ช่วงความเชื่อมั่นสำหรับผลิตภัณฑ์ของสองพารามิเตอร์

ให้เราสมมติเรามีสองพารามิเตอร์และP_2นอกจากนี้เรายังมีตัวประมาณค่าความน่าจะเป็นสูงสุดสองตัวและและสองช่วงความมั่นใจสำหรับพารามิเตอร์เหล่านี้ มีวิธีสร้างช่วงความมั่นใจสำหรับหรือไม่ $p_1$ $p_2$ $\hat{p_1}$ $\hat{p_2}$ $p_1p_2$

confidence-interval

— แขก
แหล่งที่มา

คุณสามารถใช้วิธีเดลต้าในการคำนวณผิดพลาดมาตรฐานของ{2}} วิธีการเดลต้าระบุว่าการประมาณความแปรปรวนของฟังก์ชันมอบให้โดย: การประมาณความคาดหวังของในอีกทางหนึ่งจะได้รับจาก: ดังนั้นความคาดหวังจึงเป็นเพียงฟังก์ชัน ฟังก์ชั่นของคุณคือ{2} ความคาดหวังของ น่าจะเป็น: $\hat{p_{1}}\hat{p_{2}}$ $g(t)$

V a r (g (t)) \approx \sum_{i = 1}^{k} g_{i}^{'} (θ)^{2} V a r (t_{i}) + 2 \sum_{i > j} g_{i}^{'} (θ) g_{j}^{'} (θ) C o v (t_{i}, t_{j})

$\mathrm{Var}(g(t))\approx \sum_{i=1}^{k}g'_{i}(\theta)^{2}\mathrm{Var}(t_{i})+2\sum_{i>j}g'_{i}(\theta)g'_{j}(\theta)\mathrm{Cov}(t_{i},t_{j})$

g (t)

$g(t)$

E (g (t)) \approx g (θ)

$\mathrm{\mathbf{E}}(g(t))\approx g(\theta)$

g (t)

$g(t)$

g (p_{1}, p_{2}) = p_{1} p_{2}

$g(p_{1}, p_{2})=p_{1}p_{2}$

g (p_{1}, p_{2}) = p_{1} p_{2}

$g(p_{1}, p_{2})=p_{1}p_{2}$

p_{1} p_{2}

$p_{1}p_{2}$ {2} สำหรับความแปรปรวนเราต้องการอนุพันธ์บางส่วนของ :

g (p_{1}, p_{2})

$g(p_{1}, p_{2})$

\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial p_{1}} g (p_{1} p_{2}) & = p_{2} \\ \frac{\partial}{\partial p_{2}} g (p_{1} p_{2}) & = p_{1} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\partial}{\partial p_{1}}g(p_{1}p_{2}) & = p_{2} \\ \frac{\partial}{\partial p_{2}}g(p_{1}p_{2}) &= p_{1} \\ \end{align}$

การใช้ฟังก์ชั่นสำหรับความแปรปรวนข้างต้นเราได้:

V a r (\hat{p_{1}} \hat{p_{2}}) = {\hat{p_{2}}}^{2} V a r (\hat{p_{1}}) + {\hat{p_{1}}}^{2} V a r (\hat{p_{2}}) + 2 \cdot \hat{p_{1}} \hat{p_{2}} C o v (\hat{p_{1}}, \hat{p_{2}})

$\mathrm{Var}(\hat{p_{1}}\hat{p_{2}})=\hat{p_{2}}^{2}\mathrm{Var}(\hat{p_{1}}) + \hat{p_{1}}^{2}\mathrm{Var}(\hat{p_{2}})+2\cdot \hat{p_{1}}\hat{p_{2}}\mathrm{Cov}(\hat{p_{1}},\hat{p_{2}})$ ข้อผิดพลาดมาตรฐานก็จะเป็นราก sqare ของการแสดงออกดังกล่าวข้างต้น เมื่อคุณได้รับข้อผิดพลาดมาตรฐานมันจะส่งตรงไปยังการคำนวณช่วงความมั่นใจ 95% สำหรับ :

