ตัวแบบไบนารี (Probit and Logit) ที่มีการชดเชยแบบลอการิทึม

ไม่มีใครมีรากศัพท์ว่าออฟเซ็ตทำงานในรูปแบบไบนารีเช่น probit และ logit หรือไม่

ในปัญหาของฉันหน้าต่างติดตามผลอาจมีความยาวแตกต่างกันไป สมมติว่าผู้ป่วยได้รับการยิงป้องกันโรคในการรักษา การยิงเกิดขึ้นในเวลาที่ต่างกันดังนั้นหากผลลัพธ์เป็นตัวบ่งชี้ไบนารีว่ามีการเกิดวูบวาบเกิดขึ้นหรือไม่คุณจำเป็นต้องปรับเปลี่ยนตามความจริงที่ว่าบางคนมีเวลามากขึ้นในการแสดงอาการ ดูเหมือนว่าความน่าจะเป็นของการลุกเป็นไฟจะแปรผันตามความยาวของระยะเวลาติดตามผล มันไม่ชัดเจนสำหรับฉันในทางคณิตศาสตร์ว่าไบนารีโมเดลที่มีอ็อฟเซ็ตบันทึกสัญชาตญาณนี้อย่างไร (เหมือนกับปัวซง)

ออฟเซ็ตเป็นตัวเลือกมาตรฐานทั้งในStata (หน้า 1666)และRและฉันสามารถเห็นมันสำหรับปัวซองได้อย่างง่ายดายแต่กรณีไบนารีนั้นเป็นบิตทึบแสง

ตัวอย่างเช่นถ้าเรามี นี่คือพีชคณิตเทียบเท่ากับแบบจำลองที่ไหน ซึ่งเป็นรูปแบบมาตรฐานที่มีค่าสัมประสิทธิ์ในบีบบังคับให้1นี้เรียกว่าลอการิทึมชดเชย ฉันมีปัญหาในการหาวิธีการทำงานนี้ถ้าเราแทนที่กับหรือ()

\frac{E [y | x]}{Z} = \exp {x^{'} β},

$\begin{equation} \frac{E[y \vert x]}{Z}=\exp\{x'\beta\}, \end{equation}$

E [y | x] = \exp {x^{'} β + \log Z},

$\begin{equation}E[y \vert x]=\exp\{x'\beta+\log{Z}\}, \end{equation}$

\log Z

$\log Z$

1

$1$

\exp {}

$\exp\{\}$

Φ ()

$\Phi()$

Λ ()

$\Lambda()$

อัปเดต # 1:

กรณี logit ถูกอธิบายด้านล่าง

อัปเดต # 2:

นี่คือคำอธิบายของสิ่งที่ดูเหมือนว่าเป็นการใช้หลักของ offsets สำหรับโมเดลที่ไม่ใช่ปัวซองเช่น probit ออฟเซ็ตสามารถใช้ในการทดสอบอัตราส่วนความน่าจะเป็นของสัมประสิทธิ์ฟังก์ชั่นดัชนี ก่อนอื่นให้คุณประเมินโมเดลที่ไม่มีข้อ จำกัด และจัดเก็บค่าประมาณ สมมติว่าคุณต้องการที่จะทดสอบสมมติฐานที่ว่า 2 จากนั้นคุณสร้างตัวแปรให้พอดีกับแบบจำลองและใช้เป็นออฟเซ็ตที่ไม่ใช่ลอการิทึม นี่เป็นโมเดลที่มีข้อ จำกัด การทดสอบ LR จะเปรียบเทียบทั้งสองแบบและเป็นทางเลือกแทนการทดสอบแบบปกติของ Wald $\beta_x=2$ $z=2 \cdot x$ $x$ $z$

— Dimitriy V. Masterov
แหล่งที่มา

คำตอบ:

คุณสามารถรวมออฟเซ็ตในGLM ใด ๆ ได้เสมอ : มันเป็นเพียงตัวแปรทำนายที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่ 1 การถดถอยปัวซองนั้นเป็นกรณีการใช้งานทั่วไป

โปรดทราบว่าในรูปแบบทวินามอะนาล็อกเพื่อบันทึกการรับแสงในฐานะออฟเซ็ตเป็นเพียงส่วนของทวินามดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องระบุอย่างชัดเจน เช่นเดียวกับที่คุณสามารถสร้างแบบจำลอง Poisson RV เป็นจำนวนที่มีการเปิดรับบันทึกเป็นชดเชยหรือเป็นอัตราส่วนที่มีการเปิดรับแสงเป็นน้ำหนักคุณสามารถสร้างแบบจำลองของ binomial RV เช่นเดียวกับการนับจำนวนของความสำเร็จและความล้มเหลวหรือเป็นความถี่ น้ำหนัก

