สร้างคู่ของตัวเลขสุ่มกระจายอย่างสม่ำเสมอและมีความสัมพันธ์

ฉันต้องการสร้างตัวเลขสุ่มคู่ที่มีความสัมพันธ์บางอย่าง อย่างไรก็ตามวิธีการปกติของการใช้การรวมกันเชิงเส้นของตัวแปรปกติสองตัวนั้นไม่ถูกต้องที่นี่เนื่องจากการรวมกันเชิงเส้นของตัวแปรชุดไม่ได้เป็นตัวแปรการกระจายแบบสม่ำเสมออีกต่อไป ฉันต้องการตัวแปรสองตัวที่เหมือนกัน

ความคิดเกี่ยวกับวิธีการสร้างคู่ของตัวแปรเครื่องแบบที่มีความสัมพันธ์ที่กำหนด?

ฉันไม่ได้ตระหนักถึงวิธีสากลในการสร้างตัวแปรสุ่มที่มีความสัมพันธ์กับการแจกแจงที่กำหนดใด ๆ ดังนั้นฉันจะเสนอวิธีการเฉพาะกิจเพื่อสร้างคู่ของตัวแปรสุ่มแบบกระจายที่มีความสัมพันธ์ (Pearson) ที่กำหนด โดยไม่สูญเสียความสามารถทั่วไปฉันคิดว่าการกระจายส่วนต่างที่ต้องการคือชุดมาตรฐาน (เช่นการสนับสนุนคือ )$[0, 1]$

วิธีการเสนออาศัยดังต่อไปนี้:
a) สำหรับตัวแปรสุ่มเครื่องแบบมาตรฐานและU 2ที่มีฟังก์ชั่นการจัดจำหน่ายนั้นF 1และF 2เรามีF ฉัน ( U ฉัน ) = U ฉันสำหรับฉัน= 1 , 2 ดังนั้นตามคำจำกัดความของสเปียร์แมน rhoคือ ρ S ( U 1 , U 2 ) = c o r r ( $U_1$$U_2$$F_1$$F_2$$F_i(U_i) = U_i$$i = 1, 2$ ดังนั้นค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของสเปียร์แมนและค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สันมีค่าเท่ากัน (เวอร์ชั่นตัวอย่างอาจแตกต่างกัน)

b) ถ้าเป็นตัวแปรสุ่มที่มีระยะขอบอย่างต่อเนื่องและGaussian copula ที่มีสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ (Pearson) ρดังนั้น Rho ของ Spearman คือ ρ S ( X 1 , X 2 ) = $X_1, X_2$$\rho$ สิ่งนี้ทำให้ง่ายต่อการสร้างตัวแปรสุ่มที่มีค่า Rho ของ Spearman ที่ต้องการ

วิธีการคือการสร้างข้อมูลจากการเชื่อมเกาส์ที่มีค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ที่เหมาะสมดังกล่าวที่สเปียร์แมนสอดคล้องโรเพื่อความสัมพันธ์ที่ต้องการสำหรับตัวแปรสุ่มเครื่องแบบ$\rho$

การจำลองขั้นตอนวิธี
Let หมายถึงระดับที่ต้องการความสัมพันธ์และnจำนวนคู่ที่จะสร้าง อัลกอริทึมคือ:$r$$n$

1. Compute )$\rho = 2\sin (r \pi/6)$
2. สร้างคู่ของตัวแปรสุ่มจากเกาส์เกา (เช่นด้วยวิธีนี้ )
3. ทำซ้ำขั้นตอนที่ 2 ครั้ง$n$

ตัวอย่าง
โค้ดต่อไปนี้เป็นตัวอย่างของการใช้อัลกอริทึมนี้โดยใช้ R โดยมีความสัมพันธ์เป้าหมายและn = 500คู่$r = 0.6$$n = 500$

## Initialization and parameters 
set.seed(123)
r <- 0.6                            # Target (Spearman) correlation
n <- 500                            # Number of samples

