วิธีการหาปริมาณ (แยก) ของการแจกแจงปกติหลายตัวแปร

24

ป้อนคำอธิบายรูปภาพที่นี่

ฉันสนใจว่าจะคำนวณการกระจายของหลายตัวแปรแบบควอไทล์ได้อย่างไร ในรูปฉันได้วาดควอนไทล์ 5% และ 95% ของการแจกแจงแบบปกติแบบไม่มีตัวแปร (ซ้าย) สำหรับการกระจายตัวแบบหลายตัวแปรที่ถูกต้องฉันจินตนาการว่าอะนาล็อกจะเป็นสายเดี่ยวที่ล้อมรอบฐานของฟังก์ชันความหนาแน่น ด้านล่างเป็นตัวอย่างของความพยายามของฉันในการคำนวณโดยใช้แพคเกจmvtnorm- แต่ไม่ประสบความสำเร็จ ฉันคิดว่าสิ่งนี้สามารถทำได้โดยการคำนวณรูปร่างของผลลัพธ์ของฟังก์ชันความหนาแน่นหลายตัวแปร แต่ฉันสงสัยว่ามีทางเลือกอื่น ( เช่นแบบอะนาล็อกqnorm) ขอบคุณสำหรับความช่วยเหลือของคุณ.

ตัวอย่าง:

mu <- 5
sigma <- 2 
vals <- seq(-2,12,,100)
ds <- dnorm(vals, mean=mu, sd=sigma)

plot(vals, ds, t="l")
qs <- qnorm(c(0.05, 0.95), mean=mu, sd=sigma)
abline(v=qs, col=2, lty=2)


#install.packages("mvtnorm")
require(mvtnorm)
n <- 2
mmu <- rep(mu, n)
msigma <- rep(sigma, n)
mcov <- diag(msigma^2)
mvals <- expand.grid(seq(-2,12,,100), seq(-2,12,,100))
mvds <- dmvnorm(x=mvals, mean=mmu, sigma=mcov)

persp(matrix(mvds,100,100), axes=FALSE)
mvqs <- qmvnorm(0.95, mean=mmu, sigma=mcov, tail = "both") #?

#ex. plot   
png("tmp.png", width=8, height=4, units="in", res=400)
par(mfcol=c(1,2))

#univariate
plot(vals, ds, t="l")
qs <- qnorm(c(0.05, 0.95), mean=mu, sd=sigma)
abline(v=qs, col=2, lty=2)

#multivariate
pmat <- persp(seq(-2,12,,100), seq(-2,12,,100), matrix(mvds,100,100), axes=FALSE, shade=TRUE, lty=0)
cont <- contourLines(seq(-2,12,,100), seq(-2,12,,100), matrix(mvds,100,100), levels=0.05^2)
lines(trans3d(cont[[1]]$x, cont[[1]]$y, cont[[1]]$level, pmat), col=2, lty=2)

dev.off()

— มาร์คในกล่อง
แหล่งที่มา

3

Mathematicaแก้ปัญหาคือการที่กำหนด (และภาพประกอบสำหรับกรณี 3D) ที่mathematica.stackexchange.com/questions/21396/... มันรับรู้ว่าระดับเส้นชั้นความสูงได้รับจากการแจกแจงแบบไคสแควร์

— whuber

@whuber - คุณจะแสดงให้เห็นถึงสิ่งที่คุณหมายถึงโดย "... ความเชื่อมั่นทรงรีเป็นรูปร่างของอินเวอร์สของเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วม" ไชโย

— Marc ในกล่อง

2

นี่เป็นวิธีที่ง่ายที่สุดที่จะเห็นในมิติเดียวที่ "เมทริกซ์ความแปรปรวนร่วม" (สำหรับการแจกแจงการสุ่มตัวอย่าง) คือตัวเลขดังนั้นผกผันของมันคือคิดเป็นแผนที่กำลังสองบนผ่าน 2 รูปร่างที่ระดับตามคำนิยามคือชุดของซึ่ง ; นั่นคือหรือเท่า s เมื่อคือ quantile ของ aการแจกแจงคือ quantile ของ

s^{2}

$s^2$

1 / s^{2}

$1/s^2$

R^{1}

$\mathbb{R}^1$

x \to x^{2} / s^{2}

$x\to x^2/s^2$

λ

$\lambda$

x

$x$

x^{2} / s^{2} = λ

$x^2/s^2=\lambda$

x^{2} = λ s^{2}

$x^2=\lambda s^2$

x = \pm \sqrt{λ} s

$x=\pm\sqrt{\lambda}s$

λ

$\lambda$

1 - α

$1-\alpha$

χ^{2} (1)

