ปรับปรุง
ฉันประเมินการขยายตัวของเทย์เลอร์ต่ำเกินไป พวกเขาใช้งานได้จริง ฉันคิดว่าส่วนที่เหลือของคำที่เหลือสามารถถูก จำกัด ได้ แต่ด้วยการทำงานเพียงเล็กน้อยก็สามารถแสดงให้เห็นว่านี่ไม่ใช่กรณี
การขยายตัวของเทย์เลอร์ใช้งานได้กับฟังก์ชั่นในช่วงเวลาปิดล้อมรอบ สำหรับตัวแปรสุ่มที่มีความแปรปรวน จำกัด Chebyshevให้ความไม่เท่าเทียมกัน
P( | X- EX| >c)≤ VR ( X)ค
ดังนั้นสำหรับการใด ๆเราสามารถหาขนาดใหญ่พอเพื่อให้cε > 0ค
P( X∈ [ EX- c , EX+ c ] ) = P( | X- EX| ≤c)<1-ε
แรกให้เราประเมิน(X) เรามี
ที่เป็นฟังก์ชั่นการจัดจำหน่ายxE f ( X ) = ∫ | x - E X | ≤ c f ( x ) d F ( x ) + ∫ | x - E X | > c f ( x ) d F ( x ) F ( x ) XEฉ( X)
Eฉ( X) = ∫| x-EX| ≤cฉ( x ) dF( x ) + ∫| x-EX| >cฉ( x ) dF( x )
F( x )X
เนื่องจากโดเมนของอินทิกรัลแรกคือช่วงเวลาซึ่งล้อมรอบช่วงเวลาปิดเราสามารถใช้การขยายเทย์เลอร์:
ที่ , และความเท่าเทียมกันถือสำหรับทุกC] ฉันใช้เวลาแค่ 4 เทอมในการขยายเทย์เลอร์ แต่โดยทั่วไปเราสามารถรับได้มากเท่าที่เราต้องการตราบใดที่ฟังก์ชั่นราบรื่นพอf ( x ) = f ( E X ) + f ′ ( E X ) ( x - E X ) + f ″ ( E X )[ EX- c , EX+ c ]อัลฟ่า∈[EX-C,EX+C]x∈[EX-C,EX+C]ฉ
ฉ( x ) = f( EX) + f'( EX) ( x - EX) + f''( EX)2( x - E)X)2+ f'' '( α )3( x - E)X)3
อัลฟ่า∈ [ EX- c , EX+ c ]x ∈ [ EX- c , EX+ c ]ฉ
การแทนที่สูตรนี้เป็นสูตรก่อนหน้านี้ที่เราได้รับ
Eฉ( X)= ∫| x-EX| ≤cฉ( EX) + f'( EX) ( x - EX) + f''( EX)2( x - E)X)2dF( x )+ ∫| x-EX| ≤cฉ'' '( α )3( x - E)X)3dF( x ) + ∫| x-EX| >cฉ( x ) dF( x )
ตอนนี้เราสามารถเพิ่มโดเมนของการรวมเพื่อรับสูตรต่อไปนี้
Eฉ( X)= f( EX) + f''( EX)2E( X- EX)2+ R3
โดยที่
ขณะนี้ภายใต้เงื่อนไขบางช่วงเวลาเราสามารถแสดงให้เห็นว่าระยะที่สองของคำที่เหลือนี้มีขนาดใหญ่เท่ากับซึ่งมีขนาดเล็ก น่าเสียดายที่เทอมแรกยังคงอยู่ดังนั้นคุณภาพของการประมาณขึ้นอยู่กับและพฤติกรรมของอนุพันธ์อันดับสามของในช่วงเวลาที่ จำกัด ประมาณดังกล่าวควรจะทำงานที่ดีที่สุดสำหรับตัวแปรสุ่มที่มี 0
R3= f'' '( α )3E( X- EX)3++ ∫| x-EX| >c(ฉ( EX) + f'( EX) ( x - EX) + f''( EX)2( x - E)X)2+ f( X) ) dF( x )
P( | X- EX| >c)E( X- EX)3ฉE( X- EX)3= 0
ทีนี้สำหรับความแปรปรวนเราสามารถใช้การประมาณเทย์เลอร์สำหรับ , ลบสูตรสำหรับและลบความแตกต่าง แล้วก็ฉ( x )Eฉ( x )
E(ฉ( x ) - Eฉ(x))2=(f′(EX))2Var(X)+T3
ที่เกี่ยวข้องกับช่วงเวลาที่สำหรับkเราสามารถมาถึงสูตรนี้ได้โดยใช้การขยายเทย์เลอร์ลำดับที่หนึ่งเท่านั้นเช่นการใช้อนุพันธ์อันดับหนึ่งและสองเท่านั้น คำผิดพลาดจะคล้ายกันT3E(X−EX)kk=4,5,6
วิธีอื่นคือขยาย :
f2(x)
f2(x)=f2(EX)+2f(EX)f′(EX)(x−EX)+[(f′(EX))2+f(EX)f′′(EX)](X−EX)2+(f2(β))′′′3(X−EX)3
ในทำนองเดียวกันเราจะได้รับ
ที่คล้ายกับR_3
Ef2(x)=f2(EX)+[(f′(EX))2+f(EX)f′′(EX)]Var(X)+R~3
R~3R3
สูตรสำหรับความแปรปรวนจะกลายเป็น
โดยที่มีช่วงเวลาที่สามขึ้นไป
Var(f(X))=[f′(EX)]2Var(X)−[f′′(EX)]24Var2(X)+T~3
T~3