เมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมสำหรับการแจกแจงแบบเกาส์และ Wishart

ฉันกำลังอ่านบทความนี้เกี่ยวกับกระบวนการ Wishart ทั่วไป (GWP) กระดาษคำนวณความแปรปรวนร่วมระหว่างตัวแปรสุ่มที่แตกต่างกัน (ตามกระบวนการ Gaussian ) โดยใช้ฟังก์ชันความแปรปรวนแบบยกกำลังสองกำลังสองคือขวา) มันบอกว่าเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมนี้ติดตาม GWP $K(x,x') = \exp\left(-\frac{|(x-x')|^2}{2l^2}\right)$

ฉันเคยคิดว่าเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมที่คำนวณจากฟังก์ชันความแปรปรวนเชิงเส้นตรง ( ) $K(x,x') = x^Tx'$ ตามการแจกแจง Wishart ด้วยพารามิเตอร์ที่เหมาะสม

คำถามของฉันคือเราจะยังคงสมมติว่าความแปรปรวนร่วมเป็นไปตามการกระจายของ Wishart ด้วยฟังก์ชันความแปรปรวนแบบยกกำลังสองได้อย่างไร โดยทั่วไปแล้วเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับฟังก์ชันความแปรปรวนร่วมในการผลิตเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วม Wishart คืออะไร?

— steadyfish
แหล่งที่มา

สิ่งที่ผสมกันคือข้อกำหนดความแปรปรวนร่วมในแง่ของพื้นที่โดยรอบซึ่งกระบวนการแบบเกาส์กำหนดไว้และการดำเนินการที่เปลี่ยนตัวแปรสุ่มแบบเกาส์มิติแบบ จำกัด เพื่อให้เกิดการกระจายแบบ Wishart

ถ้าคือมิติแบบเกาส์ตัวแปรสุ่ม (คอลัมน์เวกเตอร์) ที่มีค่าเฉลี่ย 0 และแปรปรวนเมทริกซ์การกระจายของคือการกระจายริชาร์ต1) โปรดทราบว่าเป็นเมทริกซ์นี่เป็นผลลัพธ์ทั่วไปเกี่ยวกับวิธีที่รูปแบบสมการ กำลังสอง แปลงการแจกแจงแบบเกาส์เป็นการกระจายแบบ Wishart มันถือสำหรับทางเลือกของการบวกเมทริกซ์แน่นอนแปรปรวนใด ๆ\หากคุณมีการสังเกตการณ์ของ id $\mathbf{X} \sim \mathcal{N}(0, \Sigma)$ $p$ $\Sigma$ $\mathbf{W} = \mathbf{X} \mathbf{X}^T$ $W_p(\Sigma, 1)$ $\mathbf{W}$ $p \times p$

x \mapsto x x^{T}

$\mathbf{x} \mapsto \mathbf{x} \mathbf{x}^T$

Σ

$\Sigma$

X_{1}, \dots, X_{n}

$\mathbf{X}_1, \ldots, \mathbf{X}_n$ แล้วด้วยการกระจายของ เป็น Wishartกระจาย หารด้วยเราได้รับความแปรปรวนเมทริกซ์เชิงประจักษ์การประมาณการของ\

W_{i} = X_{i} X_{i}^{T}

$\mathbf{W}_i = \mathbf{X}_i \mathbf{X}_i^T$

W_{1} + \dots + W_{n}

$\mathbf{W}_{1} + \ldots + \mathbf{W}_n$

W_{p} (Σ, n)

$W_p(\Sigma, n)$

n

$n$

-

$-$

Σ

$\Sigma$

สำหรับกระบวนการแบบเกาส์นั้นมีพื้นที่รอบข้างสมมติว่าเป็นภาพประกอบเช่นนั้นตัวแปรสุ่มที่พิจารณาถูกทำดัชนีโดยองค์ประกอบในพื้นที่รอบข้าง นั่นคือเราจะพิจารณากระบวนการ{R}} มันคือเกาส์ (และเพื่อความง่ายนี่หมายถึง 0) ถ้าขอบเขตการแจกแจงมิติเป็นเกาส์นั่นคือถ้า สำหรับทุก{R} ทางเลือกของฟังก์ชันความแปรปรวนร่วมตามที่กล่าวไว้โดย OP กำหนดเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมนั่นคือ $\mathbb{R}$ $(X(x))_{x \in \mathbb{R}}$

X (x_{1}, \dots, x_{p}) := (X (x_{1}), \dots, X (x_{p}))^{T} \sim N (0, Σ (x_{1}, \dots, x_{p}))

$\mathbf{X}(x_1, \ldots, x_p) := (X(x_1), \ldots, X(x_p))^T \sim \mathcal{N}(0, \Sigma(x_1, \ldots, x_p))$

x_{1}, \dots, x_{p} \in R

$x_1, \ldots, x_p \in \mathbb{R}$

cov (X (x_{i}), X (x_{j})) = Σ (x_{1}, \dots, x_{p})_{i, j} = K (x_{i}, x_{j}) .

