ฟังก์ชันการสร้างช่วงเวลาของผลิตภัณฑ์ภายในของเวกเตอร์สุ่มเกาส์สองตัว

ใครช่วยได้โปรดแนะนำว่าฉันจะคำนวณฟังก์ชันสร้างโมเมนต์ของผลิตภัณฑ์ภายในของเวกเตอร์สุ่มแบบเกาส์สองตัวได้อย่างไรแต่ละแบบกระจายเป็นเป็นอิสระจากกัน? มีผลลัพธ์มาตรฐานสำหรับสิ่งนี้ไหม ตัวชี้ใด ๆ ที่ชื่นชมอย่างมาก$\mathcal N(0,\sigma^2)$

ที่อยู่ปล่อยให้คนแรกของกรณี{I} ในตอนท้ายคือ (ง่าย) ทั่วไปเพื่อพล\$\Sigma = \sigma\mathbb{I}$$\Sigma$

เริ่มต้นด้วยการสังเกตผลิตภัณฑ์ด้านในคือผลรวมของตัวแปร iid ซึ่งแต่ละตัวเป็นผลคูณของตัวแปรอิสระสองตัวซึ่งจะช่วยลดคำถามในการค้นหา mgf ของหลังเนื่องจาก mgf ของผลรวมคือ ผลิตภัณฑ์ของ mgfs$(0,\sigma)$

mgf สามารถพบได้โดยการรวม แต่มีวิธีที่ง่ายกว่า เมื่อและเป็นมาตรฐานปกติ$X$$Y$

$$XY = ((X+Y)/2)^2 - ((X-Y)/2)^2$$

เป็นความแตกต่างของ Chi-squared ที่ปรับขนาดได้อิสระสองแบบ (สเกลแฟกเตอร์คือเนื่องจากความแปรปรวนของเท่ากับ .) เนื่องจาก mgf ของตัวแปรไคสแควร์คือ , mgf ของเป็นและศูนย์การค้า MGF ของ เป็นomega} คูณเราจะพบว่าที่ต้องการ MGF เท่ากับ2}$1/2$$(X\pm Y)/2$$1/2$$1/\sqrt{1 - 2\omega}$$((X+Y)/2)^2$$1/\sqrt{1-\omega}$$-((X-Y)/2)^2$$1/\sqrt{1+\omega}$$1/\sqrt{1-\omega^2}$

(สำหรับการอ้างอิงในภายหลังให้สังเกตว่าเมื่อและรับการปรับลดโดยผลิตภัณฑ์ของตนจะถูกปรับตามซึ่งควรปรับขนาดโดยด้วย)$X$$Y$$\sigma$$\sigma^2$$\omega$$\sigma^2$

สิ่งนี้ควรดูคุ้นเคย:ขึ้นกับปัจจัยคงที่และเครื่องหมายดูเหมือนว่าความหนาแน่นของความน่าจะเป็นสำหรับการแจกแจงแบบนักเรียนด้วยองศาอิสระ (อันที่จริงถ้าเราได้รับการทำงานที่มีลักษณะการทำงานแทนการ mgfs เราจะได้รับซึ่งเป็นได้ใกล้ชิดกับนักศึกษาเสื้อ PDF.) ไม่เคยคิดว่าไม่มีสิ่งดังกล่าว ในฐานะนักเรียนที่มี dfs - สิ่งที่สำคัญก็คือ mgf จะวิเคราะห์ในละแวกที่และสิ่งนี้ชัดเจนว่าเป็น (โดยทฤษฎีบททวินามอล)$0$$1/\sqrt{1 + \omega^2}$$0$$0$

ตามมาทันทีที่การกระจายตัวของผลิตภัณฑ์ภายในของ iid Gaussian -vector มี mgf เท่ากับผลิตภัณฑ์ fold ของ mgf นี้$n$$n$

$$(1 - \omega^2 \sigma^4)^{-n/2}, \quad n=1, 2, \ldots.$$

โดยการค้นหาฟังก์ชั่นลักษณะของการแจกแจงแบบ t เราจะอนุมาน (ด้วยพีชคณิตเล็ก ๆ หรือการรวมเข้าด้วยกันเพื่อหาค่าคงที่ normalizing) ที่ PDF นั้นได้รับจาก

$$f_{n,\sigma}(x) = \frac{2^{\frac{1-n}{2}} |x|^{\frac{n-1}{2}} K_{\frac{n-1}{2}}\left(\frac{|x|}{\sigma ^2}\right)}{\sqrt{\pi } \sigma ^4 \Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}$$

(เป็นฟังก์ชัน Bessel)$K$

ตัวอย่างเช่นนี่คือพล็อตของ PDF ที่ถูกวางทับบนฮิสโตแกรมของตัวอย่างแบบสุ่มของผลิตภัณฑ์ภายในเช่นที่และ :$10^5$$\sigma=1/2$$n=3$

มันยากที่จะยืนยันความถูกต้องของ mgf จากการจำลอง แต่ทราบ (จากทฤษฎีบททวินาม)

$$(1 + t^2 \sigma^4)^{-3/2} = 1-\frac{3 \sigma ^4 t^2}{2}+\frac{15 \sigma ^8 t^4}{8}-\frac{35 \sigma ^{12} t^6}{16}+\frac{315 \sigma ^{16} t^8}{128}+\ldots,$$

