ความแปรปรวนของฟังก์ชันหนึ่งตัวแปรสุ่ม

ให้บอกว่าเรามีตัวแปรสุ่มมีความแปรปรวนและค่าเฉลี่ยที่รู้จัก คำถามคืออะไรความแปรปรวนของสำหรับบางฟังก์ชั่นที่กำหนด วิธีทั่วไปเท่านั้นที่ฉันรู้คือวิธีเดลต้า แต่ให้เพียงประมาณ ตอนนี้ฉันสนใจในแต่มันก็ดีที่จะรู้วิธีการทั่วไปบางอย่าง $X$ $f(X)$ $f(x)=\sqrt{x}$

แก้ไข 29.12.2010
ฉันได้ทำการคำนวณโดยใช้ซีรี่ส์ Taylor แต่ฉันไม่แน่ใจว่ามันถูกต้องหรือไม่ดังนั้นฉันจึงดีใจถ้ามีคนยืนยันได้

ก่อนอื่นเราต้องประมาณ $E[f(X)]$
$E[f(X)] \approx E[f(\mu)+f'(\mu)(X-\mu)+\frac{1}{2}\cdot f''(\mu)(X-\mu)^2]=f(\mu)+\frac{1}{2}\cdot f''(\mu)\cdot Var[X]$

ตอนนี้เราสามารถประมาณ $D^2 [f(X)]$
$E[(f(X)-E[f(X)])^2] \approx E[(f(\mu)+f'(\mu)(X-\mu)+\frac{1}{2}\cdot f''(\mu)(X-\mu)^2 -E[f(X)])^2]$

การใช้การประมาณของ $E[f(X)]$ เรารู้ว่า $f(\mu)-Ef(x) \approx -\frac{1}{2}\cdot f''(\mu)\cdot Var[X]$

เราใช้สิ่งนี้ได้:
$D^2[f(X)] \approx \frac{1}{4}\cdot f''(\mu)^2\cdot Var[X]^2-\frac{1}{2}\cdot f''(\mu)^2\cdot Var[X]^2 + f'(\mu)^2\cdot Var[X]+\frac{1}{4}f''(\mu)^2\cdot E[(X-\mu)^4] +\frac{1}{2}f'(\mu)f''(\mu)E[(X-\mu)^3]$
$D^2 [f(X)] \approx \frac{1}{4}\cdot f''(\mu)^2 \cdot [D^4 X-(D^2 X)^2]+f'(\mu)\cdot D^2 X +\frac{1}{2}f'(\mu)f''(\mu)D^3 X$

variance random-variable delta-method

— Tomek Tarczynski
แหล่งที่มา

วิธีเดลต้าใช้สำหรับการแจกแจงแบบไม่ระบุชื่อ คุณไม่สามารถใช้เมื่อคุณมีตัวแปรสุ่มเพียงตัวเดียว

— mpiktas

@mpiktas: จริงๆแล้วฉันไม่รู้เกี่ยวกับวิธีเดลต้าฉันเพิ่งอ่านอะไรบางอย่างในวิกิพีเดีย นี่คือคำพูดจากวิกิ: "วิธีการเดลต้าใช้การขยายเทย์เลอร์ลำดับที่สองเพื่อประมาณความแปรปรวนของฟังก์ชันของตัวแปรสุ่มหนึ่งตัวหรือมากกว่า"

— Tomek Tarczynski

ดูเหมือนว่าวิกิพีเดียมีสิ่งที่คุณต้องการ: en.wikipedia.org/wiki/... ฉันจะแก้ไขคำตอบของฉันใหม่ดูเหมือนว่าฉันประเมินการขยายตัวของเทย์เลอร์ต่ำเกินไป

— mpiktas

Tomek ถ้าคุณไม่เห็นด้วยกับการแก้ไขที่ทำ (ไม่ใช่ฉัน) คุณสามารถเปลี่ยนแปลงได้อีกครั้งหรือย้อนกลับหรือเพียงชี้ให้เห็นความแตกต่างและขอคำชี้แจง

— Glen_b -Reinstate Monica

@Glen_b: ฉันเห็นด้วยกับพวกเขา E (X-mu) = 0 ไม่ได้หมายความว่า E [(X-mu) ^ 3] = 0.

