ฉันจะค้นหาค่าที่ไม่ได้ระบุใน (ตารางสอดแทรก) ในตารางสถิติได้อย่างไร

บ่อยครั้งที่ผู้คนใช้โปรแกรมเพื่อรับค่า p แต่บางครั้งด้วยเหตุผลใดก็ตามอาจจำเป็นต้องได้รับคุณค่าที่สำคัญจากชุดของตาราง

ให้ตารางสถิติที่มีระดับนัยสำคัญที่ จำกัด และจำนวนองศาอิสระที่ จำกัด ฉันจะรับค่าวิกฤตที่ระดับความสำคัญอื่น ๆ หรือองศาอิสระได้อย่างไร (เช่นกับตาราง , chi-square หรือ ) ?$t$$F$

นั่นคือฉันจะค้นหาค่า "ในระหว่าง" ค่าในตารางได้อย่างไร

คำตอบนี้อยู่ในสองส่วนหลัก: ประการแรกใช้การแก้ไขเชิงเส้นและที่สองใช้การแปลงเพื่อการแก้ไขที่แม่นยำยิ่งขึ้น วิธีที่กล่าวถึงที่นี่เหมาะสำหรับการคำนวณด้วยมือเมื่อคุณมีตารางที่ จำกัด แต่ถ้าคุณกำลังใช้รูทีนคอมพิวเตอร์เพื่อสร้างค่า p จะมีวิธีที่ดีกว่ามาก (หากน่าเบื่อเมื่อทำด้วยมือ) ที่ควรใช้แทน

หากคุณรู้ว่าค่าวิกฤต 10% (หนึ่ง tailed) สำหรับการทดสอบ z คือ 1.28 และค่าวิกฤต 20% เท่ากับ 0.84 การเดาคร่าวๆที่ค่าวิกฤต 15% จะเป็นครึ่งทางระหว่าง - (1.28 + 0.84) / 2 = 1.06 (ค่าจริงคือ 1.0364) และค่า 12.5% ​​สามารถเดาได้ครึ่งทางระหว่างค่านั้นกับค่า 10% (1.28 + 1.06) / 2 = 1.17 (ค่าจริง 1.15+) นี่คือสิ่งที่การแก้ไขเชิงเส้นทำ แต่แทนที่จะเป็น 'ครึ่งทางระหว่าง' มันจะดูเศษส่วนของวิธีระหว่างค่าสองค่า

การแก้ไขเชิงเส้นแบบไม่รวมตัวแปร

ลองดูที่กรณีของการแก้ไขเชิงเส้นอย่างง่าย

ดังนั้นเราจึงมีฟังก์ชั่น (พูดถึง$x$ ) ที่เราคิดว่าใกล้เคียงกับค่าที่เราพยายามประมาณและเรามีค่าของฟังก์ชันทั้งสองด้านของค่าที่เราต้องการตัวอย่างเช่น:

$$\begin{array}{ c c } x & y\\ 8 & 9.3\\ 16 & y_{16}\\ 20 & 15.6\\ \end{array}$$

ทั้งสองค่าที่มี 's เรารู้ว่ามีอยู่ 12 (20-8) ออกจากกัน มาดูกันว่าค่า (ค่าที่เราต้องการค่าโดยประมาณสำหรับ) แบ่งความแตกต่างของ 12 ขึ้นในอัตราส่วน 8: 4 (16-8 และ 20-16) อย่างไร นั่นคือมันคือ 2/3 ของระยะทางจากค่าแรกถึงสุดท้าย หากความสัมพันธ์เป็นเส้นตรงช่วงของค่า y ที่สอดคล้องกันจะอยู่ในอัตราส่วนเดียวกันy x y $x$$y$$x$$y$$x$

ดังนั้นควรจะเป็นเรื่องเดียวกันกับที่{} 16-$\frac{y_{16} - 9.3}{15.6 - 9.3}$$\frac{16-8}{20-8}$

นั่นคือ$\frac{y_{16} - 9.3}{15.6 - 9.3} \approx \frac{16-8}{20-8}$

จัดเรียง:

$y_{16} \approx 9.3 + (15.6 - 9.3) \frac{16-8}{20-8} = 13.5$

ตัวอย่างที่มีตารางสถิติ: ถ้าเรามีตาราง t ที่มีค่าวิกฤตต่อไปนี้เป็น 12 df:

$$\begin{array}{ c c } (2\text{-tail})& \\ α & t\\ 0.01 & 3.05\\ 0.02 & 2.68\\ 0.05 & 2.18\\ 0.10 & 1.78 \end{array}$$

เราต้องการค่าวิกฤตของ t ด้วย 12 df และอัลฟาสองหางที่ 0.025 นั่นคือเราประมาณระหว่าง 0.02 ถึง 0.05 แถวของตารางนั้น:

$$\begin{array}{ c c } α & t\\ 0.02 & 2.68\\ 0.025 & \text{?}\\ 0.05 & 2.18\\ \end{array}$$