จากที่เราอาจอ่านออกช่วงเวลา (หารด้วย factorials) เนื่องจากความสมมาตรประมาณเพียงช่วงเวลาสำคัญเท่านั้น สำหรับเราได้รับค่าต่อไปนี้เพื่อเปรียบเทียบกับช่วงเวลาดิบของการจำลองนี้:$0$$\sigma=1/2$

 k    mgf           simulation/k!
 2    0.09375       0.09424920
 4    0.00732422    0.00740436
 6    0.00053406    0.00054128
 8    0.00003755    0.00003674
10    2.58 e-6      2.17 e-6

ตามที่คาดไว้ช่วงเวลาสูงของการจำลองจะเริ่มแยกย้ายจากช่วงเวลาที่กำหนดโดย mgf แต่อย่างน้อยก็ในช่วงเวลาที่สิบมีข้อตกลงที่ยอดเยี่ยม

---

อนึ่งเมื่อการแจกแจงจะแจกแจงแบบสองทาง$n=2$

---

เพื่อจัดการกรณีทั่วไปให้เริ่มต้นโดยสังเกตว่าผลิตภัณฑ์ภายในเป็นวัตถุที่ไม่ขึ้นอยู่กับพิกัด เราอาจใช้แนวทางหลัก (eigenvectors) ของเป็นพิกัด ในพิกัดเหล่านี้ผลิตภัณฑ์ภายในคือผลรวมของผลิตภัณฑ์อิสระของตัวแปรอิสระอิสระแต่ละส่วนประกอบที่กระจายด้วยความแปรปรวนเท่ากับค่าลักษณะเฉพาะที่เกี่ยวข้อง ดังนั้นปล่อยให้ค่าลักษณะเฉพาะไม่ใช่ศูนย์ (ด้วย ) mgf จะต้องเท่ากัน$\Sigma$$\sigma_1^2, \sigma_2^2, \ldots, \sigma_d^2$$0 \le d \le n$

$$\left(\prod_{i=1}^d (1 - \omega^2\sigma_i^4)\right)^{-1/2}.$$

เพื่อยืนยันว่าฉันไม่ได้ทำผิดในเหตุผลนี้ฉันจึงทำตัวอย่างที่เป็นเมทริกซ์$\Sigma$

$$\left( \begin{array}{ccc} 1 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{8} \\ \frac{1}{2} & 1 & -\frac{1}{4} \\ -\frac{1}{8} & -\frac{1}{4} & \frac{1}{2} \end{array} \right)$$

และคำนวณว่าค่าลักษณะเฉพาะของมันคืออะไร

$$\left(\sigma_1^2, \sigma_2^2, \sigma_3^2\right) = \left(\frac{1}{16} \left(17+\sqrt{65}\right),\frac{1}{16} \left(17-\sqrt{65}\right),\frac{3}{8}\right)\approx \left(1.56639,0.558609,0.375\right).$$

มันเป็นไปได้ที่จะคำนวณ PDF โดยการประเมินตัวเลขการแปลงฟูริเยร์ของฟังก์ชั่นลักษณะ (ดังที่ได้จากสูตร mgf ที่ให้ไว้ที่นี่): พล็อตของ PDF นี้แสดงในรูปต่อไปนี้เป็นเส้นสีแดง ในเวลาเดียวกันผมสร้าง IID variatesจากปกติการจัดจำหน่ายและอีก IID variatesในทางเดียวกันและคำนวณผลิตภัณฑ์ dotY_i พล็อตแสดงฮิสโตแกรมของผลิตภัณฑ์จุดเหล่านี้ (ไม่รวมค่าสุดขีดบางอย่าง - ช่วงคือถึง ):$10^6$$X_i$$(0,\Sigma)$$10^6$$Y_i$$10^6$$X_i\cdot Y_i$$-12$$15$

เมื่อก่อนข้อตกลงนั้นยอดเยี่ยม นอกจากนี้ช่วงเวลาที่เข้ากันได้ดีกับอันดับแปดและดีพอสมควรแม้ในสิบ:

 k    mgf           simulation/k!
 2     1.45313       1.45208
 4     2.59009       2.59605
 6     5.20824       5.29333
 8    11.0994       11.3115
10    24.4166       22.9982

---

ภาคผนวก

(เพิ่ม 9 สิงหาคม 2556)

$f_{n,\sigma}$เป็นตัวอย่างของการแจกแจงความแปรปรวน - แกมม่าซึ่ง แต่เดิมถูกกำหนดให้เป็น "ส่วนผสมความแปรปรวน - ค่าเฉลี่ยปกติที่ความหนาแน่นในการผสมคือการแจกแจงแกมม่า" มันมีที่ตั้งมาตรฐาน ( ), พารามิเตอร์แบบไม่สมมาตรของ (เป็นสมมาตร), พารามิเตอร์สเกล , และพารามิเตอร์รูปร่าง (ตามพารามิเตอร์ของ Wikipedia)$0$$0$$\sigma^2$$n/2$