อัตราส่วนของผลรวมของปกติต่อผลรวมของลูกบาศก์ของ Normal

12

โปรดช่วยฉันค้นหาการ จำกัด การกระจาย (ดัง ) ของสิ่งต่อไปนี้: ที่จะ IID(0,1) $n \rightarrow \infty$

U_{n} = \frac{X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}}{X_{1}^{3} + X_{2}^{3} + \dots X_{n}^{3}},

$U_n = \frac{X_1 + X_2 + \ldots + X_n}{X_1^3 + X_2^3 + \ldots X_n^3},$

X_{i}

$X_i$

N (0, 1)

$N(0,1)$

distributions normal-distribution asymptotics

— Arunangshu Biswas
แหล่งที่มา

1

คุณลองดูการแปลงของตัวแปรสุ่มหรือไม่? ตัวอย่างเช่นหนึ่งอาจลองใช้ฟังก์ชันคุณสมบัติ Laplace-Stieltjes transform, etcetera

— Stijn

1

คำแนะนำ: ตัวเศษและตัวส่วนเป็นเส้นแบ่งรูปแบบเชิงเส้นกำกับ คุณอาจจะคำนวณช่วงเวลาของพวกเขาโดยตรง: วิธีการของพวกเขาจะเห็นได้ชัดว่าเป็นศูนย์ความแปรปรวนของเศษคือความแปรปรวนของตัวหารเป็นและความแปรปรวนเป็น3n(ดังนั้นความสัมพันธ์คือ .) เพื่อค้นหาการแจกแจงที่ จำกัด ให้แสดง bivariate ปกติที่มีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์ในรูปแบบสำหรับศูนย์อิสระ หมายถึงบรรทัดฐานและและค่าคงที่จากนั้นโปรดทราบว่าอัตราส่วนเป็นการกระจาย Cauchy ที่ปรับขนาดแล้ว

n

$n$

15 n

$15n$

3 n

$3n$

3 / \sqrt{15} \approx 0.775

$3/\sqrt{15} \approx 0.775$

(U, V)

$(U,V)$

(A, β A + B)

$(A, \beta A + B)$

A

$A$

B

$B$

β

$\beta$

V / U = β + B / A

$V/U = \beta + B/A$

— whuber

2

ถ้าสูตรเป็นโดยที่และมีความเป็นอิสระมันเป็นแค่แบบฝึกหัดตำราคลาสสิก คุณใช้ข้อเท็จจริงว่า และเราสามารถสรุปได้ว่า asymptotes เพื่อปรับสัดส่วนการกระจาย Cauchy

U_{n} = \frac{X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}}{Y_{1}^{3} + Y_{2}^{3} + \dots Y_{n}^{3}}

$U_n = \frac{X_1 + X_2 + \ldots + X_n}{Y_1^3 + Y_2^3 + \ldots Y_n^3}$

X_{i} \sim N (0, 1)

$X_i\sim N(0,1)$

Y_{i} \sim N (0, 1)

$Y_i \sim N(0,1)$

F_{n} \overset{d}{\to} F, G_{n} \overset{d}{\to} G \Rightarrow \frac{F_{n}}{G_{n}} \overset{d}{\to} \frac{F}{G}

$F_n \stackrel{d}{\to} F,\quad G_n \stackrel{d}{\to}G \Rightarrow \frac{F_n}{G_n} \stackrel{d}{\to} \frac{F}{G}$

U

$U$

แต่ในสูตรของคุณเราไม่สามารถใช้ทฤษฎีบทเนื่องจากการพึ่งพา Monte-Carlo ของฉันแสดงให้เห็นว่าการ จำกัด การกระจายของนั้นไม่เสื่อมโทรมและไม่มีช่วงเวลาแรกและไม่สมมาตร ฉันสนใจว่ามีวิธีแก้ไขปัญหานี้อย่างชัดเจนหรือไม่ ฉันรู้สึกว่าโซลูชันนี้สามารถเขียนได้เฉพาะในกระบวนการของ Wiener $U_n$

[แก้ไข] ปฏิบัติตามคำใบ้ของ whuber โปรดทราบว่า

(\frac{1}{\sqrt{n}} \sum X_{i}, \frac{1}{\sqrt{n}} \sum X_{i}^{3}) \overset{d}{\to} (Z_{1}, Z_{2})

