ข้อผิดพลาดมาตรฐานของความลาดชันในการถดถอยเชิงเส้นแบบชิ้นเดียวพร้อมกับเบรกพอยต์ที่รู้จัก

สถานการณ์

ฉันมีชุดข้อมูลที่มีขึ้นหนึ่งและเป็นหนึ่งในตัวแปรอิสระxฉันต้องการที่จะพอดีกับค่อย่างต่อเนื่องถดถอยเชิงเส้นกับที่รู้จักกัน / จุดพักคงเกิดขึ้นใน{k}) เบรกพอยต์เป็นที่รู้จักโดยไม่มีความแน่นอนดังนั้นฉันไม่ต้องการที่จะประเมินพวกมัน จากนั้นฉันก็พอดีกับการถดถอย (OLS) ของรูปแบบ y_ {i} = \ beta_ {0} + \ beta_ {1} x_ {i} + \ beta_ {2} \ operatorname {max} (x_ {i} -a_ { 1}, 0) + \ beta_ {3} \ operatorname {max} (x_ {i} -a_ {2}, 0) + \ ldots + \ beta_ {k + 1} \ operatorname {max} (x_ {i} - a_ {k}, 0) + \ epsilon_ {i} นี่คือตัวอย่าง$y$$x$$k$$(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{k})$

set.seed(123)
x <- c(1:10, 13:22)
y <- numeric(20)
y[1:10] <- 20:11 + rnorm(10, 0, 1.5)
y[11:20] <- seq(11, 15, len=10) + rnorm(10, 0, 2)

สมมติว่าเบรกพอยต์$k_1$เกิดขึ้นที่$9.6$ :

mod <- lm(y~x+I(pmax(x-9.6, 0)))
summary(mod)

Coefficients:
                    Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)          21.7057     1.1726  18.511 1.06e-12 ***
x                    -1.1003     0.1788  -6.155 1.06e-05 ***
I(pmax(x - 9.6, 0))   1.3760     0.2688   5.120 8.54e-05 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

การสกัดกั้นและความชันของทั้งสองเซ็กเมนต์คือ:และสำหรับอันแรกและและสำหรับวินาทีตามลำดับ$21.7$$-1.1$$8.5$$0.27$

คำถาม

1. จะคำนวณการสกัดกั้นและความชันของแต่ละส่วนได้อย่างไร สามารถจำลองแบบจำลองซ้ำเพื่อทำสิ่งนี้ในการคำนวณครั้งเดียวได้หรือไม่?
2. วิธีการคำนวณข้อผิดพลาดมาตรฐานของแต่ละความชันของแต่ละเซกเมนต์?
3. วิธีทดสอบว่าสองเนินที่อยู่ติดกันมีความลาดชันเท่ากันหรือไม่

1. จะคำนวณการสกัดกั้นและความชันของแต่ละส่วนได้อย่างไร

ความชันของแต่ละเซ็กเมนต์นั้นคำนวณได้โดยเพียงแค่เพิ่มค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดไปยังตำแหน่งปัจจุบัน ดังนั้นการประมาณการความลาดชันที่เป็น \,$x=15$$-1.1003 + 1.3760 = 0.2757\,$

การสกัดกั้นนั้นยากขึ้นเล็กน้อย แต่เป็นการรวมกันของสัมประสิทธิ์เชิงเส้น (เกี่ยวข้องกับนอต)

ในตัวอย่างของบรรทัดที่สองได้พบกับครั้งแรกที่ดังนั้นจุดสีแดงที่อยู่บนบรรทัดแรกที่11.1428 ตั้งแต่บรรทัดที่สองผ่านจุดมีความลาดชันตัดของมันคือ8.496 แน่นอนคุณสามารถวางขั้นตอนเหล่านั้นเข้าด้วยกันและมันช่วยลดความยุ่งยากลงไปทางขวาเพื่อตัดสำหรับส่วนที่สอง =9.6$x=9.6$$21.7057 -1.1003 \times 9.6 = 11.1428$$(9.6, 11.428)$$0.2757$$11.1428 - 0.2757 \times 9.6 = 8.496$$\beta_0 - \beta_2 k_1 = 21.7057 - 1.3760 \times 9.6$

สามารถจำลองแบบจำลองพารามิเตอร์ใหม่เพื่อทำสิ่งนี้ในการคำนวณเดียวได้หรือไม่

ใช่ แต่มันอาจจะง่ายกว่าที่จะคำนวณจากตัวแบบ

2. วิธีการคำนวณข้อผิดพลาดมาตรฐานของแต่ละความชันของแต่ละส่วน?

ตั้งแต่การประเมินคือการรวมกันเชิงเส้นของค่าสัมประสิทธิ์การถดถอยที่ประกอบด้วย 1 และ 0s แปรปรวนคือ เบต้าบริการ) ข้อผิดพลาดมาตรฐานคือรากที่สองของผลรวมของความแปรปรวนและเงื่อนไขความแปรปรวนร่วมนั้น$a^\top\hat\beta$$a$$a^\top\text{Var}(\hat\beta)a$

เช่นในตัวอย่างของคุณข้อผิดพลาดมาตรฐานของความชันของส่วนที่สองคือ:

Sb <- vcov(mod)[2:3,2:3]
sqrt(sum(Sb))

อีกรูปแบบหนึ่งในเมทริกซ์:

Sb <- vcov(mod)
a <- matrix(c(0,1,1),nr=3)
sqrt(t(a) %*% Sb %*% a)

3. วิธีการทดสอบว่าสองเนินที่อยู่ติดกันมีความลาดชันเท่ากันหรือไม่

นี่คือการทดสอบโดยดูที่ค่าสัมประสิทธิ์ในตารางของส่วนนั้น ดูบรรทัดนี้:

I(pmax(x - 9.6, 0))   1.3760     0.2688   5.120 8.54e-05 ***

นั่นคือการเปลี่ยนแปลงของความชันที่ 9.6 หากการเปลี่ยนแปลงนั้นแตกต่างจาก 0 ทั้งสองเนินจะไม่เหมือนกัน ดังนั้นค่า p สำหรับการทดสอบว่าส่วนที่สองมีความชันเท่ากับส่วนแรกอยู่ตรงจุดสิ้นสุดของบรรทัดนั้น

วิธีการไร้เดียงสาของฉันซึ่งตอบคำถาม 1:

mod2 <- lm(y~I((x<9.6)*x)+as.numeric((x<9.6))+
             I((x>=9.6)*x)+as.numeric((x>=9.6))-1)
summary(mod2)

#                        Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
# I((x < 9.6) * x)        -1.1040     0.2328  -4.743 0.000221 ***
# as.numeric((x < 9.6))   21.7188     1.3099  16.580 1.69e-11 ***
# I((x >= 9.6) * x)        0.2731     0.1560   1.751 0.099144 .  
# as.numeric((x >= 9.6))   8.5442     2.6790   3.189 0.005704 ** 

แต่ฉันไม่แน่ใจว่าสถิติ (โดยเฉพาะอย่างยิ่งองศาอิสระ) นั้นถูกต้องหรือไม่ถ้าคุณทำแบบนี้