณหมายถึงความน่าจะเป็นโดยรวมของผู้เล่นที่ชนะจะเหมือนกันในรูปแบบใดรูปแบบหนึ่ง (สำหรับคงที่และ ?

p_{s}

$p_s$

p_{r}

$p_r$

— Michael McGowan

หากคุณเล่นเกมถึงคะแนนโดยที่คุณต้องชนะคุณสามารถถือว่าผู้เล่นเล่นได้ 6 คะแนน หากไม่มีผู้เล่นที่ชนะคะแนนจะถูกผูกไว้และจากนั้นคุณเล่นคู่คะแนนจนกว่าผู้เล่นหนึ่งคนชนะทั้งคู่ ซึ่งหมายความว่ามีโอกาสที่จะชนะเกมถึงคะแนนเมื่อโอกาสของคุณที่จะชนะในแต่ละจุดคือคือ $4$ $2$ $2$ $3-3$ $4$ $p$

p^{6} + 6 p^{5} (1 - p) + 15 p^{4} (1 - p)^{2} + 20 p^{3} (1 - p)^{3} \frac{p^{2}}{p^{2} + (1 - p)^{2}}

$p^6 + 6p^5(1-p) + 15p^4(1-p)^2 + 20 p^3(1-p)^3 \frac{p^2}{p^2 + (1-p)^2}$ 2}

ในการเล่นระดับสูงสุดของผู้ชายอาจประมาณสำหรับเซิร์ฟเวอร์ (มันจะเป็นถ้าผู้ชายไม่ได้บรรเทาปิดในวันที่สองทำหน้าที่.) ตามสูตรนี้มีโอกาสที่จะทำหน้าที่ถือเป็นเรื่องเกี่ยวกับ\% $p$ $0.65$ $0.66$ $82.96\%$

สมมติว่าคุณกำลังเล่น tiebreaker ถึงคะแนน คุณสามารถสันนิษฐานได้ว่าคะแนนจะเล่นเป็นคู่ที่ผู้เล่นแต่ละคนทำหน้าที่หนึ่งในแต่ละคู่ ใครทำหน้าที่ก่อนไม่สำคัญ คุณสามารถสันนิษฐานได้ว่าผู้เล่นเล่นคะแนน หากพวกเขาจะผูกติดอยู่ที่จุดนั้นแล้วพวกเขาก็เล่นคู่จนกว่าผู้เล่นคนหนึ่งชนะทั้งสองคู่ซึ่งหมายความว่ามีโอกาสที่จะชนะเงื่อนไขมี(1-p_r)) หากฉันคำนวณอย่างถูกต้องโอกาสที่จะชนะ tiebreaker ได้คะแนน $7$ $12$ $p_sp_r/(p_sp_r + (1-p_s)(1-p_r))$ $7$