## Functions
gen.gauss.cop <- function(r, n){
    rho <- 2 * sin(r * pi/6)        # Pearson correlation
    P <- toeplitz(c(1, rho))        # Correlation matrix
    d <- nrow(P)                    # Dimension
    ## Generate sample
    U <- pnorm(matrix(rnorm(n*d), ncol = d) %*% chol(P))
    return(U)
}

## Data generation and visualization
U <- gen.gauss.cop(r = r, n = n)
pairs(U, diag.panel = function(x){
          h <- hist(x, plot = FALSE)
          rect(head(h$breaks, -1), 0, tail(h$breaks, -1), h$counts/max(h$counts))})

ในภาพด้านล่างพล็อตแนวทแยงแสดงฮิสโทแกรมของตัวแปรและ$U_1$และแผนการปิดเส้นทแยงมุมแสดงแผนการกระจาย U 1และ U 2 $U_2$$U_1$$U_2$

โดย constuction ตัวแปรสุ่มมีอัตรากำไรที่สม่ำเสมอและค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ (ใกล้) Rแต่เนื่องจากผลกระทบของการสุ่มตัวอย่างที่ค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของข้อมูลจำลองไม่ว่าเท่ากับR$r$$r$

cor(U)[1, 2]
# [1] 0.5337697

โปรดทราบว่าgen.gauss.copฟังก์ชั่นควรทำงานกับตัวแปรมากกว่าสองตัวแปรเพียงแค่ระบุเมทริกซ์สหสัมพันธ์ที่ใหญ่ขึ้น

การศึกษา
แบบจำลองการศึกษาแบบจำลองต่อไปนี้ซ้ำสำหรับความสัมพันธ์เป้าหมาย$r= -0.5, 0.1, 0.6$แสดงให้เห็นว่าการกระจายของสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์แปรเปลี่ยนเป็นความสัมพันธ์ที่ต้องการเมื่อขนาดตัวอย่างเพิ่มขึ้น$n$

## Simulation
set.seed(921)
r <- 0.6                                                # Target correlation
n <- c(10, 50, 100, 500, 1000, 5000); names(n) <- n     # Number of samples
S <- 1000                                               # Number of simulations

res <- sapply(n,
              function(n, r, S){
                   replicate(S, cor(gen.gauss.cop(r, n))[1, 2])
               }, 
               r = r, S = S)
boxplot(res, xlab = "Sample size", ylab = "Correlation")
abline(h = r, col = "red")

$u_1$$U(0,1)$$u_1$$w_1$$U(0,1)$$I = 1$$u_1$$w_2$$U(0,1)$$I = 0$$u_1$$U(0,1)$$u_2$

$E(u_1 u_2) = E[I w_1 + (1-I) w_2][I w_1 + (1-I) w_3]$

$I(I-1)=0$$I^2=I$$(1-I)^2=(1-I)$$I$$0$$1$$I$$w$

$E(u_1 u_2) = E(I)E(w_1^2) + E(1-I)E(w_2)E(w_3)$ $=pE(w_1^2)+(1-p)/4$

$V(w_1)=1/12$, เราได้รับ $E(w_1^2)=1/3$ดังนั้น $E(u_1 u_2) = p/12 + 1/4$, that is: $cov(u_1 u_2) = p/12$. Since $V(u_1)=V(u_2)=1/12$, we get finally that $cor(u_1, u_2) = p$.

Here is one easy method for positive correlation: Let $(u_1, u_2) = Iw_1 + (1-I) (w_2, w_3)$, where $w_1, w_2,$ and $w_3$ are independent $U(0,1)$ and $I$ is Bernoulli($p$). $u_1$ and $u_2$ will then have $U(0,1)$ distributions with correlation $p$. This extends immediately to $k$-tuples of uniforms with compound symmetric variance matrix.

If you want pairs with negative correlation, use $(u_1, u_2) = I(w_1, 1-w_1) + (1-I)(w_2, w_3)$, and the correlation will be $-p$.