ค่าที่ " " คือค่าที่เราต้องการใช้การแก้ไขเชิงเส้นเพื่อประมาณ (โดยฉันหมายถึงจุดของผกผันของการแจกแจง )t 0.025 t 0.025 1 - 0.025 / 2 t $\text{?}$$t_{0.025}$$t_{0.025}$$1-0.025/2$$t_{12}$

เมื่อก่อนหารช่วงจากถึงในอัตราส่วนถึง (เช่น ) และ value ที่ไม่รู้จักควรแบ่งช่วงถึงในอัตราส่วนเดียวกัน เท่ากับเกิดขึ้น th ของทางตามแนว -range ดังนั้นค่า -val ที่ไม่รู้จักควรเกิดขึ้นที่ ตามทางของ -range0.02 0.05 ( 0.025 - 0.02 ) 0.025 ( 0.025 - 0.02 ) / ( 0.05 - 0.02 ) = 1 / 6 x ที1 / 6 $0.025$$0.02$$0.05$$(0.025-0.02)$1 : 5 t t 2.68 $(0.05-0.025)$$1:5$$t$$t$$2.68$$2.18$$0.025$$(0.025-0.02)/(0.05-0.02) = 1/6$$x$$t$$1/6$$t$

นั่นคือหรือเทียบเท่า$\frac{t_{0.025}-2.68}{2.18-2.68} \approx \frac{0.025-0.02}{0.05-0.02}$

$t_{0.025} \approx 2.68 + (2.18-2.68) \frac{0.025-0.02}{0.05-0.02} = 2.68 - 0.5 \frac{1}{6} \approx 2.60$

คำตอบที่แท้จริงคือ ... ซึ่งไม่ใกล้เคียงอย่างยิ่งเพราะฟังก์ชั่นที่เราประมาณไม่ใกล้เคียงกับเชิงเส้นในช่วงนั้นมาก (ใกล้กว่ามันคือ)α = $2.56$$\alpha = 0.5$

การประมาณที่ดีขึ้นผ่านการแปลง

เราสามารถแทนที่การแก้ไขเชิงเส้นด้วยรูปแบบการทำงานอื่น ๆ ; ผลเราเปลี่ยนเป็นขนาดที่การแก้ไขเชิงเส้นทำงานได้ดีขึ้น ในกรณีนี้ในส่วนท้ายค่าวิกฤตที่ทำเป็นตารางจำนวนมากจะเกือบเป็นเส้นตรงของระดับนัยสำคัญ หลังจากเราจด s เราก็ใช้การประมาณเชิงเส้นเหมือนเดิม ลองดูจากตัวอย่างด้านบน:$\log$$\log$

$$\begin{array}{ c c } α & \log(α)& t\\ 0.02 & -3.912 & 2.68\\ 0.025& -3.689 & t_{0.025}\\ 0.05 & -2.996 & 2.18\\ \end{array}$$

ตอนนี้

$$\begin{eqnarray} \frac{t_{0.025}-2.68}{2.18-2.68} &\approx& \frac{\log(0.025)-\log(0.02)}{\log(0.05)-\log(0.02)} \\ &=& \frac{-3.689 - -3.912}{-2.996 - -3.912}\\ \end{eqnarray}$$

หรือเทียบเท่า

$$\begin{eqnarray} t_{0.025} &\approx& 2.68 + (2.18-2.68) \frac{-3.689 - -3.912}{-2.996 - -3.912}\\ &=& 2.68 - 0.5 \cdot 0.243 \approx 2.56 \end{eqnarray}$$

ซึ่งถูกต้องตามจำนวนตัวเลขที่ยกมา นี่เป็นเพราะ - เมื่อเราเปลี่ยนลอการิทึม x - ความสัมพันธ์เกือบเป็นเส้นตรง:

ที่จริงแล้วเส้นโค้ง (สีเทา) ที่มองเห็นนั้นอยู่ด้านบนของเส้นตรง (สีฟ้า)

ในบางกรณีlogitของระดับนัยสำคัญ ( ) อาจทำงานได้ดีในช่วงกว้าง แต่โดยทั่วไปไม่จำเป็น (เรามักจะสนใจเฉพาะค่าวิกฤตที่ถูกต้องเมื่อมีขนาดเล็กพอที่ทำงานได้ค่อนข้างดี)$\text{logit}(\alpha)=\log(\frac{α}{1-α})=\log(\frac{1}{1-α}-1)$$\alpha$$\log$

การแก้ไขข้ามองศาอิสระที่แตกต่างกัน

$t$ตาราง , chi-square และยังมีองศาอิสระซึ่งไม่มีการจัดตารางค่าdf ( -) ทุกค่า ค่าวิกฤตส่วนใหญ่ไม่ได้แสดงอย่างถูกต้องโดยการสอดแทรกเชิงเส้นใน df อันที่จริงมักจะเป็นมากขึ้นเกือบกรณีที่ค่าในตารางที่มีเส้นตรงซึ่งกันและกันของ DF ที่1$F$$\nu$$^\dagger$$1/\nu$