6 p_{r}^{6} p s + 90 p_{r}^{5} p_{s}^{2} - 105 p_{r}^{6} p_{s}^{2} + 300 p_{r}^{4} p_{s}^{3} - 840 p_{r}^{5} p_{s}^{3} + 560 p_{r}^{6} p_{s}^{3} + 300 p_{r}^{3} p_{s}^{4} - 1575 p_{r}^{4} p_{s}^{4} + 2520 p_{r}^{5} p_{s}^{4} - 1260 p_{r}^{6} p_{s}^{4} + 90 p_{r}^{2} p_{s}^{5} - 840 p_{r}^{3} p_{s}^{5} + 2520 p_{r}^{4} p_{s}^{5} - 3024 p_{r}^{5} p_{s}^{5} + 1260 p_{r}^{6} p_{s}^{5} + 6 p_{r} p_{s}^{6} - 105 p_{r}^{2} p_{s}^{6} + 560 p_{r}^{3} p_{s}^{6} - 1260 p_{r}^{4} p_{s}^{6} + 1260 p_{r}^{5} p_{s}^{6} - 462 p_{r}^{6} p_{s}^{6} + \frac{p_{r} p_{s}}{p_{r} p_{s} + (1 - p_{r}) (1 - p_{s})} (p_{r}^{6} + 36 p_{r}^{5} p_{s} - 42 p_{r}^{6} p_{s} + 225 p_{r}^{4} p_{s}^{2} - 630 p_{r}^{5} p_{s}^{2} + 420 p_{r}^{6} p_{s}^{2} + 400 p_{r}^{3} p_{s}^{3} - 2100 p_{r}^{4} p_{s}^{3} + 3360 p_{r}^{5} p_{s}^{3} - 1680 p_{r}^{6} p_{s}^{3} + 225 p_{r}^{2} p_{s}^{4} - 2100 p_{r}^{3} p_{s}^{4} + 6300 p_{r}^{4} p_{s}^{4} - 7560 p_{r}^{5} p_{s}^{4} + 3150 p_{r}^{6} p_{s}^{4} + 36 p_{r} p_{s}^{5} - 630 p_{r}^{2} p_{s}^{5} + 3360 p_{r}^{3} p_{s}^{5} - 7560 p_{r}^{4} p_{s}^{5} + 7560 p_{r}^{5} p_{s}^{5} - 2772 p_{r}^{6} p_{s}^{5} + p_{s}^{6} - 42 p_{r} p_{s}^{6} + 420 p_{r}^{2} p_{s}^{6} - 1680 p_{r}^{3} p_{s}^{6} + 3150 p_{r}^{4} p_{s}^{6} - 2772 p_{r}^{5} p_{s}^{6} + 924 p_{r}^{6} p_{s}^{6})

$6 p_r^6 ps + 90 p_r^5 p_s^2 - 105 p_r^6 p_s^2 + 300 p_r^4 p_s^3 - 840 p_r^5 p_s^3 + 560 p_r^6 p_s^3 + 300 p_r^3 p_s^4 - 1575 p_r^4 p_s^4 + 2520 p_r^5 p_s^4 - 1260 p_r^6 p_s^4 + 90 p_r^2 p_s^5 - 840 p_r^3 p_s^5 + 2520 p_r^4 p_s^5 - 3024 p_r^5 p_s^5 + 1260 p_r^6 p_s^5 + 6 p_r p_s^6 - 105 p_r^2 p_s^6 + 560 p_r^3 p_s^6 - 1260 p_r^4 p_s^6 + 1260 p_r^5 p_s^6 - 462 p_r^6 p_s^6 + \frac{p_r p_s}{p_r p_s + (1-p_r)(1-p_s)}(p_r^6 + 36 p_r^5 p_s - 42 p_r^6 p_s + 225 p_r^4 p_s^2 - 630 p_r^5 p_s^2 + 420 p_r^6 p_s^2 + 400 p_r^3 p_s^3 - 2100 p_r^4 p_s^3 + 3360 p_r^5 p_s^3 - 1680 p_r^6 p_s^3 + 225 p_r^2 p_s^4 - 2100 p_r^3 p_s^4 + 6300 p_r^4 p_s^4 - 7560 p_r^5 p_s^4 + 3150 p_r^6 p_s^4 + 36 p_r p_s^5 - 630 p_r^2 p_s^5 + 3360 p_r^3 p_s^5 - 7560 p_r^4 p_s^5 + 7560 p_r^5 p_s^5 - 2772 p_r^6 p_s^5 + p_s^6 - 42 p_r p_s^6 + 420 p_r^2 p_s^6 - 1680 p_r^3 p_s^6 + 3150 p_r^4 p_s^6 - 2772 p_r^5 p_s^6 + 924 p_r^6 p_s^6)$

หากแล้วโอกาสที่จะชนะผูกเบรกเกอร์เป็นเรื่องเกี่ยวกับ\% $p_s=0.65, p_r=0.36$ $51.67\%$

