จำนวนที่คาดหวังของการทำซ้ำ (triplicates ฯลฯ ) เมื่อวาดด้วยการแทนที่

ฉันมีปัญหาดังต่อไปนี้:

ฉันมี 100 รายการที่ไม่ซ้ำกัน (n) และฉันเลือก 43 (m) ของพวกเขาทีละรายการ (มีการแทนที่)

ฉันจำเป็นต้องแก้ปัญหาสำหรับจำนวนที่ไม่ซ้ำกันที่คาดหวัง (เลือกเพียงครั้งเดียว, k = 1), คู่ผสม (เลือกอย่างแน่นอนสองครั้ง k = 2), tripples (ตรง k = 3), ล่าม ฯลฯ ...

ฉันสามารถค้นหาผลลัพธ์มากมายเกี่ยวกับความน่าจะเป็นที่มีอย่างน้อยหนึ่งคู่ (วันเกิดความขัดแย้ง) แต่ไม่ได้อยู่ในจำนวนคู่ที่คาดหวังในประชากร

probability expected-value birthday-paradox

— Kaitlyn K
แหล่งที่มา

ประมาณการของ Monte Carlo จะเป็นประโยชน์กับคุณหรือคุณต้องการคำตอบในรูปแบบปิดหรือไม่?

— David J. Harris

ฉันต้องการสูตรรูปแบบปิดดังนั้นฉันสามารถนำไปใช้กับค่าต่างๆของ n, m และ k ได้อย่างง่ายดาย

— Kaitlyn K

iTerm จะถูกเลือกครั้ง จากนี้คุณสามารถค้นหาปริมาณทั้งหมดที่คุณต้องการเช่น ตัวอย่างเช่นจำนวนคู่ที่คาดไว้ถูกกำหนดโดย $i^{th}$ $\text{Binom}(m, \, 1/n)$

E [number of  pairs] = \sum_{i = 1}^{n} P [i^{t h} item appears twice]

$\mathbb{E}[\text{number of pairs}] = \sum_{i = 1}^n \mathbb{P}[i^{th} \text{ item appears twice}]$

n \cdot P [Binom (m, 1 / n) = 2] .

$n \cdot \mathbb{P}[\text{Binom}(m, \, 1/n) = 2].$

คุณสามารถรับค่าตัวเลขใน R ด้วยคำสั่ง n * dbinom (k, m, 1 / n)

— Stefan Wager
แหล่งที่มา

สามารถใช้สูตรนั้นสำหรับ ak = 0 หรือ 1 ได้หรือไม่

— Kaitlyn K

ใช่มันสามารถ ด้วย k = 0 คุณสามารถตีความได้ว่า `มีกี่คะแนนที่จะไม่ปรากฏในบรรดารายการที่เลือก '

— Stefan Wager

แต่เหตุการณ์เหล่านี้ไม่เป็นอิสระ เช่นเมื่อรายการ 1 ปรากฏ m คูณดังนั้นจะไม่มีรายการอื่นปรากฏขึ้น คุณไม่สามารถเพิ่มค่า P

— asterix314