การรวมเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมสองแบบ

ฉันคำนวณความแปรปรวนร่วมของการแจกแจงแบบขนานและฉันต้องรวมผลลัพธ์ที่กระจายเข้าด้วยกันบน Gaussian เอกพจน์ ฉันจะรวมสองวิธีเข้าด้วยกันได้อย่างไร

การสอดแทรกเชิงเส้นตรงระหว่างสองอย่างนี้เกือบจะได้ผลถ้ามันมีการกระจายและขนาดใกล้เคียงกัน

Wikipediaมีฟอรัมอยู่ที่ด้านล่างสำหรับชุดค่าผสม แต่ดูเหมือนจะไม่ถูกต้อง การแจกแจงแบบกระจายสองตัวที่เหมือนกันควรมีความแปรปรวนร่วมเดียวกัน แต่สูตรที่ด้านล่างของหน้าเพิ่มความแปรปรวนร่วมสองเท่า

มีวิธีการรวมสองเมทริกซ์หรือไม่?

covariance moments

— แมตต์เคมพ์
แหล่งที่มา

สูตร Wikipedia ตอบคำถามของคุณ Matt: คุณอาจไม่ได้สังเกตว่ามันเป็นสูตรบางส่วนหลังจากนั้นคุณต้องหารด้วยขนาดตัวอย่าง

— whuber

ฉันคิดได้แล้วตอนนี้ด้วยความช่วยเหลือของคุณ - ถ้าคุณใส่คำตอบลงไปฉันจะทำเครื่องหมายว่าตอบแล้ว

— Matt Kemp

คำถามนี้เกิดขึ้นได้มากในหลายรูปแบบ สิ่งที่พบได้ทั่วไปคือ

ฉันจะรวมสถิติตามช่วงเวลาที่คำนวณจากชุดย่อยที่แยกจากข้อมูลของฉันได้อย่างไร

แอปพลิเคชันที่ง่ายที่สุดเกี่ยวข้องกับข้อมูลที่ถูกแบ่งออกเป็นสองกลุ่ม คุณรู้ขนาดกลุ่มและความหมายของกลุ่ม ในแง่ของปริมาณสี่อย่างนี้เพียงอย่างเดียวค่าเฉลี่ยโดยรวมของข้อมูลคืออะไร?

แอปพลิเคชั่นอื่น ๆ จะสรุปจากความแปรปรวน, ความเบี่ยงเบนมาตรฐาน, เมทริกซ์ความแปรปรวนร่วม, ความเบ้และสถิติหลายตัวแปร และอาจเกี่ยวข้องกับกลุ่มข้อมูลย่อยหลายกลุ่ม โปรดสังเกตว่าปริมาณเหล่านี้จำนวนมากเป็นการรวมกันของช่วงเวลาที่ค่อนข้างซับซ้อนเช่นค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานคือรากที่สองของการรวมกำลังสองของช่วงเวลาแรกและช่วงที่สอง (หมายถึงค่าเฉลี่ยและกำลังสอง)

กรณีดังกล่าวทั้งหมดจะได้รับการจัดการอย่างง่ายดายโดยลดช่วงเวลาที่แตกต่างกันเป็นผลรวมเนื่องจากผลรวมจะเห็นได้ชัดและรวมกันได้ง่าย: พวกเขาจะถูกเพิ่ม ในทางคณิตศาสตร์มันลงมาที่นี่: คุณมีชุดข้อมูลที่ถูกแยกออกเป็นกลุ่มขนาดที่แยกกัน:x_n) ขอเรียกTH กลุ่ม1}}) ตามคำนิยามที่THช่วงเวลาของชุดของข้อมูลใด ๆเป็นค่าเฉลี่ยของ $X = (x_1, x_2, \ldots, x_n)$ $j_1, j_2, \ldots, j_g$ $(x_1, x_2, \ldots, x_{j_1}; x_{j_1+1}, \ldots, x_{j_1+j_2}; x_{j_1+j_2+1}, \ldots; \ldots; \ldots, x_n)$ $i$ $X_{(i)} = (x_{j_i+1},x_{j_i+2}, \ldots, x_{j_{i+1}})$ $k$ $y_1, \ldots, y_j$ $k$ พลังที่

μ_{k} (y) = (y_{1}^{k} + y_{2}^{k} + \dots + y_{j}^{k}) / j .

$\mu_k(y) = \left(y_1^k + y_2^k + \cdots + y_j^k\right)/j.$

เห็นได้ชัดว่าเป็นผลรวมของพลังที่ดังนั้นเมื่ออ้างถึงการสลายตัวของข้อมูลก่อนหน้าของเราออกเป็นกลุ่มย่อยเราสามารถแบ่งผลรวมของกำลังเป็นกลุ่มผลรวมได้รับ $j \mu_k(y)$ $k$ $g$ $n$

\begin{aligned} n μ_{k} (X) & = (x_{1}^{k} + x_{2}^{k} + \dots + x_{n}^{k}) \\ = (x_{1}^{k} + x_{2}^{k} + \dots + x_{j_{1}}^{k}) + \dots + (x_{j_{1} + \dots + j_{g - 1} + 1}^{k} + x_{j_{1} + \dots + j_{g - 1} + 2}^{k} + \dots + x_{n}^{k}) \\ = j_{1} μ_{k} (X_{(1)}) + j_{2} μ_{k} (X_{(2)}) + \dots + j_{g} μ_{k} (X_{(g)}) . \end{aligned}