$\chi^2(1)$

\sqrt{λ}

$\sqrt{\lambda}$

1 - α

$1-\alpha$

t (1)

$t(1)$ การกระจายจากที่ใดที่เรากู้คืนขีดจำกัดความเชื่อมั่นปกติวิ

\pm t_{1 - α; 1} s

$\pm t_{1-\alpha; 1}s$

— whuber

คุณสามารถใช้สูตรแรกในคำตอบนี้โดยเลือกในเพื่อรับ ellipseสอดคล้องกัน(เส้นประสีแดงในแปลงของคุณ) สำหรับ

α

$\alpha$

(0, 1)

$(0,1)$

S_{α}

$S_\alpha$

x \in R^{2}

$\mathbf{x}\in \mathbb{R}^2$

— user603

25

เส้นชั้นความสูงเป็นรูปวงรี เหตุผลก็เพราะคุณต้องดูอาร์กิวเมนต์ของเลขชี้กำลังในรูปแบบ pdf ของการแจกแจงปกติหลายตัวแปร: ตัวแยกจะเป็นเส้นที่มีอาร์กิวเมนต์เดียวกัน จากนั้นคุณจะได้รับ โดยที่คือเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วม นั่นคือสมการของวงรี ในกรณีที่ง่ายที่สุดและเป็นแนวทแยงดังนั้นคุณจะได้ ถ้าไม่เป็นแนวทแยงทำให้คุณได้ผลลัพธ์ที่เหมือนกัน

(x - μ)^{T} Σ^{- 1} (x - μ) = c

$({\bf x}-\mu)^T\Sigma^{-1}({\bf x}-\mu) = c$

Σ

$\Sigma$

μ = (0, 0)

$\mu=(0,0)$

Σ

$\Sigma$

{(\frac{x}{σ_{x}})}^{2} + {(\frac{Y}{σ_{Y}})}^{2} = ค

$\left(\frac{x}{\sigma_x}\right)^2+\left(\frac{y}{\sigma_y}\right)^2=c$

Σ

$\Sigma$

ทีนี้คุณจะต้องรวมไฟล์ PDF ของหลายตัวแปรใน (หรือนอก) วงรีแล้วขอให้นี่เท่ากับควอนไทล์ที่คุณต้องการ สมมติว่าควอไทล์ของคุณไม่ใช่แบบปกติ แต่เป็นรูปไข่ในหลักการ (เช่นคุณกำลังมองหาพื้นที่ความหนาแน่นสูงสุด HDR แบบที่ทิมตอบ) ฉันจะเปลี่ยนตัวแปรใน pdf เป็นรวมเข้ากับมุมแล้วสำหรับจากถึง แล้วคุณแทน : $z^2=(x/\sigma_x)^2+(y/\sigma_y)^2$ $z$ $0$ $\sqrt{c}$

1 - α = \int_{0}^{\sqrt{ค}} d Z \frac{Z {อี}^{- Z^{2} / 2}}{2 π} \int_{0}^{2 π} d θ = \int_{0}^{\sqrt{ค}} Z {อี}^{- Z^{2} / 2}

$1-\alpha=\int_0^{\sqrt{c}}dz\frac{z\;e^{-z^2/2}}{2\pi}\int_0^{2\pi}d\theta=\int_0^{\sqrt{c}}z\;e^{-z^2/2}$

s = - z^{2} / 2

$s=-z^2/2$

\int_{0}^{\sqrt{ค}} Z {อี}^{- Z^{2} / 2} = \int_{- ค / 2}^{0} {อี}^{s} d s = (1 - {อี}^{- ค / 2})

