กำลังคำนวณขนาดตัวอย่างที่ต้องการความแม่นยำของการประมาณค่าความแปรปรวน?

พื้นหลัง

ฉันมีตัวแปรที่มีการแจกแจงที่ไม่รู้จัก

ฉันมีตัวอย่าง 500 ตัวอย่าง แต่ฉันต้องการแสดงความแม่นยำที่ฉันสามารถคำนวณความแปรปรวนได้เช่นเพื่อยืนยันว่าขนาดตัวอย่าง 500 เพียงพอ ฉันสนใจยังอยู่ในรู้ขนาดของกลุ่มตัวอย่างขั้นต่ำที่จะต้องประเมินความแปรปรวนที่มีความแม่นยำของ\%$X\%$

คำถาม

ฉันจะคำนวณได้อย่างไร

1. ความแม่นยำของการประมาณค่าความแปรปรวนของฉันมีขนาดตัวอย่างเป็นหรือไม่ ของ ?$n=500$$n=N$
2. ฉันจะคำนวณจำนวนตัวอย่างขั้นต่ำที่จำเป็นในการประมาณค่าความแปรปรวนด้วยความแม่นยำอย่างไร$X$

ตัวอย่าง

รูปที่ 1 การประมาณความหนาแน่นของพารามิเตอร์อ้างอิงจาก 500 ตัวอย่าง

รูปที่ 2นี่คือพล็อตของขนาดตัวอย่างบนแกน x เทียบกับค่าประมาณความแปรปรวนบนแกน y ที่ฉันคำนวณโดยใช้ชุดย่อยจากตัวอย่าง 500 ความคิดคือการประมาณจะมาบรรจบกับความแปรปรวนจริงเมื่อ n เพิ่มขึ้น .

อย่างไรก็ตามการประมาณการไม่ถูกต้องเนื่องจากตัวอย่างที่ใช้ในการประมาณความแปรปรวนสำหรับไม่ได้เป็นอิสระจากกันหรือตัวอย่างที่ใช้ในการคำนวณความแปรปรวนที่n ∈ [ 20 , 40 , 80 $n \in [10,125,250,500]$$n\in [20,40,80]$

สำหรับตัวแปรสุ่มของ iid ตัวประมาณค่าที่เป็นกลางสำหรับความแปรปรวนs 2 (อันที่มีตัวส่วนn - 1 ) มีความแปรปรวน:$X_1, \dotsc, X_n$$s^2$$n-1$

$$\mathrm{Var}(s^2) = \sigma^4 \left(\frac{2}{n-1} + \frac{\kappa}{n}\right)$$

โดยที่เป็นส่วนเกินของการกระจาย (อ้างอิง: Wikipedia ) ดังนั้นตอนนี้คุณต้องประเมินค่าความสามารถในการกระจายตัวของคุณเช่นกัน บางครั้งคุณสามารถใช้ปริมาณที่อธิบายเป็นγ 2 (เช่นจากWikipedia ):$\kappa$$\gamma_2$

$$\gamma_2 = \frac{\mu_4}{\sigma_4} - 3$$

ฉันจะสมมติว่าหากคุณใช้เป็นค่าประมาณสำหรับσและγ 2เป็นค่าประมาณสำหรับκคุณจะได้ค่าประมาณที่เหมาะสมสำหรับV a r ( s 2 )แม้ว่าฉันจะไม่เห็นการรับประกันว่ามันไม่เอนเอียง ดูว่ามันตรงกับความแปรปรวนของชุดย่อยของข้อมูล 500 จุดของคุณอย่างสมเหตุสมผลหรือไม่และไม่ต้องกังวลอีกต่อไป :)$s$$\sigma$$\gamma_2$$\kappa$$\mathrm{Var}(s^2)$