$\eqalign{ n \mu_k(X) &= \left(x_1^k + x_2^k + \cdots + x_n^k\right) \\ &= \left(x_1^k + x_2^k + \cdots + x_{j_1}^k\right) + \cdots + \left(x_{j_1+\cdots+j_{g-1}+1}^k + x_{j_1+\cdots+j_{g-1}+2}^k + \cdots + x_n^k\right)\\ &= j_1 \mu_k(X_{(1)}) + j_2 \mu_k(X_{(2)}) + \cdots + j_g \mu_k(X_{(g)}). }$

การหารด้วยแสดงช่วงเวลาที่ของกลุ่มทั้งหมดในรูปของช่วงเวลาที่ของกลุ่มย่อย $n$ $k$ $k$

ในแอปพลิเคชั่นปัจจุบันรายการในเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมเป็นแน่นอนความแปรปรวนร่วมซึ่งมีความชัดเจนในแง่ของช่วงเวลาที่สองหลายตัวแปรและช่วงเวลาแรก ส่วนสำคัญของการคำนวณมาถึงสิ่งนี้:ในแต่ละขั้นตอนคุณจะต้องมุ่งเน้นไปที่สององค์ประกอบเฉพาะของข้อมูลหลายตัวแปรของคุณ ขอเรียกว่าและy ที่หมายเลขที่คุณกำลังดูอยู่ในแบบฟอร์ม $x$ $y$

((x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), \dots, (x_{n}, y_{n})),

$((x_1,y_1), (x_2,y_2), \ldots, (x_n,y_n)),$

แตกออกเป็นกลุ่มสำหรับแต่ละกลุ่มที่คุณรู้ว่าผลรวมเฉลี่ยของผลิตภัณฑ์ของ : นี่คือช่วงเวลาหลายตัวแปร{(1,1)} ที่จะรวมค่ากลุ่มเหล่านี้คุณจะคูณพวกเขาโดยขนาดของกลุ่มเพิ่มขึ้นผลลัพธ์เหล่านั้นและแบ่งทั้งหมดโดยn $g$ $x_iy_i$ $(1,1)$ $\mu_{(1,1)}$ $n$

ในการใช้วิธีการนี้คุณต้องคิดล่วงหน้า : เป็นไปไม่ได้ที่จะรวมพูดถึงความแปรปรวนร่วมถ้าคุณรู้เพียงขนาดความแปรปรวนร่วมและขนาดกลุ่มย่อย: คุณจำเป็นต้องรู้ถึงวิธีการของกลุ่มย่อยด้วย ในสูตรความแปรปรวนร่วมทั้งหมด) หรือบางสิ่งบางอย่างเกี่ยวกับพีชคณิตลดวิธีการ คุณอาจต้องระมัดระวังเกี่ยวกับค่าคงที่ที่ปรากฏในสูตร หัวหน้ากับดักสำหรับเลินเล่อจะสับสน "ตัวอย่างความแปรปรวนร่วม" (ซึ่งเกี่ยวข้องกับผลรวมของผลิตภัณฑ์หารด้วย ) กับ "ประชากรความแปรปรวนร่วม" (ซึ่งส่วนคือ ) สิ่งนี้ไม่ได้แนะนำอะไรใหม่ คุณต้องจำไว้ว่าให้คูณความแปรปรวนร่วมตัวอย่างด้วย (หรือความแปรปรวนร่วมกลุ่มด้วย $n-1$ $n$ $n-1$ $j_i-1$ ) เพื่อกู้คืนผลรวมแทนที่จะเป็น (หรือ ) $n$ $j_i$

โอ้ใช่: เกี่ยวกับคำถามปัจจุบัน สูตรที่ให้ไว้ในบทความของ Wikipedia นั้นมีให้ในรูปของความหมายของกลุ่ม (ช่วงเวลาแรก) และผลรวมของกลุ่มผลิตภัณฑ์ ดังที่ฉันได้อธิบายไว้ข้างต้นสิ่งเหล่านี้จะถูกรวมเข้าด้วยกันโดยการเพิ่มพวกเขาและจากนั้นปรับผลลัพธ์ด้วยการหารเพื่อรับโควาเรีย การหารสุดท้ายด้วยจะไม่ปรากฏขึ้น $n$

— whuber
แหล่งที่มา

ฉันสับสนเล็กน้อยเกี่ยวกับคำจำกัดความของช่วงเวลา k-th คุณคิดว่าศูนย์หมายถึงข้อมูลใช่ไหม?

— reschu

@reschu คุณดูเหมือนจะเป็นความคิดของกลางช่วงเวลา เพื่อให้แน่ใจว่าโพสต์นี้จะเข้าใจอย่างถูกต้องฉันกำหนดสิ่งที่ฉันหมายถึงโดย "สักครู่" คำจำกัดความปรากฏขึ้นก่อนสูตรแรก

k^{th}

$k^\text{th}$

— whuber

อาจไม่ดี! ฉันกำลังผสมช่วงเวลา 'ศูนย์กลาง' และ 'ดิบ' ขอบคุณสำหรับการชี้แจง!

— reschu

ฉันคิดว่า "รู้วิธีการขนาดกลุ่มย่อย" ในวรรคสุดท้ายควรอ่าน "เพื่อทราบความหมายของกลุ่มย่อย" แทน? (ฉันลังเลที่จะแก้ไขด้วยตัวเองเนื่องจากฉันไม่ได้สนใจที่จะศึกษาคำตอบอย่างระมัดระวัง)

— Juho Kokkala

@Juho คุณค่อนข้างถูกต้อง ขอบคุณที่สังเกตว่า!

— whuber