$\int_0^{\sqrt{c}}z\;e^{-z^2/2}=\int_{-c/2}^{0}e^sds=(1-e^{-c/2})$

โดยหลักการแล้วคุณต้องมองหาวงรีที่มีศูนย์กลางอยู่ที่โดยมีแกนอยู่เหนือ eigenvectors ของและรัศมีที่มีประสิทธิภาพ : $\mu$ $\Sigma$ $-2\ln\alpha$

(x - μ)^{T} Σ^{- 1} (x - μ) = - 2 LN α

$({\bf x}-\mu)^T\Sigma^{-1}({\bf x}-\mu) = -2\ln{\alpha}$

— chuse
แหล่งที่มา

4

คุณถามเกี่ยวกับหลายตัวแปรปกติ แต่เริ่มต้นคำถามของคุณด้วยการถามเกี่ยวกับ "การกระจายของตัวแปรหลายตัวแปร" โดยทั่วไป จากถ้อยคำของคำถามและเป็นตัวอย่างที่มีให้คุณดูเหมือนว่าคุณมีความสนใจในภูมิภาคหนาแน่นสูงสุด พวกเขาถูกกำหนดโดย Hyndman (1996) ดังต่อไปนี้

ให้เป็นฟังก์ชั่นความหนาแน่นของตัวแปรสุ่มXจากนั้น HDR คือชุดย่อย ของพื้นที่ตัวอย่างของเช่นนั้น $f(z)$ $X$ $100( 1 - \alpha )\%$ $R(f_\alpha)$ $X$

$R (ฉ_{α}) = {x : ฉ (x) \geq ฉ_{α}}$ $R(f_\alpha) = \{ x : f(x) \geq f_\alpha\}$
ที่เป็นที่ใหญ่ที่สุดอย่างต่อเนื่องดังกล่าวว่า $f_\alpha$ $\Pr(X \in R(f_\alpha)) \geq 1 - a$

HDR สามารถหาได้จากการรวม แต่ตาม Hyndman คุณสามารถทำได้โดยใช้วิธีตัวเลขที่ง่ายกว่า หากแล้วคุณสามารถขอรับดังกล่าวว่าโดยเพียงแค่การ quantile ของYมันสามารถใช้ประมาณquantiles ตัวอย่างจากชุดของการสังเกตy_1,วิธีการนี้ใช้แม้ว่าเราจะไม่รู้แต่มีเพียงชุดของการสังเกต iid วิธีนี้จะใช้ได้กับการกระจายแบบหลายค่า $Y = f(x)$ $f_\alpha$ $\Pr(f(x) \geq f_\alpha) \geq 1 - \alpha$ $\alpha$ $Y$ $y_1,...,y_m$ $f(x)$

Hyndman, RJ (1996) การคำนวณและการกราฟพื้นที่ที่มีความหนาแน่นสูงสุด นักสถิติชาวอเมริกัน 50 (2), 120-126

— ทิม
แหล่งที่มา

2

คำตอบที่ถูกต้องควรจะalpha) มีข้อผิดพลาดในการคำนวณข้างต้น รุ่นที่แก้ไข: $-2*\ln(\alpha)$

\int_{0}^{\sqrt{ค}} Z {อี}^{- Z^{2} / 2} = \int_{- ค / 2}^{0} {อี}^{s} d s = (1 - {อี}^{- ค / 2})

$\int_0^\sqrt{c} z e^{-z^2/2} =\int_{-c/2}^0e^sds=(1-e^{-c/2})$

— chunjiw
แหล่งที่มา

1

คุณสามารถวาดวงรีที่สอดคล้องกับระยะทาง Mahalanobis

library(chemometrics)
data(glass)
data(glass.grp)
x=glass[,c(2,7)]
require(robustbase)
x.mcd=covMcd(x)
drawMahal(x,center=x.mcd$center,covariance=x.mcd$cov,quantile=0.90)

หรือกับวงกลมประมาณ 95%, 75% และ 50% ของข้อมูล

drawMahal(x,center=x.mcd$center,covariance=x.mcd$cov,quantile=c(0.95,.75,.5))

— ดอกเดซี
แหล่งที่มา

4

ยินดีต้อนรับสู่เว็บไซต์ @ user98114 คุณสามารถให้ข้อความเพื่ออธิบายสิ่งที่รหัสนี้กำลังทำอยู่และจะแก้ไขปัญหาของ OP ได้อย่างไร

— gung - Reinstate Monica