การเรียนรู้ความแปรปรวนเป็นเรื่องยาก

ต้องใช้ตัวอย่างจำนวนมาก (น่าแปลกใจ) ในการประมาณค่าความแปรปรวนได้ดีในหลายกรณี ด้านล่างนี้ฉันจะแสดงการพัฒนาสำหรับกรณี "มาตรฐาน" ของตัวอย่าง iid ปกติ

สมมติว่า , i = 1 , … , nเป็นตัวแปรอิสระN ( μ , σ 2 ) เราแสวงหาช่วงความเชื่อมั่น100 ( 1 - α ) %สำหรับความแปรปรวนเช่นความกว้างของช่วงเวลาคือρ s 2คือความกว้างคือ100 ρ %ของการประมาณจุด ตัวอย่างเช่นถ้าρ = 1 / 2แล้วความกว้างของ CI เป็นครึ่งหนึ่งของมูลค่าของประมาณการจุดเช่นถ้า$Y_i$$i=1,\ldots,n$$\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$$100(1-\alpha)\%$$\rho s^2$$100\rho \%$$\rho = 1/2$ดังนั้น CI จะเป็นเช่นนั้น ( 8 $s^2 = 10$มีความกว้าง 5. สังเกตความไม่สมดุลรอบจุดประมาณเช่นกัน ( s 2เป็นตัวประมาณค่าที่เป็นกลางสำหรับความแปรปรวน)$(8,\,13)$$s^2$

"ช่วงเวลาความเชื่อมั่น" "(แทน" a ") สำหรับคือ ( n - 1 ) s $s^2$ ที่ χ

$$\frac{(n-1) s^2}{\chi_{(n-1)}^{2\;(1-\alpha/2)}} \leq \sigma^2 \leq \frac{(n-1) s^2}{\chi_{(n-1)}^{2\;(\alpha/2)}} \>,$$ คือβควอไทล์ของการแจกแจงไคสแควร์ที่มีความอิสระn-1องศา (สิ่งนี้เกิดขึ้นจากความจริงที่ว่า(n-1)s2/σ2เป็นปริมาณที่สำคัญในการตั้งค่าแบบเกาส์)$\chi_{(n-1)}^{2\;\beta}$$\beta$$n-1$$(n-1)s^2/\sigma^2$

เราต้องการลดความกว้างเพื่อให้ ดังนั้นเราจึงถูกทิ้งให้แก้ปัญหาสำหรับ nเช่นที่ ( n - 1 ) (

$$L(n) = \frac{(n-1) s^2}{\chi_{(n-1)}^{2\;(\alpha/2)}} - \frac{(n-1) s^2}{\chi_{(n-1)}^{2\;(1-\alpha/2)}} < \rho s^2 \>,$$ $n$ $$(n-1) \left(\frac{1}{\chi_{(n-1)}^{2\;(\alpha/2)}} - \frac{1}{\chi_{(n-1)}^{2\;(1-\alpha/2)}} \right) < \rho .$$

สำหรับกรณีของช่วงความเชื่อมั่น 99% ที่เราได้รับสำหรับρ = 1และn = 5321สำหรับρ = 0.1 กรณีนี้ให้ช่วงเวลาที่ ( ยัง! ) 10% มีขนาดใหญ่เท่ากับการประมาณค่าจุดของความแปรปรวน$n = 65$$\rho = 1$$n = 5321$$\rho = 0.1$

หากระดับความเชื่อมั่นที่คุณเลือกเป็นน้อยกว่า 99% แล้วช่วงกว้างเดียวกันจะได้รับสำหรับค่าที่ต่ำกว่าของnแต่nอาจยังใหญ่กว่าที่คุณคาดเดาได้$n$$n$

พล็อตของขนาดตัวอย่างเมื่อเทียบกับความกว้างสัดส่วนρสิ่งที่แสดงให้เห็นว่ารูปลักษณ์ asymptotically เชิงเส้นในระดับเข้าสู่ระบบเข้าสู่ระบบ; กล่าวอีกนัยหนึ่งก็คือความสัมพันธ์ระหว่างอำนาจ - กฎหมาย เราสามารถประเมินพลังของความสัมพันธ์ระหว่างกฎเกณฑ์กำลัง (crudely) เช่นนี้$n$$\rho$

$$\hat{\alpha} \approx \frac{\log 0.1 - \log 1}{\log 5321 - \log 65} = \frac{-\log 10}{\log \frac{5231}{65}} \approx -0.525 ,$$

ซึ่งน่าเสียดายที่ช้าช้า!

