ค่าที่คาดหวังและความแปรปรวนของบันทึก (ก)

ฉันมีตัวแปรสุ่มที่เป็นปกติกระจาย2) สิ่งที่ฉันสามารถพูดเกี่ยวกับและ ? การประมาณจะเป็นประโยชน์เช่นกัน $X(a) = \log(a)$ $\mathcal N(\mu,\sigma^2)$ $E(X)$ $Var(X)$

— rocksportrocker
แหล่งที่มา

ฉันคิดว่าคำถามเกี่ยวกับ "ผกผัน" ของบันทึกปกติคือที่ rv A ปกตินำไปสู่บันทึกปกติ X = exp (A) ผู้ถามถามเกี่ยวกับการกระจายของ X = บันทึก (A) ซึ่ง ไม่ได้ถูกกำหนด (เนื่องจากบางครั้งต้องการบันทึกของจำนวนลบ) อาจมีผลลัพธ์บางอย่างสำหรับการตัดทอนปกติ แต่พวกเขาน่าจะยุ่ง

— Martin O'Leary

rocksportrocker เนื่องจาก @Martin O'Leary ชี้ว่ามันเป็นไปไม่ได้ในทางคณิตศาสตร์ที่จะมีตัวแปรเนื่องจากไม่ได้กำหนดไว้สำหรับค่าลบ อย่างน้อยคุณต้องตัดทอนที่ไม่ใช่ค่าลบ คุณสามารถบอกเราว่าทำไมคุณเชื่ออาจจะเป็นปกติ?

X

$X$

\log (a)

$\log(a)$

a

$a$

a

$a$

— whuber

หากเราพิจารณา "การประมาณ" ในความหมายโดยทั่วไปเราสามารถหาที่ไหนสักแห่ง

เราต้องสมมติไม่ใช่ว่าเรามีการแจกแจงแบบปกติจริง ๆ แต่สิ่งที่ประมาณปกติยกเว้นความหนาแน่นไม่สามารถไม่ใช่ศูนย์ในย่าน 0

ดังนั้นขอบอกว่าเป็น "ปกติประมาณ" (และเข้มข้นใกล้ * ค่าเฉลี่ย) ในความรู้สึกว่าเราสามารถ handwave ไล่ความกังวลเกี่ยวกับการมาใกล้ 0 (และผลกระทบที่ตามมาในช่วงเวลาของเพราะไม่ได้ 'ได้รับการลงใกล้ 0') แต่แบบเดียวกับช่วงเวลาเพื่อที่ต่ำที่สุดเท่าที่กระจายปกติที่ระบุแล้วเราสามารถใช้ชุดเทย์เลอร์ที่ใกล้เคียงกับช่วงเวลาของตัวแปรสุ่มเปลี่ยน $a$ $a$ $\log(a)$ $a$

สำหรับบางคนการเปลี่ยนแปลงนี้เกี่ยวข้องกับการขยายเป็นซีรีส์เทย์เลอร์ (คิดที่คือการบทบาทของ ' ' และใช้เวลา บทบาทของ ' ') จากนั้นรับความคาดหวังจากนั้นคำนวณความแปรปรวนหรือความคาดหวังของกำลังสองของการขยายตัว (ซึ่งสามารถรับความแปรปรวนได้) $g(X)$ $g(\mu_X + X-\mu_X)$ $g(x+h)$ $\mu_X$ $x$ $X-\mu_X$ $h$

ผลลัพธ์โดยประมาณที่คาดหวังและความแปรปรวนคือ:

$\text{E}\left[g(X)\right]\approx g(\mu_X) +\frac{g''(\mu_X)}{2}\sigma_X^2$ และ

$\text{Var}\left[g(X)\right]\approx \left(g'(\mu_X)\right)^2\sigma^2_X$

และ (ถ้าฉันไม่ได้ทำผิดพลาด) เมื่อ : $g() = \log()$

E [\log (a)] \approx l o g (μ_{a}) - \frac{σ_{a}^{2}}{2 μ_{a}^{2}}

$\text{E}\left[\log(a)\right]\approx log(\mu_a) -\frac{\sigma_a^2}{2\mu_a^2}$

Var [\log (a)] \approx σ_{a}^{2} / μ_{a}^{2}

$\text{Var}\left[\log(a)\right]\approx \sigma^2_a/\mu_a^2$

* เพื่อเป็นการประมาณที่ดีโดยทั่วไปคุณต้องการค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของจะค่อนข้างเล็กเมื่อเทียบกับค่าเฉลี่ย (สัมประสิทธิ์การเปลี่ยนแปลงต่ำ) $a$

— Glen_b -Reinstate Monica
แหล่งที่มา

เนื่องจากชุด Taylor สำหรับบันทึกมีรัศมีการบรรจบค่อนข้างน้อยขอแนะนำให้ใช้ความระมัดระวังในการใช้การประมาณเหล่านี้

— whuber

@whuber สำหรับการขยายตัวเฉลี่ยฉันคิดว่านี่จะสอดคล้องกับคำแนะนำว่า "ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของควรจะค่อนข้างเล็กเมื่อเทียบกับค่าเฉลี่ย" ที่คำตอบของฉันจบลงด้วย - ถ้าฉันขาดบางประเด็นเพิ่มเติมที่คำแนะนำนั้น ไม่ครอบคลุมฉันควรแก้ไขคำตอบของฉัน

a

$a$

— Glen_b -Reinstate Monica

การประมาณค่าเฉลี่ยนั้นทำได้ค่อนข้างดีสำหรับและสำหรับความแปรปรวนทำงานได้ค่อนข้างดีสำหรับหรือมากกว่านั้น

μ / σ > 1.5

$\mu/\sigma \gt 1.5$

μ / σ > 2.5

$\mu/\sigma \gt 2.5$

— whuber

ไม่ว่าในกรณีใดมันก็คุ้มค่าที่จะต้องชัดเจนว่าเรากำลังพึ่งพาการลู่เข้าของทางอ้อม(เนื่องจาก ) ขอบคุณสำหรับค่าที่แนะนำอย่างชัดเจน หากมีสิ่งใดที่ฉันอาจ overcautious เล็กน้อยเมื่อฉันใช้มัน สองความคิดเห็นที่มีค่า

\ln (1 + x)

$\ln(1+x)$

\ln (μ + y - μ) = \ln [μ {1 + (y - μ) / μ}] = \ln (μ) + \ln [1 + (y - μ) / μ]

$\ln(\mu + y-\mu) = \ln[\mu\{1 + (y - \mu)/\mu\}] = \ln(\mu) + \ln[1 + (y - \mu)/\mu]$

— Glen_b -Reinstate Monica