$\text{cov}(X(x_i), X(x_j)) = \Sigma(x_1, \ldots, x_p)_{i,j} = K(x_i, x_j).$ การไม่คำนึงถึงทางเลือกของการกระจายของ จะเป็น Wishart -distribution

K

$K$

X (x_{1}, \dots, x_{p}) X (x_{1}, \dots, x_{p})^{T}

$\mathbf{X}(x_1, \ldots, x_p) \mathbf{X}(x_1, \ldots, x_p)^T$

W_{p} (Σ (x_{1}, \dots, x_{p}), 1)

$W_p(\Sigma(x_1, \ldots, x_p), 1)$

— NRH
แหล่งที่มา

ขอบคุณที่ตอบคำถามนี้ ฉันมีคำถามสองสามข้อ คำตอบของคุณเมื่อคุณพูดว่าการแปลงที่แปลง Gaussian dist เป็น Wishart dist ถือสำหรับตัวเลือกใด ๆ ของเมทริกซ์โคเวย์ + ve + แน่นอนเรามีตัวเลือกอะไรที่แตกต่างกันสำหรับเมทริกซ์โควานี้? นอกจากนี้เพื่อชี้แจง - สำหรับ cov matrix ที่กำหนดโดยฟังก์ชัน cov, i และ j ระบุองค์ประกอบในอวกาศโดยรอบของ Gaussian Process (เช่นถ้ามันเป็นกระบวนการชั่วคราวดังนั้นเวลา instants t_1 และ t_2)?

— steadyfish

@ Steadyfish ใช่ดัชนีและอ้างถึงคะแนนและในพื้นที่โดยรอบและสำหรับกระบวนการทางโลกถึงเวลาสองจุด เมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมเป็นบวกแน่นอน (กึ่ง) เสมอ สูตรไม่ได้มีวัตถุประสงค์เพื่อ จำกัด ผลในทางใดทางหนึ่ง แต่จะเน้นว่ามันมีไว้สำหรับการเลือกตราบใดที่เป็นเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วม ฉันทิ้งความเป็นไปได้ที่อาจจะเป็นแบบ semidefinite เพื่อหลีกเลี่ยงความยุ่งเหยิงกับปัญหาที่ไม่เกี่ยวข้องกับการแจกแจงแบบปกติเอกพจน์ ฯลฯ

i

$i$

j

$j$

x_{i}

$x_i$

x_{j}

$x_j$

Σ

$\Sigma$

-

$-$

Σ

$\Sigma$

Σ

$\Sigma$

— NRH

ขอบคุณ @NRH ฉันได้รับจุดเกี่ยวกับพื้นที่โดยรอบ คำถามเกี่ยวกับความแปรปรวนร่วม Covariance คำถามของฉันคือว่ามีวิธีอื่นในการกำหนดเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมนอกเหนือจาก (และไม่เกี่ยวกับคุณสมบัติเชิงบวกแน่นอนหรือเชิงบวกเชิงบวก) (ฉันหวังว่าคำถามจะชัดเจนในเวลานี้!)

x^{T} x

$x^{T}x$

— ปลากระพง

@ Steadyfish โอ้ฉันเข้าใจแล้ว ในความเป็นจริงฉันยุ่งกับการถ่ายโอนและว่าเวกเตอร์เป็นเวกเตอร์แถวหรือคอลัมน์ ตอนนี้ฉันได้ทำไปอย่างแม่นยำและเพิ่มความสัมพันธ์ระหว่างเมทริกซ์ความแปรปรวนเชิงประจักษ์กับเมทริกซ์ความแปรปรวนเชิงทฤษฎีเพียงเล็กน้อย ในทางทฤษฎีไม่ได้กำหนดไว้ในแง่ของการสังเกต

— NRH