ฟังก์ชันการแจกแจงทวินามเหนือด้านบน / ด้านล่างของฟังก์ชันการแจกแจงปัวซองคืออะไร

ให้แสดงถึงฟังก์ชันการแจกแจงทวินาม (DF) พร้อมพารามิเตอร์และประเมินที่ : และปล่อยให้แสดง Poisson DF พร้อมพารามิเตอร์ประเมินที่ : $B(n,p,r)$ $n \in \mathbb N$ $p \in (0,1)$ $r \in \{0,1,\ldots,n\}$

B (n, p, r) = \sum_{i = 0}^{r} (\binom{n}{i}) p^{i} (1 - p)^{n - i},

$\begin{equation} B(n,p,r) = \sum_{i=0}^r \binom{n}{i} p^i (1-p)^{n-i}, \end{equation}$

F (ν, r)

$F(\nu,r)$

a \in R^{+}

$a \in \mathbb R^+$

r \in {0, 1, 2, \dots}

$r \in \{0,1,2,\ldots\}$

F (a, r) = e^{- a} \sum_{i = 0}^{r} \frac{a^{i}}{i!} .

$\begin{equation} F(a,r) = e^{-a} \sum_{i=0}^r \frac{a^i}{i!}. \end{equation}$

พิจารณา $p \rightarrow 0$ และให้ $n$ กำหนดเป็น $\lceil a/p-d \rceil$ ที่ $d$ เป็นค่าคงที่ของคำสั่งของ1 $1$ ตั้งแต่ $np \rightarrow a$ , ฟังก์ชัน $B(n,p,r)$ มาบรรจบกับ $F(a,r)$ สำหรับทั้งหมด $r$ เท่าที่ทราบกันดี

ด้วยคำจำกัดความข้างต้นสำหรับ $n$ ฉันสนใจในการกำหนดค่าของ $a$ ที่

B (n, p, r) > F (a, r) \forall p \in (0, 1),

$\begin{equation} B(n,p,r) > F(a,r) \quad \forall p \in (0,1), \end{equation}$ และทำนองเดียวกันกับที่

B (n, p, r) < F (a, r) \forall p \in (0, 1) .

$\begin{equation} B(n,p,r) < F(a,r) \quad \forall p \in (0,1). \end{equation}$ ฉันสามารถพิสูจน์ได้ว่าความไม่เท่าเทียมกันครั้งแรกมี

a

$a$ น้อยกว่า

r

$r$ ; มากขึ้นโดยเฉพาะสำหรับต่ำกว่าบางอย่างที่ถูกผูกไว้

กับ

<R ในทำนองเดียวกันความไม่เท่าเทียมกันที่สองถือสำหรับพอมีขนาดใหญ่กว่า

คือสำหรับ

a

$a$

g (r)

$g(r)$

g (r) < r

$g(r)<r$

a

$a$

r

$r$

a

$a$ มากกว่าผูกพันบาง

h (r)

$h(r)$ กับ

h (r) > r

$h(r)>r$ R (นิพจน์ของขอบเขต

g (r)

$g(r)$ และ

h (r)

$h(r)$ ที่ไม่เกี่ยวข้องที่นี่. ฉันจะให้รายละเอียดไปยังทุกคนที่สนใจ.) อย่างไรก็ตามผลตัวเลขแสดงให้เห็นว่าความไม่เท่าเทียมกันผู้ถือสำหรับขอบเขตที่เข้มงวดน้อยกว่านั้นสำหรับใกล้ชิดกับ

เกินกว่าที่ฉันจะพิสูจน์ได้

a

$a$

r

$r$

ดังนั้นฉันอยากจะรู้ว่ามีทฤษฎีบทหรือผลลัพธ์บางอย่างที่กำหนดไว้ภายใต้เงื่อนไขที่ความไม่เท่าเทียมกันแต่ละอย่างเก็บไว้ (สำหรับทั้งหมด $p$ ); นั่นคือเมื่อรับประกันว่าจะเป็นแบบทวินาม DF เหนือ / ใต้ Poisson DF ที่ จำกัด หากทฤษฎีบทดังกล่าวไม่มีอยู่ความคิดหรือตัวชี้ไปในทิศทางที่ถูกต้องจะได้รับการชื่นชม

โปรดทราบว่าคำถามที่คล้ายกันซึ่งใช้ถ้อยคำในแง่ของฟังก์ชั่นเบต้าและแกมม่าที่ไม่สมบูรณ์ถูกโพสต์ใน math.stackexchange.com แต่ไม่มีคำตอบ