\hat{p_{1}} \hat{p_{2}}

$\hat{p_{1}}\hat{p_{2}}$

\hat{p_{1}} \hat{p_{2}} \pm 1.96 \cdot \hat{S E} (\hat{p_{1}} \hat{p_{2}})

$\hat{p_{1}}\hat{p_{2}}\pm 1.96\cdot \widehat{\mathrm{SE}}(\hat{p_{1}}\hat{p_{2}})$

ในการคำนวณข้อผิดพลาดมาตรฐานของคุณต้องมีความแปรปรวนของและซึ่งคุณสามารถรับได้ โดยVariance-covariance matrixซึ่งจะเป็นเมทริกซ์ 2x2 ในกรณีของคุณเพราะคุณมีค่าประมาณสองค่า องค์ประกอบในแนวทแยงในเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วม - ความแปรปรวนร่วมคือความแปรปรวนของและในขณะที่องค์ประกอบนอกแนวทแยงมุมเป็นความแปรปรวนร่วมของและ (เมทริกซ์มีความสมมาตร) @gung กล่าวถึงในความคิดเห็นเมทริกซ์แปรปรวนร่วมสามารถแยกได้โดยโปรแกรมทางสถิติส่วนใหญ่ บางครั้งอัลกอริทึมการประมาณให้ $\hat{p_{1}}\hat{p_{2}}$ $\hat{p_{1}}$ $\hat{p_{2}}$ $\Sigma$ $\hat{p_{1}}$ $\hat{p_{2}}$ $\hat{p_{1}}$ $\hat{p_{2}}$ Hessian matrix (ฉันจะไม่ลงรายละเอียดเกี่ยวกับที่นี่) และเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมแปรปรวนสามารถประเมินได้โดยค่าผกผันของ Hessian เชิงลบ (แต่ถ้าคุณเพิ่มความน่าจะเป็นบันทึก!; ดูโพสต์นี้ ) ศึกษาเอกสารของซอฟต์แวร์เชิงสถิติและ / หรือเว็บของคุณเกี่ยวกับวิธีแยก Hessian และวิธีคำนวณค่าผกผันของเมทริกซ์

หรือคุณสามารถรับผลต่างของและจากช่วงความเชื่อมั่นในวิธีต่อไปนี้ (ใช้ได้กับ 95% -CI):{ต่ำกว่าขีด จำกัด สำหรับ -CI ข้อผิดพลาดมาตรฐานโดยประมาณคือ:โดยที่คือ quantile ของการแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน (สำหรับ , ) จากนั้น $\hat{p_{1}}$ $\hat{p_{2}}$ $\mathrm{SE}(\hat{p_{1}})=(\text{upper limit} - \text{lower limit})/3.92$ $100(1-\alpha)\%$ $\mathrm{SE}(\hat{p_{1}})=(\text{upper limit} - \text{lower limit})/(2\cdot z_{1-\alpha/2})$ $z_{1-\alpha/2}$ $(1-\alpha/2)$ $\alpha=0.05$ $z_{0.975}\approx 1.96$ $\mathrm{Var}(\hat{p_{1}}) = \mathrm{SE}(\hat{p_{1}})^{2}$ . เช่นเดียวกับที่เป็นจริงสำหรับความแปรปรวนของ{2}} เราจำเป็นต้องมีความแปรปรวนร่วมของและด้วย (ดูย่อหน้าด้านบน) หากและเป็นอิสระความแปรปรวนร่วมเป็นศูนย์และเราสามารถวางคำศัพท์ได้ $\hat{p_{2}}$ $\hat{p_{1}}$ $\hat{p_{2}}$ $\hat{p_{1}}$ $\hat{p_{2}}$