ถัดไปพิจารณาชุด มันไม่สำคัญว่าใครจะทำหน้าที่เป็นคนแรกซึ่งสะดวกสบายเพราะไม่เช่นนั้นเราจะต้องพิจารณาการชนะเซตในขณะที่มีการรับใช้ต่อไปกับการชนะเซตโดยไม่ต้องรับใช้ หากต้องการชนะเกมถึงเกมคุณสามารถจินตนาการได้ว่ามีการเล่นเกมเกมแรก หากคะแนนถูกผูกไว้เล่นอีกเกม หากสิ่งเหล่านี้ไม่สามารถตัดสินผู้ชนะได้ให้เล่น tie-breaker หรือในเซ็ตที่ห้าเพียงเล่นคู่เกมซ้ำ ให้เป็นความน่าจะเป็นที่จะให้บริการและให้ $6$ $10$ $5-5$ $2$ $p_h$ $p_b$ เป็นความน่าจะเป็นที่จะทำลายการเสิร์ฟของฝ่ายตรงข้ามซึ่งอาจคำนวณได้จากความน่าจะเป็นที่จะชนะเกม โอกาสที่จะชนะชุดโดยไม่ต้องเบรคตามสูตรพื้นฐานเช่นเดียวกับโอกาสที่จะชนะผูกเบรกยกเว้นว่าเรากำลังเล่นไปเกมแทนที่จะเป็นคะแนนและเราแทนที่โดยและโดยp_b $6$ $7$ $p_s$ $p_h$ $p_r$ $p_b$

โอกาสที่มีเงื่อนไขที่จะชนะชุดที่ห้า (ชุดที่ไม่มีการผูกเบรกก) กับและเป็น\% $p_s=0.65$ $p_r=0.36$ $53.59\%$

โอกาสที่จะชนะชุดที่มีผูกเบรกเกอร์กับและเป็น\% $p_s=0.65$ $p_r=0.36$ $53.30\%$

โอกาสที่จะชนะที่ดีที่สุดของชุดตรงโดยไม่มีการผูกเบรกเกอร์ในชุดที่ห้ากับและเป็น\% $5$ $p_s=0.65$ $p_r=0.36$ $56.28\%$

ดังนั้นสำหรับอัตราการชนะเหล่านี้จะต้องมีเกมกี่เกมในหนึ่งชุดเพื่อให้มีอำนาจการเลือกปฏิบัติที่เหมือนกัน ด้วยคุณจะได้รับเซตเป็นเกมด้วย tiebreaker ปกติและคุณชนะเซตเกมโดยมี tie-breakerของเวลา โดยไม่มีการผูกเบรกเกอร์มีโอกาสที่จะชนะการแข่งขันปกติระหว่างชุดของความยาวและ24ถ้าคุณเพียงแค่เล่นขนาดใหญ่ผูกตัดโอกาสที่จะชนะผูกเบรกเกอร์ของความยาวเป็นและมีความยาวเป็น\% $p_s=0.65, p_r=0.36$ $24$ $56.22\%$ $25$ $56.34\%$ $23$ $24$ $113$ $56.27\%$ $114$ $56.29\%$

นี่เป็นการชี้ให้เห็นว่าการเล่นชุดยักษ์หนึ่งตัวนั้นไม่ได้มีประสิทธิภาพมากกว่าเกมที่ดีที่สุด 5 แมตช์ แต่การเล่นเบรคเกอร์ยักษ์หนึ่งตัวนั้นจะมีประสิทธิภาพมากกว่าอย่างน้อยสำหรับคู่แข่งที่มีความได้เปรียบ

นี่คือข้อความที่ตัดตอนมาจากคอลัมน์ GammonVillage เดือนมีนาคม 2013 ของฉัน"เกมตั้งค่าและจับคู่" ฉันพิจารณาการโยนเหรียญด้วยความได้เปรียบคงที่ ( ) และถามว่ามีประสิทธิภาพมากขึ้นในการเล่นการแข่งขันที่ยิ่งใหญ่หนึ่งครั้งหรือการแข่งขันที่สั้นกว่าหนึ่งชุด: $51\%$