— หลุยส์เมนโด
แหล่งที่มา

นี่เป็นคำถามที่น่าสนใจแม้ว่าฉันคิดว่ามันจะช่วยชี้แจงบางสิ่งบางอย่างโดยเฉพาะอย่างยิ่งซึ่งเป็น "ส่วนที่เคลื่อนไหว" และที่ไม่ได้ ดูเหมือนว่าคุณต้องการที่ถูกผูกไว้ที่ถือสม่ำเสมอในสำหรับแต่ละคง Rแต่อะไรคือบทบาทของที่นี่? มันไม่ควรสำคัญมาก แต่มันจำเป็นต้องมีการแนะนำหรือไม่? วิธีการหนึ่งอาจดูสิ่งต่าง ๆ ในแง่ของเวลารอคอยของกระบวนการปัวซงและจับคู่กับเวลารอเรขาคณิตที่เกี่ยวข้อง (ผ่านเพดานของแต่ละ) สำหรับตัวแปรสุ่มทวินามของคุณ แต่ที่อาจจะไม่ให้ผลผลิตสม่ำเสมอผูกพันคุณกำลังมองหา

p

$p$

r

$r$

d

$d$

— พระคาร์ดินัล

@ cardinal ขอบคุณที่สละเวลา ใช่ฉันต้องการให้ขอบเขตเป็นเครื่องแบบในหน้า p พารามิเตอร์อื่น ๆ ทั้งหมดได้รับการแก้ไข (แต่สามารถเลือกได้)

เป็นเพียงพารามิเตอร์ฟรีหนึ่งตัว ตัวอย่างเช่นหนึ่งในผล hypothetic อาจจะเป็นดังนี้ "สำหรับการใด ๆ ตามธรรมชาติ

มากกว่า

และใด ๆ

ที่ไม่เท่าเทียมกันครั้งแรกถือสำหรับทุก

d

$d$

r

$r$

2

$2$

d \in (- 1, 1)

$d \in (-1,1)$

และสำหรับ

ทั้งหมด

; และครั้งที่สองถือ

a < r - \sqrt{r}

$a < r - \sqrt{r}$

p \in (0, 1)

$p \in (0,1)$

และทุก

)

a > r + \sqrt{r}

$a > r + \sqrt{r}$

p \in (0, 1)

$p \in (0,1)$

— Luis Mendo

มีทฤษฎีสไตน์เฉินซึ่งประเมินข้อผิดพลาดเมื่อคุณใช้ poisson rv เพื่อประเมินผลรวมของตัวแปร bernoulli ที่ไม่จำเป็น ไม่แน่ใจเกี่ยวกับคำถามของคุณ

— Lost1

สำหรับ finite

การกระจายแบบทวินามนั้นปิดการสนับสนุนจากด้านบน ขนาดของมันอาจจะเลือกได้ (โดยเลือก

) แต่มันจะปิด ในทางกลับกันการกระจาย Poisson มีการสนับสนุนมากมาย เนื่องจากเรากำลังมองหาที่ CDF ของสำหรับการ จำกัด ใด ๆ

เรามักจะมี

สำหรับค่าที่ได้รับอนุญาตใด ๆ ของ

ดังนั้นเงื่อนไขสำหรับความไม่เท่าเทียมครั้งที่ 2 ที่ OP จะดำเนินการจะรวมอย่างน้อยที่สุด "สำหรับ

n

$n$

n

$n$

n

$n$

B (n, p, r = n) = 1 > F (a, n)

$B(n,p,r=n) = 1 > F(a,n)$

p, a

$p,a$

... "

r < n

$r<n$

— Alecos Papadopoulos

ดูคำตอบของ Did ได้ที่นี่: math.stackexchange.com/questions/37018/…

— Alex R.

ด้วยความเคารพต่อไปนี้:

ค่าเฉลี่ยของ binomial dist คือ $np$
ความแปรปรวนคือ $np(1-p)$
ค่าเฉลี่ยของ Poisson dist คือซึ่งเราสามารถจินตนาการได้ว่า $\lambda$ $n\times p$
ความแปรปรวนของปัวซองนั้นเหมือนกับค่าเฉลี่ย

ตอนนี้ถ้า Poisson เป็นขีด จำกัด ของ Binomial ที่มีพารามิเตอร์และเช่นนั้นจะเพิ่มค่าอนันต์และลดลงเป็นศูนย์ในขณะที่ผลิตภัณฑ์ของพวกมันยังคงที่อยู่ดังนั้นสมมติว่าและไม่ได้แปรสภาพเป็นขีด จำกัด นั้น ๆสูงกว่าเสมอดังนั้นความแปรปรวนของทวินามน้อยกว่าที่ของ Poisson นั่นแปลว่า Binomial อยู่ใต้ก้อยและสูงกว่าที่อื่น $n$ $p$ $n$ $p$ $n$ $p$ $np$ $np(1-p)$

— Germaniawerks
แหล่งที่มา

ขอขอบคุณสำหรับการสนับสนุนของคุณ. ดูเหมือนว่าฉันจะไม่สามารถตอบคำถามได้ แต่เนื่องจาก (1) OP มีความสนใจใน CDF ไม่ใช่ PDF (2) เขาขอคำตอบเชิงปริมาณ

— whuber