บทความนี้อาจให้ข้อมูลเพิ่มเติม

— COOLSerdash
แหล่งที่มา

+1 ความแปรปรวนของพารามิเตอร์และความแปรปรวนร่วมของพวกเขาสามารถพบได้โดยการตรวจสอบเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วม - ความแปรปรวนร่วมของซึ่งซอฟต์แวร์ทางสถิติส่วนใหญ่สามารถให้ เช่นใน R คืออะไร? vcov ; และในเอสเอจะถูกเพิ่มเป็นตัวเลือกคำสั่งรูปแบบใน PROC REG

β

$\boldsymbol\beta$ covb

— gung - Reinstate Monica

@gung ในเรื่องของ pedantry มันอาจคุ้มค่าที่จะชี้ให้เห็น (เพราะฉันรู้ว่ามันทำให้บางคนสับสน) ว่ามันเป็นเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วม - ความแปรปรวนร่วมของมากกว่า (และอันที่จริงมันไม่ได้เป็นอย่างนั้นจริงๆ เนื่องจากค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานจะต้องมีการประมาณจากกลุ่มตัวอย่างดังนั้นจึงเป็นเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วม - ความแปรปรวนร่วมโดยประมาณ .. )

\hat{β}

$\hat \beta$

β

$\beta$

— Silverfish

@Silverfish ลงโทษอย่างถูกต้อง ครั้งต่อไปฉันจะพูดว่า "เมทริกซ์ความแปรปรวนร่วม - ความแปรปรวนร่วมของ "

\hat{β}

$\boldsymbol{\hat\beta}$

— gung - Reinstate Monica

คุณสามารถลองสร้างฟังก์ชั่นความเป็นไปได้ของโพรไฟล์! และสร้างช่วงความมั่นใจจากนั้น

— kjetil b halvorsen

ไม่เนื่องจากเป็นพารามิเตอร์ใช่หรือไม่

v a r (p_{1}) = 0

$var(p_1)=0$

— user0

ฉันพบสมการที่แตกต่างกันสำหรับการคำนวณความแปรปรวนของผลิตภัณฑ์

หาก x และ y กระจายอย่างอิสระความแปรปรวนของผลิตภัณฑ์ค่อนข้างตรงไปตรงมา: V (x * y) = V (y) * E (x) ^ 2 + V (x) * E (y) ^ 2 + V ( x) * V (y) ผลลัพธ์เหล่านี้ยังสรุปกรณีที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรสามตัวหรือมากกว่า (Goodman 1960) ที่มา: การควบคุมยาฆ่าแมลง (1980), ภาคผนวก F

Coolserdash: องค์ประกอบสุดท้าย V (x) * V (y) หายไปในสมการของคุณ หนังสืออ้างอิง (สารควบคุมกำจัดศัตรูพืช) ผิดหรือเปล่า?

นอกจากนี้สมการทั้งสองอาจไม่สมบูรณ์แบบ " ... เราแสดงให้เห็นว่าการแจกแจงผลิตภัณฑ์ของตัวแปรอิสระสามตัวนั้นไม่ปกติ " ( แหล่งที่มา ) ฉันคาดหวังว่าจะมีความเบ้เป็นบวกแม้จะอยู่ในผลิตภัณฑ์ของตัวแปรที่กระจายตัวสองแบบ

— มาเร็คČierny
แหล่งที่มา

ความยาวของ CI / 2 / 1.96 = se คือข้อผิดพลาดมาตรฐานของ A หรือ B
se ^ 2 = var คือความแปรปรวนของการประมาณ A หรือ B
ใช้ A หรือ B โดยประมาณเป็นวิธี A หรือ B เช่น E (A) หรือ E (B)
ติดตามหน้านี้http://falkenblog.blogspot.se/2008/07/formula-for-varxy.htmlเพื่อรับ var (A * B), เช่น var (C)
สแควร์รูทของ var (C) คือ se ของ C
(C - 1.96 * se (C), C + 1.96 * se (C)) คือ 95% CI ของ C

โปรดทราบว่าหาก A และ B ของคุณมีความสัมพันธ์กันคุณต้องพิจารณาความแปรปรวนร่วมของพวกเขาเช่นกัน

— กาแฟเย็น
แหล่งที่มา