(ในตารางเก่าคุณมักจะเห็นคำแนะนำให้ทำงานกับ - ค่าคงที่ของตัวเศษไม่แตกต่างกัน แต่สะดวกกว่าในเครื่องคิดเลขล่วงหน้าเพราะ 120 มีปัจจัยหลายอย่างดังนั้นมักจะเป็นจำนวนเต็มทำให้การคำนวณง่ายขึ้นเล็กน้อย)$120/\nu$$120/\nu$

นี่คือวิธีการดำเนินการแก้ไขผกผันกับค่าที่สำคัญ 5% ของระหว่างและ120นั่นคือเพียงปลายทางมีส่วนร่วมในการแก้ไขใน1ตัวอย่างเช่นในการคำนวณค่าวิกฤตสำหรับเรารับ (และโปรดสังเกตว่าที่นี่หมายถึงค่าผกผันของ cdf):$F_{4,\nu}$$\nu = 60$$120$$1/\nu$$\nu=80$$F$

$$F_{4,80,.95} \approx F_{4,60,.95} + \frac{1/80 - 1/60}{1/120 - 1/60} \cdot (F_{4,120,.95}-F_{4,60,.95})$$

(เปรียบเทียบกับไดอะแกรมที่นี่ )

---

$^\dagger$ส่วนใหญ่ แต่ไม่เสมอไป นี่คือตัวอย่างที่การประมาณค่าเชิงเส้นใน df ดีขึ้นและคำอธิบายวิธีบอกจากตารางว่าการประมาณเชิงเส้นจะแม่นยำ

นี่คือส่วนหนึ่งของตารางไค - สแควร์

            Probability less than the critical value
 df           0.90      0.95     0.975      0.99     0.999
______   __________________________________________________

 40         51.805    55.758    59.342    63.691    73.402
 50         63.167    67.505    71.420    76.154    86.661
 60         74.397    79.082    83.298    88.379    99.607
 70         85.527    90.531    95.023   100.425   112.317

ลองนึกภาพเราต้องการค้นหาค่าวิกฤติ 5% (95 เปอร์เซ็นต์) สำหรับ 57 องศาอิสระ

มองอย่างใกล้ชิดเราจะเห็นว่าค่าวิกฤต 5% ในตารางเกือบจะเป็นเส้นตรงที่นี่:

(เส้นสีเขียวรวมค่า 50 และ 60 df คุณสามารถเห็นมันสัมผัสจุดสำหรับ 40 และ 70)

ดังนั้นการแก้ไขเชิงเส้นจะทำได้ดีมาก แต่แน่นอนว่าเราไม่มีเวลาวาดกราฟ วิธีการตัดสินใจว่าจะใช้การแก้ไขเชิงเส้นเมื่อใดและจะลองทำอะไรที่ซับซ้อนมากกว่านี้

เช่นเดียวกับค่าที่ด้านใดด้านหนึ่งของค่าที่เราค้นหาให้ใช้ค่าที่ใกล้ที่สุดถัดไป (70 ในกรณีนี้) หากค่า tabulated กลาง (ค่าสำหรับ df = 60) อยู่ใกล้กับเส้นตรงระหว่างค่าสิ้นสุด (50 และ 70) การแก้ไขเชิงเส้นจะเหมาะสม ในกรณีนี้ค่าต่าง ๆ จึงมีความง่ายมาก: คือใกล้กับ ?x 60 , $(x_{50,0.95}+x_{70,0.95})/2$$x_{60,0.95}$

เราพบว่าซึ่งเมื่อเทียบกับค่าจริงของ 60 df, 79.082 เราจะเห็นว่ามีความแม่นยำเกือบสามตัวเลขเต็มซึ่งมักจะค่อนข้างดีสำหรับการแก้ไขดังนั้นในกรณีนี้ คุณจะติดกับการแก้ไขเชิงเส้น; ด้วยขั้นตอนที่ละเอียดกว่าสำหรับค่าที่เราต้องการตอนนี้เราคาดว่าจะมีความแม่นยำของตัวเลข 3 อย่างมีประสิทธิภาพ$(67.505+90.531)/2 = 79.018$

ดังนั้นเราจึงได้รับ:หรือ$\frac{x-67.505}{79.082-67.505} \approx {57-50}{60-50}$

$x\approx 67.505+(79.082-67.505)\cdot {57-50}{60-50}\approx 75.61$75.61

ค่าจริงคือ 75.62375 ดังนั้นเราจึงมีความแม่นยำ 3 รูปและมีเพียง 1 ในสี่เท่านั้น

การแก้ไขที่แม่นยำยิ่งขึ้นอาจจะยังคงมีอยู่โดยใช้วิธีการของความแตกต่างอัน จำกัด (โดยเฉพาะอย่างยิ่งผ่านความแตกต่างที่ถูกแบ่งแยก) แต่นี่อาจเป็น overkill สำหรับปัญหาการทดสอบสมมติฐาน

หากองศาอิสระของคุณผ่านจุดสิ้นสุดของตารางคำถามนี้จะกล่าวถึงปัญหานั้น