— Tomek Tarczynski

ปรับปรุง

ฉันประเมินการขยายตัวของเทย์เลอร์ต่ำเกินไป พวกเขาใช้งานได้จริง ฉันคิดว่าส่วนที่เหลือของคำที่เหลือสามารถถูก จำกัด ได้ แต่ด้วยการทำงานเพียงเล็กน้อยก็สามารถแสดงให้เห็นว่านี่ไม่ใช่กรณี

การขยายตัวของเทย์เลอร์ใช้งานได้กับฟังก์ชั่นในช่วงเวลาปิดล้อมรอบ สำหรับตัวแปรสุ่มที่มีความแปรปรวน จำกัด Chebyshevให้ความไม่เท่าเทียมกัน

P (| X - E X | > ค) \leq \frac{V a R (X)}{ค}

$P(|X-EX|>c)\le \frac{Var(X)}{c}$

ดังนั้นสำหรับการใด ๆเราสามารถหาขนาดใหญ่พอเพื่อให้ $\varepsilon>0$ $c$

P (X \in [E X - ค, E X + ค]) = P (| X - E X | \leq ค) < 1 - ε

$P(X\in [EX-c,EX+c])=P(|X-EX|\le c)<1-\varepsilon$

แรกให้เราประเมิน(X) เรามี ที่เป็นฟังก์ชั่นการจัดจำหน่ายx $Ef(X)$

\begin{aligned} E ฉ (X) = \int_{| x - E X | \leq ค} ฉ (x) d F (x) + \int_{| x - E X | > ค} ฉ (x) d F (x) \end{aligned}

$\begin{align} Ef(X)=\int_{|x-EX|\le c}f(x)dF(x)+\int_{|x-EX|>c}f(x)dF(x) \end{align}$

F (x)

$F(x)$

X

$X$

เนื่องจากโดเมนของอินทิกรัลแรกคือช่วงเวลาซึ่งล้อมรอบช่วงเวลาปิดเราสามารถใช้การขยายเทย์เลอร์: ที่ , และความเท่าเทียมกันถือสำหรับทุกC] ฉันใช้เวลาแค่ 4 เทอมในการขยายเทย์เลอร์ แต่โดยทั่วไปเราสามารถรับได้มากเท่าที่เราต้องการตราบใดที่ฟังก์ชั่นราบรื่นพอ $[EX-c,EX+c]$

\begin{aligned} ฉ (x) = ฉ (E X) + ฉ^{'} (E X) (x - E X) + \frac{ฉ^{"} (E X)}{2} (x - E X)^{2} + \frac{ฉ^{‴} (α)}{3} (x - E X)^{3} \end{aligned}

$\begin{align} f(x)=f(EX)+f'(EX)(x-EX)+\frac{f''(EX)}{2}(x-EX)^2+\frac{f'''(\alpha)}{3}(x-EX)^3 \end{align}$

α \in [E X - c, E X + c]

$\alpha\in [EX-c,EX+c]$

x \in [E X - c, E X + c]

$x\in[EX-c,EX+c]$

f

$f$

การแทนที่สูตรนี้เป็นสูตรก่อนหน้านี้ที่เราได้รับ

\begin{aligned} E ฉ (X) & = \int_{| x - E X | \leq ค} ฉ (E X) + ฉ^{'} (E X) (x - E X) + \frac{ฉ^{"} (E X)}{2} (x - E X)^{2} d F (x) \\ + \int_{| x - E X | \leq ค} \frac{ฉ^{‴} (α)}{3} (x - E X)^{3} d F (x) + \int_{| x - E X | > ค} ฉ (x) d F (x) \end{aligned}

$\begin{align} Ef(X)&=\int_{|x-EX|\le c}f(EX)+f'(EX)(x-EX)+\frac{f''(EX)}{2}(x-EX)^2dF(x)\\\\ &+\int_{|x-EX|\le c}\frac{f'''(\alpha)}{3}(x-EX)^3dF(x) +\int_{|x-EX|>c}f(x)dF(x) \end{align}$ ตอนนี้เราสามารถเพิ่มโดเมนของการรวมเพื่อรับสูตรต่อไปนี้

\begin{aligned} E ฉ (X) & = ฉ (E X) + \frac{ฉ^{"} (E X)}{2} E (X - E X)^{2} + R_{3} \end{aligned}