... หากดีที่สุดในสามนั้นมีประสิทธิภาพน้อยกว่าการแข่งขันที่ยาวนานเพียงครั้งเดียวเราอาจคาดหวังว่าห้าที่ดีที่สุดจะแย่กว่านั้น คุณชนะที่ดีที่สุดของห้า ตรงกับจุดที่มีความน่าจะเป็นมากใกล้กับโอกาสที่จะชนะการแข่งขันเดี่ยว45ค่าเฉลี่ยของจำนวนแมตช์ที่ดีที่สุดในห้าเป็นดังนั้นค่าเฉลี่ยของจำนวนเกมคือ90.37 หลักสูตรนี้เป็นมากกว่าจำนวนสูงสุดของเกมที่เป็นไปได้ในการแข่งขันให้กับและค่าเฉลี่ยคือ82.35ดูเหมือนว่าการแข่งขันที่ยาวนานกว่าจะมีประสิทธิภาพน้อยกว่า $13$ $57.51\%$ $45$ $4.115$ $4.115 \times 21.96 = 90.37$ $45$ $82.35$

วิธีการเกี่ยวกับอีกระดับหนึ่งซึ่งเป็นที่ดีที่สุดของสามชุดที่ดีที่สุดของสามแมตช์ที่จะ ? เนื่องจากแต่ละซีรีย์จะเหมือนกับการแข่งขันที่ซีรีส์ซีรีส์นี้จะเป็นเกมที่ดีที่สุดในสามแมทช์ถึงเท่านั้นที่มีประสิทธิภาพน้อยกว่าและการแข่งขันที่ยาวนานจะดีกว่านั้น ดังนั้นการแข่งขันที่ยาวนานหนึ่งครั้งจะมีประสิทธิภาพมากกว่าชุดของซีรีส์ $13$ $29$ $29$

อะไรทำให้ชุดการแข่งขันมีประสิทธิภาพน้อยกว่าการแข่งขันแบบยาวหนึ่งครั้ง พิจารณาการทดสอบทางสถิติเหล่านี้เพื่อรวบรวมหลักฐานเพื่อตัดสินว่าผู้เล่นคนใดแข็งแกร่งกว่า ในการที่ดีที่สุดในสามของการแข่งขันคุณจะสูญเสียชุดด้วยคะแนน11-13 ซึ่งหมายความว่าคุณจะชนะ เกมถึงคู่ต่อสู้ของคุณ แต่คู่ต่อสู้ของคุณจะชนะซีรีส์ หากคุณโยนเหรียญและได้รับหัวและหางคุณมีหลักฐานว่าหัวมีแนวโน้มมากกว่าหางไม่ได้ว่าหางมีแนวโน้มมากกว่าหัว ดังนั้นการจับคู่ที่ดีที่สุดสามรายการนั้นไม่มีประสิทธิภาพเพราะเป็นการสูญเสียข้อมูล การจับคู่ชุดข้อมูลต้องการข้อมูลเพิ่มเติมโดยเฉลี่ยเพราะบางครั้งอาจมอบรางวัลให้กับผู้เล่นที่ชนะเกมน้อยลง $13-7 ~~ 12-13 ~~ 11-13$ $36$ $33$ $36$ $33$

— ดักลาสแซร์
แหล่งที่มา

เหลือเชื่ออย่างแน่นอน! มีตราสำหรับการแสดงออกของน้ำยางที่ใหญ่ที่สุด? ฉันไม่เข้าใจข้อสรุปแม้ว่า - แน่นอนว่าเกม 25 เกมมีการเล่นน้อยกว่าปกติ? ถ้ามันไปถึงเซตที่ห้าคุณเล่นเกมอย่างน้อย 30 เกมและแม้แต่การชนะ 6: 4 6: 4 6: 4 คือ 30 เกม?

— Corone

ชุดถึงเกมหมายความว่าคุณอาจชนะด้วยคะแนนซึ่งจะเป็นเกม

25

$25$

25 - 20

$25-20$

45

$45$

— Douglas Zare

อ่าใช่ขอโทษเข้าท่าแล้ว คำตอบที่ดี

— Corone

Na-ah, ใครจะสน s นาน... ถ้าดักลาสจะจัดทำโครงร่างที่มีความน่าจะเป็นไปได้

L A T E X

$\LaTeX$

— StasK

บทความนี้มีการวิเคราะห์ tie-breakers บ้างและไม่ว่าพวกเขาจะชอบเซิร์ฟเวอร์ที่แข็งแกร่งกว่า: heavytopspin.com/2012/10/30/the-structural-biases-of-tiebreaks

— Douglas Zare