$(\frac{1}{\sqrt{n}}\sum{X_i},\frac{1}{\sqrt{n}}\sum{X_i^3})\stackrel{d}{\to}(Z_1,Z_2)$ ที่โดยสังเกตว่าและE(ช่วงเวลามาตรฐานปกติ,สำหรับแม้แต่ ) จากนั้นโดยการทำแผนที่อย่างต่อเนื่องเรามีสังเกตว่าเราสามารถเขียนโดยที่และเป็นอิสระจากเราสรุปได้ว่าที่ไหน

(Z_{1}, Z_{2}) \sim N (0, (\begin{matrix} 1 & 3 \\ 3 & 15 \end{matrix}))

$(Z_1,Z_2) \sim N(0,\pmatrix{1 &3 \\3 &15})$

E [X_{1}^{4}] = 3

$E[X_1^4]=3$

E [X_{1}^{6}] = 15

$E[X_1^6]=15$

(n - 1)!!

$(n-1)!!$

n

$n$

U_{n} \overset{d}{\to} \frac{Z_{1}}{Z_{2}}

$U_n \stackrel{d}{\to} \frac{Z_1}{Z_2}$

Z_{1} = \frac{1}{5} Z_{2} + \sqrt{\frac{2}{5}} Z_{3}

$Z_1 = \frac{1}{5}Z_2+\sqrt{\frac{2}{5}}Z_3$

Z_{3} \sim N (0, 1)

$Z_3\sim N(0,1)$

Z_{2}

$Z_2$

U_{n} \overset{d}{\to} \frac{1}{5} + \sqrt{\frac{2}{5}} \frac{Z_{3}}{Z_{2}} \equiv \frac{1}{5} + \sqrt{\frac{2}{75}} Γ

$U_n \stackrel{d}{\to} \frac{1}{5}+\sqrt{\frac{2}{5}}\frac{Z_3}{Z_2} \equiv \frac{1}{5}+\sqrt{\frac{2}{75}}\Gamma$

Γ \sim C a u c h y

$\Gamma \sim Cauchy$

— จูเลียส
แหล่งที่มา

0

ความคิดเห็นบางอย่างไม่ใช่วิธีแก้ปัญหาที่สมบูรณ์ นี่คือความคิดเห็นยาว แต่จริงๆเพียงความคิดเห็น คุณสมบัติบางอย่างของการแก้ปัญหา เนื่องจากเป็น iid มาตรฐานปกติซึ่งเป็นการแจกแจงแบบสมมาตร (ประมาณศูนย์)จะมีการแจกแจงแบบสมมาตรและผลรวมของสมมาตร rv ของสมมาตรจะเป็นแบบสมมาตร นี่คืออัตราส่วนกับตัวเศษและตัวส่วนทั้งสองแบบสมมาตรดังนั้นจะเป็นแบบสมมาตร ตัวส่วนจะมีความหนาแน่นต่อเนื่องซึ่งเป็นค่าบวกที่ศูนย์ดังนั้นเราคาดว่าอัตราส่วนจะขาดความคาดหวัง (เป็นผลทั่วไปว่าถ้าเป็นตัวแปรสุ่มที่มีความหนาแน่นต่อเนื่องเป็นบวกที่ศูนย์ดังนั้นจะไม่คาดหวัง ดู $X_i$ $X_i^3$ $Z$ $1/X$ ฉันได้ยินมาว่าอัตราส่วนหรือผกผันของตัวแปรสุ่มมักเป็นปัญหาโดยไม่คาดหวัง ทำไมถึงเป็นอย่างนั้น? ) แต่ที่นี่มีการพึ่งพาระหว่างตัวเศษและส่วนซึ่งทำให้เรื่องซับซ้อน ... (ต้องการความคิดที่ชัดเจนมากขึ้นที่นี่)

กระดาษที่น่าสนใจhttps://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.aop/1176991795 แสดงให้เห็นว่าข้างต้นลูกบาศก์ของตัวแปรปกติมาตรฐานมีการแจกแจงที่ไม่แน่นอน "ในความหมายของแฮมเบอร์เกอร์" นั่นคือมันเป็น ไม่ได้ถูกกำหนดโดยช่วงเวลา! ดังนั้นความคิดเห็นข้างต้นเกี่ยวกับการใช้การแปลงอาจบ่งบอกถึงวิธีที่ยากที่จะดำเนินการต่อ! $x_i^3$

— kjetil b halvorsen
แหล่งที่มา