ทฤษฎีบทขีด จำกัด กลางและกฎของจำนวนมาก

ฉันมีคำถามของผู้เริ่มต้นเกี่ยวกับทฤษฎีบทขีด จำกัด กลาง (CLT):

ฉันทราบว่า CLT ระบุว่าค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่มของ iid นั้นมีการแจกแจงแบบปกติโดยประมาณ (สำหรับโดยที่คือดัชนีของการสรุป) หรือตัวแปรสุ่มมาตรฐานจะมีการแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน $n \to \infty$ $n$

ตอนนี้กฎจำนวนมากระบุอย่างคร่าว ๆ ว่าค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่มของ iid มาบรรจบกัน (ในความน่าจะเป็นหรือเกือบจะแน่นอน) ตามมูลค่าที่คาดหวัง

สิ่งที่ฉันไม่เข้าใจคือ: ถ้าตามที่ CLT ระบุค่าเฉลี่ยจะกระจายไปตามปกติแล้วจะสามารถรวมเข้ากับค่าที่คาดหวังในเวลาเดียวกันได้อย่างไร

การบรรจบกันจะบอกฉันว่าเมื่อเวลาผ่านไปความน่าจะเป็นที่ค่าเฉลี่ยนั้นไม่ใช่ค่าที่คาดหวังคือเกือบเป็นศูนย์ดังนั้นการกระจายจะไม่เป็นเรื่องปกติ แต่เป็นศูนย์เกือบทุกที่ยกเว้นตามค่าที่คาดหวัง

คำอธิบายใด ๆ ยินดีต้อนรับ

— Pegah
แหล่งที่มา

กุญแจสำคัญของคำตอบอยู่ที่คำว่า "มาตรฐาน" ปรากฏในคำถามของคุณ

— whuber

ฉันขอโทษ แต่ฉันไม่แน่ใจว่าฉันเข้าใจ

— Pegah

คำแนะนำ: ทฤษฎีบทหนึ่งมีค่าประมาณ

ซึ่งมีความแปรปรวน

, อีกอันเกี่ยวกับ

\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i} X_{i}

$\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_i X_i$

σ^{2}

$\sigma^2$

ซึ่งมีความแปรปรวน

\frac{1}{n} \sum_{i} X_{i}

$\frac{1}{n}\sum_i X_i$

\frac{σ^{2}}{n}

$\frac{\sigma^2}{n}$

— Dilip Sarwate

ทฤษฎีบทขีด จำกัด กลางเป็นเรื่องเกี่ยวกับการเดินทางและกฎหมายที่แข็งแกร่งของคนจำนวนมากเป็นเรื่องเกี่ยวกับปลายทาง

— พระคาร์ดินัล

รูปนี้แสดงการแจกแจงของค่าเฉลี่ยของ (สีน้ำเงิน), (แดง) และ (ทอง) ที่เป็นอิสระและกระจายตัว ( iid ) การแจกแจงปกติ (ของความแปรปรวนของหน่วยและค่าเฉลี่ย ): $n=1$ $10$ $100$ $\mu$

สาม PDF ที่ทับซ้อนกัน

$n$ $\mu$ $(a,b)$ $\mu$ $[a,b]$ $n$ $1$

$0$ $\mu$

$n$ $n$

— whuber
แหล่งที่มา

@ เมื่อคำตอบที่ดีมากฉันจะขอบคุณคำอธิบายบางอย่างเกี่ยวกับสิ่งที่เราเข้าใจโดยกฎหมายอ่อนแอจำนวนมาก

— Subhash C. Davar

@subhash ดูen.wikipedia.org/wiki/Law_of_large_numbers#Weak_law

— whuber