ในการถดถอยโลจิสติคุณจะตีความชดเชยในแง่ของอัตราส่วนราคาต่อรอง: การเปลี่ยนแปลงสัดส่วนผลให้เกิดการเปลี่ยนแปลงสัดส่วนที่กำหนดใน(1-P) $\log Z$ $Z$ $p/(1-p)$

\begin{aligned} \log (p / (1 - p)) & = β^{'} X + \log Z \\ p / (1 - p) & = Z \exp (β^{'} X) \end{aligned}

$\begin{equation}\begin{split} \log (p/(1-p)) &= \beta' \mathrm{X} + \log Z \\ p/(1-p) &= Z \exp(\beta' \mathrm{X}) \end{split}\end{equation}$

แต่สิ่งนี้ไม่ได้มีความสำคัญใด ๆ เช่นการสัมผัสบันทึกในการถดถอยปัวซอง ที่กล่าวว่าหากความน่าจะเป็นทวินามของคุณมีขนาดเล็กพอโมเดลโลจิสติกส์จะเข้าหาโมเดลปัวซงโดยมีลิงค์บันทึก (เนื่องจากตัวหารของ LHS เข้าใกล้ 1) และออฟเซ็ตสามารถถือว่าเป็นคำศัพท์

(ปัญหาที่อธิบายไว้ในคำถาม R ที่เชื่อมโยงของคุณนั้นค่อนข้างเป็นไปในทางที่ผิด)

— หงษ์อ้อย
แหล่งที่มา

ส่วนน้ำหนักหายไปจากความเข้าใจของฉันเกี่ยวกับความเท่ากันของทั้งสอง นั่นเป็นประโยชน์มาก ฉันยังสับสนนิดหน่อยว่าจะเปลี่ยนอะไรได้เหมือนเป็นคำแถลงเกี่ยวกับความน่าจะเป็นของการลุกเป็นไฟตามสัดส่วน ความยาวของการติดตามระยะเวลาแต่ฉันสามารถดูวิธีการที่จะเพิ่มขึ้นในเสื้อ

Pr (Y = 1 | X) = Φ (x^{'} β + \ln (t))

$\Pr(Y=1 \vert X)=\Phi(x'\beta+\ln(t))$

t

$t$

t

$t$

— Dimitriy V. Masterov

ไม่ใช่ความน่าจะเป็น แต่เป็นอัตราต่อรอง หวังว่าการแก้ไขจะทำให้ชัดเจนยิ่งขึ้น

— Hong Ooi

แสดงปัญหาในแง่ของอัตราต่อรองทำให้มันชัดเจนมาก แล้ว probit ล่ะ?

— Dimitriy V. Masterov

ฉันจะไม่คาดหวังว่าสิ่งนี้จะทำงานกับ probit หรืออย่างน้อยก็จะมีการตีความที่สะอาดเนื่องจากไม่ใช่ลิงก์แบบบัญญัติและเป็นตัวแปรไบนารี่ที่ขึ้นกับ probit ไม่ได้ตกอยู่ในตระกูลเลขชี้กำลัง

Φ (\cdot)

$\Phi(\cdot)$

— StasK

@StasK ดูเหมือนจะถูก แต่ทำไมตัวเลือกเหล่านี้ถึงมีอยู่ใน Stata และ R พวกเขาทำอะไรได้บ้าง

— Dimitriy V. Masterov

การนำปัญหานี้กลับมาใช้ใหม่เป็นเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นเป็นครั้งคราวโมเดลโลจิสติกที่มี ln (เวลา) ชดเชยจะไม่ผูกมัดคุณกับฟังก์ชันการอยู่รอดแบบพารามิเตอร์ที่อาจหรือไม่เหมาะสมกับข้อมูลหรือไม่

P / (1-P) = Z * exp (Xbeta)

p = [Z * exp (xbeta)] / [1 + Z * exp (xbeta)]

การอยู่รอดที่คาดการณ์ไว้ในเวลา Z = 1- [Z * exp (xbeta)] / [1 + Z * exp (xbeta)]

— เอริค
แหล่งที่มา