---

นี่เป็นกรณี "บัญญัติ" เพื่อให้คุณรู้สึกถึงวิธีการคำนวณ จากข้อมูลของคุณข้อมูลของคุณจะดูไม่ปกติ โดยเฉพาะอย่างยิ่งมีสิ่งที่ดูเหมือนจะเป็นความเบ้ที่เห็นได้ชัดคือ

แต่นี่ควรจะให้แนวคิดเกี่ยวกับสิ่งที่คุณคาดหวัง โปรดทราบว่าในการตอบคำถามที่สองของคุณด้านบนมีความจำเป็นต้องกำหนดระดับความมั่นใจก่อนซึ่งฉันได้ตั้งค่าเป็น 99% ในการพัฒนาข้างต้นเพื่อการสาธิต

ฉันจะมุ่งเน้นไปที่ SD มากกว่าความแปรปรวนเนื่องจากอยู่ในระดับที่ตีความได้ง่ายกว่า

บางครั้งผู้คนมักมองช่วงความเชื่อมั่นของ SDs หรือความแปรปรวน แต่โดยทั่วไปจะเน้นที่วิธีการ

ผลลัพธ์ที่คุณให้สำหรับการแจกแจงของสามารถนำมาใช้เพื่อให้ได้ช่วงความมั่นใจสำหรับσ 2 (และดังนั้นก็เช่นกันσ ); ตำราคณิตศาสตร์ / สถิติเบื้องต้นส่วนใหญ่จะให้รายละเอียดในส่วนเดียวกันซึ่งกล่าวถึงการแจกแจงσ 2 ฉันจะเอา 2.5% จากหางแต่ละอัน$s^2/\sigma^2$$\sigma^2$$\sigma$$\sigma^2$

คำตอบต่อไปนี้ได้รับจาก Greenwood และ Sandomire ในกระดาษ 1950 JASA

$X_1,\dots,X_n$$\mathrm{N}(\mu,\sigma^2)$$\sigma$

$$S=\sqrt{\sum_{i=1}^n\frac{(X_i-\bar{X})^2}{n-1}},$$ and you want to control the probability that the relative deviation between $S$ and $\sigma$ is within a fraction $0<u<1$. That is, $$\Pr\{S<(1-u)\cdot\sigma\}=a \quad\text{and}\quad \Pr\{S>(1+u)\cdot\sigma\}=b,$$ in which the significance level $\gamma=1-a-b$.

It follows that

$$\Pr\!\left\{ \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} < (n-1)(1-u)^2\right\} = a$$ and $$\Pr\!\left\{ \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} > (n-1)(1+u)^2\right\} = b.$$ Since the pivotal quantity $(n-1)S^2/\sigma^2$ has $\chi^2_{n-1}$ distribution, adding the two probabilities, we find

$$\gamma = F_{\chi^2_{(n-1)}}((n-1)(1+u)^2) - F_{\chi^2_{(n-1)}}((n-1)(1-u)^2),$$

and the necessary sample size is found solving the former equation in $n$ for given $\gamma$ and $u$.

R code.

gamma <- 0.95
u <- 0.1
g <- function(n) pchisq((n-1)*(1+u)^2, df = n-1) - pchisq((n-1)*(1-u)^2, df = n-1) - gamma
cat("Sample size n = ", ceiling(uniroot(g, interval = c(2, 10^6))$root), "\n")

Output for $u=10\%$ and $\gamma=95\%$.

Sample size n = 193