ผลรวมของตัวแปรสุ่มไคสแควร์ที่ไม่ใช่ศูนย์กลาง

21

ฉันต้องการค้นหาการกระจายตัวของตัวแปรสุ่ม

Y = Σ_{ผม = 1}^{n} (X_{ผม})^{2}

$Y=\sum_{i=1}^{n}(X_i)^2$ โดยที่

X_{i} \sim N (μ_{i}, σ_{i}^{2})

$X_i\sim{\cal{N}}(\mu_i,\sigma^2_i)$ และ

X_{i}

$X_i$ s ทั้งหมดเป็นอิสระ ฉันรู้ว่ามันเป็นไปได้ที่จะหาผลิตภัณฑ์ของทุกช่วงเวลาที่สร้างฟังก์ชั่นสำหรับและจากนั้นแปลงกลับเพื่อให้ได้การแจกแจงของอย่างไรก็ตามฉันสงสัยว่ามีรูปแบบทั่วไปสำหรับ

X_{i}

$X_i$

Y

$Y$

Y

$Y$ เช่นกรณี Gaussian: เรารู้ว่าผลรวมของ Gaussian อิสระยังคงเป็น Gaussian และดังนั้นเราจำเป็นต้องทราบค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนสรุป

วิธีการเกี่ยวกับทุก ? เงื่อนไขนี้จะทำให้การแก้ปัญหาทั่วไป? $\sigma^2_i=\sigma^2$

— หลุมพราง
แหล่งที่มา

1

กำลังมองหาที่วรรคแรกภายใต้นี่อย่างเห็นได้ชัดสภาพสุดท้ายผลตอบแทนถัวเฉลี่ยที่ปรับขนาด noncentral ไคสแควร์ (แบ่งผ่าน

(ปัจจัยระดับที่คุณจะออกจากด้านหน้า) และทำให้

ใน

) แบบฟอร์มทั่วไปที่มากขึ้นที่คุณเริ่มด้วยดูเหมือนเป็นชุดค่าผสมเชิงเส้นหรือค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักพร้อมค่าสัมประสิทธิ์

แทนที่จะเป็นผลรวมสี่เหลี่ยมจัตุรัสแบบธรรมดาธรรมดา ... และฉันเชื่อว่าโดยทั่วไปจะไม่มีการแจกแจงที่ต้องการ

σ^{2}

$\sigma^2$

σ_{i} = 1

$\sigma_i=1$

\sum_{i = 1}^{k} (X_{i} / σ_{i})^{2}

$\sum_{i=1}^k (X_i/\sigma_i)^2$

σ_{i}^{2}

$\sigma^2_i$

— Glen_b -Reinstate Monica

ขึ้นอยู่กับสิ่งที่คุณต้องการสำหรับในบางกรณีคุณอาจจะสามารถทำการแปลงตัวเลขหรือการจำลอง

— Glen_b -Reinstate Monica

สิ่งนี้ถูกสรุปโดยการแจกแจง 'น้ำหนักรวมของ log chi-squares to power' แพ็คเกจ R ของฉันsadistsมีฟังก์ชัน 'dpqr' โดยประมาณสำหรับ

; cf github.com/shabbychef/adadists

Y

$Y$

— shabbychef

17

ดังที่ Glen_b บันทึกไว้ในความคิดเห็นหากความแปรปรวนเหมือนกันทั้งหมดคุณจะได้ค่าไคสแควร์ที่ไม่ได้สัดส่วน

หากไม่มีแนวคิดของการแจกแจงแบบไคสแควร์ทั่วไปคือสำหรับและคงที่ ในกรณีนี้คุณมีกรณีพิเศษของเส้นทแยงมุม ( ) และฉัน $x^T A x$ $x \sim N(\mu, \Sigma)$ $A$ $\Sigma$ $\Sigma_{ii} = \sigma_i^2$ $A = I$

มีบางงานในการคำนวณสิ่งต่าง ๆ ด้วยการแจกจ่ายนี้:

Imhof (1961)และDavies (1980)กลับด้านฟังก์ชันฟังก์ชันตัวเลข
Sheil และ O'Muircheartaigh (1977)เขียนการแจกแจงเป็นผลรวมไม่สิ้นสุดของตัวแปรไคสแควร์กลาง
Kuonen (1999)ให้ค่าประมาณ saddlepoint กับ pdf / cdf
Liu, Tang และ Zhang (2009)ประมาณค่าด้วยการกระจายตัวไคสแควร์ที่ไม่ได้อยู่บนพื้นฐานของการจับคู่ที่สะสม

นอกจากนี้คุณยังสามารถเขียนมันเป็นการรวมกันเชิงเส้นของตัวแปร chi-squared noncentral อิสระในกรณีนี้: $Y = \sum_{i=1}^n \sigma_i^2 \left( \frac{X_i^2}{\sigma_i^2} \right)$

Castaño-MartínezและLópez-Blázquez (2005)ให้การขยายตัวของ Laguerre สำหรับ pdf / cdf

Bausch (2013)ให้อัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพมากขึ้นสำหรับการรวมกันเชิงเส้นของไคสแควร์กลาง; งานของเขาอาจขยายไปถึงไคสแควร์ที่ไม่ใช่ศูนย์กลางและคุณอาจพบคำแนะนำที่น่าสนใจในส่วนงานที่เกี่ยวข้อง

— Dougal
แหล่งที่มา

2

การเปรียบเทียบวิธีการประมาณนั้นพบใน Duchesne et al. 2010 สถิติการคำนวณและการวิเคราะห์ข้อมูล, 54, 858–862 ผู้เขียนเก็บรักษา R package CompQuadFormด้วยการใช้งาน

— caracal

-10

นี่จะเป็น Chi-Square ของ n degree of freedom

— อาเหม็ด
แหล่งที่มา

6

ฉันเชื่อว่าคุณมองข้ามว่า

μ_{i}

$\mu_i$ อาจไม่ใช่ศูนย์ ความคิดเห็นต่อคำถามรวมถึงคำตอบที่มีอยู่เป็นข้อมูล

— whuber