$\begin{align} Ef(X)&=f(EX)+\frac{f''(EX)}{2}E(X-EX)^2+R_3\\\\ \end{align}$ โดยที่ ขณะนี้ภายใต้เงื่อนไขบางช่วงเวลาเราสามารถแสดงให้เห็นว่าระยะที่สองของคำที่เหลือนี้มีขนาดใหญ่เท่ากับซึ่งมีขนาดเล็ก น่าเสียดายที่เทอมแรกยังคงอยู่ดังนั้นคุณภาพของการประมาณขึ้นอยู่กับและพฤติกรรมของอนุพันธ์อันดับสามของในช่วงเวลาที่ จำกัด ประมาณดังกล่าวควรจะทำงานที่ดีที่สุดสำหรับตัวแปรสุ่มที่มี 0

\begin{aligned} R_{3} & = \frac{ฉ^{‴} (α)}{3} E (X - E X)^{3} + \\ + \int_{| x - E X | > ค} (ฉ (E X) + ฉ^{'} (E X) (x - E X) + \frac{ฉ^{"} (E X)}{2} (x - E X)^{2} + ฉ (X)) d F (x) \end{aligned}

$\begin{align} R_3&=\frac{f'''(\alpha)}{3}E(X-EX)^3+\\\\ &+\int_{|x-EX|>c}\left(f(EX)+f'(EX)(x-EX)+\frac{f''(EX)}{2}(x-EX)^2+f(X)\right)dF(x) \end{align}$

P (| X - E X | > c)

$P(|X-EX|>c)$

E (X - E X)^{3}

$E(X-EX)^3$

f

$f$

E (X - E X)^{3} = 0

$E(X-EX)^3=0$

ทีนี้สำหรับความแปรปรวนเราสามารถใช้การประมาณเทย์เลอร์สำหรับ , ลบสูตรสำหรับและลบความแตกต่าง แล้วก็ $f(x)$ $Ef(x)$

$E(f(x)-Ef(x))^2=(f'(EX))^2Var(X)+T_3$

ที่เกี่ยวข้องกับช่วงเวลาที่สำหรับkเราสามารถมาถึงสูตรนี้ได้โดยใช้การขยายเทย์เลอร์ลำดับที่หนึ่งเท่านั้นเช่นการใช้อนุพันธ์อันดับหนึ่งและสองเท่านั้น คำผิดพลาดจะคล้ายกัน $T_3$ $E(X-EX)^k$ $k=4,5,6$

วิธีอื่นคือขยาย : $f^2(x)$

\begin{aligned} f^{2} (x) & = f^{2} (E X) + 2 f (E X) f^{'} (E X) (x - E X) \\ + [(f^{'} (E X))^{2} + f (E X) f^{″} (E X)] (X - E X)^{2} + \frac{(f^{2} (β))^{‴}}{3} (X - E X)^{3} \end{aligned}

$\begin{align} f^2(x)&=f^2(EX)+2f(EX)f'(EX)(x-EX)\\\\ &+[(f'(EX))^2+f(EX)f''(EX)](X-EX)^2+\frac{(f^2(\beta))'''}{3}(X-EX)^3 \end{align}$

ในทำนองเดียวกันเราจะได้รับ ที่คล้ายกับR_3

\begin{aligned} E f^{2} (x) = f^{2} (E X) + [(f^{'} (E X))^{2} + f (E X) f^{″} (E X)] V a r (X) + {\tilde{R}}_{3} \end{aligned}

$\begin{align*} Ef^2(x)=f^2(EX)+[(f'(EX))^2+f(EX)f''(EX)]Var(X)+\tilde{R}_3 \end{align*}$

{\tilde{R}}_{3}

$\tilde{R}_3$

R_{3}

$R_3$

สูตรสำหรับความแปรปรวนจะกลายเป็น โดยที่มีช่วงเวลาที่สามขึ้นไป

\begin{aligned} V a r (f (X)) = [f^{'} (E X)]^{2} V a r (X) - \frac{[f^{″} (E X)]^{2}}{4} V a r^{2} (X) + {\tilde{T}}_{3} \end{aligned}

