จะเข้าใจสูตรสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ได้อย่างไร

ทุกคนสามารถช่วยฉันเข้าใจสูตรสหสัมพันธ์ของเพียร์สันได้ไหม ตัวอย่าง$r$ = ค่าเฉลี่ยของผลิตภัณฑ์ของคะแนนมาตรฐานของตัวแปร$X$และY$Y$

ฉันเข้าใจว่าทำไมพวกเขาต้องสร้างมาตรฐาน$X$และ$Y$แต่จะเข้าใจผลิตภัณฑ์ของทั้งสองคะแนนได้อย่างไร

สูตรนี้เรียกอีกอย่างว่า "สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของโมเมนต์ผลิตภัณฑ์" แต่เหตุผลในการดำเนินการของผลิตภัณฑ์คืออะไร ฉันไม่แน่ใจว่าฉันได้ทำคำถามของฉันชัดเจนหรือไม่ แต่ฉันต้องการที่จะจำสูตรอย่างสังหรณ์ใจ

ในความคิดเห็นแนะนำวิธี 15 วิธีในการทำความเข้าใจค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์:

• "สิบสามวิธีในการดูค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์" (Rodgers & Nicewander 1988)
• ผ่านความแปรปรวนร่วม
• ผ่านแวดวง

13 วิธีที่กล่าวถึงในบทความของ Rodgers and Nicewander (The American Statisticsian, February 1988)

1. ฟังก์ชั่นของคะแนนดิบและหมายถึง

   $$r =\frac{\sum\left(X_i - \bar{X}\right)\left(Y_i - \bar{Y}\right)}{\sqrt{\sum\left(X_i-\bar{X}\right)^2\left(Y_i-\bar{Y}\right)^2}}.$$

2. ความแปรปรวนร่วมที่ได้มาตรฐาน

   $$r = s_{XY}/(s_Xs_Y)$$

   โดยที่คือความแปรปรวนร่วมตัวอย่างและs Xและs Yเป็นค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง$s_{XY}$$s_X$$s_Y$

3. ความชันมาตรฐานของเส้นถดถอย

   $$r = b_{Y\cdot X}\frac{s_X}{s_Y} = b_{X\cdot Y}\frac{s_Y}{s_X},$$

   ที่และb X ⋅ Yเป็นความชันของเส้นถดถอย$b_{Y\cdot X}$$b_{X \cdot Y}$

4. ค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของสองสมการการถดถอย

   $$r = \pm \sqrt{b_{Y\cdot X}b_{X\cdot Y}}.$$

5. สแควร์รูทของอัตราส่วนของสองผลต่าง (สัดส่วนความแปรปรวนที่พิจารณา)

   $$r = \sqrt{\frac{\sum\left(Y_i - \hat{Y_i}\right)^2}{\sum\left(Y_i-\bar{Y}\right)^2}} = \sqrt{\frac{SS_{REG}}{SS_{TOT}}} = \frac{s_\hat{Y}}{s_Y}.$$

6. Cross-Product เฉลี่ยของตัวแปรมาตรฐาน

   $$r = \sum z_X z_Y / N.$$

7. ฟังก์ชั่นของมุมระหว่างเส้นถดถอยสองมาตรฐาน เส้นถดถอยสองเส้น (ของกับXและXเทียบกับY ) มีความสมมาตรเกี่ยวกับเส้นทแยงมุม ให้มุมระหว่างเส้นสองเส้นจะβ แล้วก็$Y$$X$$X$$Y$$\beta$

   $$r = \sec(\beta)\pm \tan(\beta).$$

8. ฟังก์ชั่นของมุมระหว่างเวกเตอร์สองตัวแปร

   $$r = \cos(\alpha).$$

9. ความแปรปรวนที่ได้รับการลดหย่อนของความแตกต่างระหว่างคะแนนมาตรฐาน การให้เป็นความแตกต่างระหว่างตัวแปรXและYมาตรฐานสำหรับการสังเกตแต่ละครั้ง$z_Y - z_X$$X$$Y$

   $$r = 1 - s^2_{(z_Y - z_X)} / 2 = s^2_{(z_Y+z_X)}/2 - 1.$$

10. ประมาณจากกฎ "บอลลูน"

    $$r \approx \sqrt{1 - (h/H)^2}$$

    โดยที่คือช่วงแนวตั้งของScatterplot X - Y ทั้งหมดและhคือช่วงผ่าน "จุดศูนย์กลางของการกระจายบนแกนX " (นั่นคือผ่านจุดที่มีค่าเฉลี่ย)$H$$X-Y$$h$$X$

11. ในส่วนที่เกี่ยวข้องกับรูปไข่ของ Bivariate แห่ง Isoconcentration

    $$r = \frac{D^2 - d^2}{D^2 + d^2}$$

    โดยที่และdเป็นความยาวแกนหลักและรองตามลำดับ rยังเท่ากับความลาดเอียงของเส้นสัมผัสของ isocontour (ในพิกัดมาตรฐาน) ณ จุดที่เส้นชั้นความยาวข้ามแกนแนวตั้ง$D$$d$$r$

12. ฟังก์ชั่นของสถิติทดสอบจากการทดลองที่ออกแบบมา

    $$r = \frac{t}{\sqrt{t^2 + n-2}}$$

    ที่เป็นสถิติทดสอบในสองอิสระตัวอย่างทีทดสอบสำหรับการทดสอบการออกแบบที่มีสองเงื่อนไขการรักษา (กำหนดเป็นX = 0 , 1 ) และnเป็นจำนวนรวมของการสังเกตในสองกลุ่มการรักษา$t$$t$$X=0, 1$$n$

13. อัตราส่วนของสองวิธี สมมติว่าค่าความแปรปรวนแบบ bivariate และทำให้ตัวแปรเป็นมาตรฐาน เลือกขนาดใหญ่บางพลคุ้มค่าของX แล้วก็$X_c$$X$

    $$r = \frac{\mathbb{E}(Y\,|\,X\gt X_c)}{\mathbb{E}(X\,|\,X\gt X_c)}.$$

(ส่วนใหญ่จะเป็นคำต่อคำโดยมีการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในสัญกรณ์)

วิธีการอื่น ๆ (อาจเป็นต้นฉบับของเว็บไซต์นี้) คือ

• ผ่านแวดวง คือความชันของเส้นถดถอยในพิกัดได้มาตรฐาน บรรทัดนี้สามารถกำหนดลักษณะได้หลายวิธีรวมถึงรูปทรงเรขาคณิตเช่นการลดพื้นที่ทั้งหมดของวงกลมที่ลากระหว่างบรรทัดและจุดข้อมูลในรูปแบบกระจาย$r$

• โดยการระบายสีรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ความแปรปรวนร่วมสามารถประเมินได้โดยการระบายสีรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าในสแกตเตอร์ล็อต (นั่นคือโดยการสรุปพื้นที่ที่เซ็นชื่อของรูปสี่เหลี่ยม) เมื่อ scatterplot เป็นมาตรฐานสุทธิจำนวนสี - รวมข้อผิดพลาดลงนาม - เป็นR$r$