$\begin{align} Var(f(X))=[f'(EX)]^2Var(X)-\frac{[f''(EX)]^2}{4}Var^2(X)+\tilde{T}_3 \end{align}$

{\tilde{T}}_{3}

$\tilde{T}_3$

— mpiktas
แหล่งที่มา

ฉันไม่จำเป็นต้องรู้ค่าที่แน่นอนของความแปรปรวนการประมาณค่าควรเหมาะกับฉัน

— Tomek Tarczynski

อันที่จริงสูตรโดยประมาณสำหรับใน OP มักใช้ในการวิเคราะห์ความเสี่ยงในด้านเศรษฐศาสตร์การเงินและการประกันภัย

E [f (X)]

$\mathbb{E}[f(X)]$

— Raskolnikov

@ Raskolnikov ใช่ แต่มันขัดแย้งกับความรู้เก่าของฉันที่ยอมรับอย่างกว้างขวางเกี่ยวกับการขยายตัวของเทย์เลอร์ เห็นได้ชัดว่าระยะเวลาที่เหลือจะต้องนำมาพิจารณา ถ้าตัวแปรสุ่มถูก จำกัด ขอบเขตก็ไม่มีปัญหาเนื่องจากพหุนามมีฟังก์ชันต่อเนื่องโดยประมาณในช่วงเวลาที่ จำกัด แต่เราจัดการกับตัวแปรสุ่มที่ไม่มีขอบเขต แน่นอนว่าสำหรับการสุ่มปกติเราสามารถพูดได้ว่ามันถูก จำกัด ขอบเขตอย่างมีประสิทธิภาพ แต่ในกรณีทั่วไปความประหลาดใจที่น่ารังเกียจบางอย่างสามารถเกิดขึ้นได้หรือไม่ ฉันจะแก้ไขคำตอบของฉันเมื่อฉันจะได้คำตอบที่ชัดเจน

— mpiktas

@Tomek Tarczynski อนุพันธ์อันดับสามของไปที่ศูนย์อย่างรวดเร็วสำหรับมีขนาดใหญ่แต่ไม่มีขีด จำกัด ใกล้ศูนย์ ดังนั้นถ้าคุณเลือกการกระจายแบบสม่ำเสมอด้วยการสนับสนุนใกล้กับศูนย์คำที่เหลือจะมีขนาดใหญ่

\sqrt{x}

$\sqrt{x}$

x

$x$

— mpiktas

โปรดทราบว่าในลิงก์ของคุณ ในคำตอบนี้สมการทั้งหมดนั้นแน่นอน นอกจากนี้สำหรับบันทึกความแปรปรวนที่อนุพันธ์แรกเป็นที่คาดกันที่ไม่xนอกจากนี้ฉันไม่เคยระบุว่าสิ่งนี้จะไม่ทำงานสำหรับเฉพาะที่สำหรับสูตรโดยประมาณอาจมีข้อผิดพลาดอย่างมากหากโดเมนใกล้กับศูนย์

E X

$EX$

x

$x$

\sqrt{x}

$\sqrt{x}$

\sqrt{x}

$\sqrt{x}$

X

$X$

— mpiktas

หากต้องการทราบว่าช่วงเวลาสองช่วงแรกของ X (ค่าเฉลี่ยและความแปรปรวน) ไม่เพียงพอหากฟังก์ชัน f (x) เป็นแบบสุ่ม (ไม่ใช่แบบเชิงเส้น) ไม่เพียง แต่สำหรับการคำนวณความแปรปรวนของตัวแปรแปรสภาพ Y แต่ยังรวมถึงค่าเฉลี่ยด้วย หากต้องการดูสิ่งนี้ - และบางทีอาจเป็นการโจมตีปัญหาของคุณ - คุณสามารถสันนิษฐานได้ว่าฟังก์ชั่นการแปลงของคุณมีการขยายเทย์เลอร์รอบค่าเฉลี่ยของ X และทำงานจากที่นั่น

— leonbloy
แหล่งที่มา