ค่าที่คาดหวังของสถิติการสั่งซื้อขั้นต่ำจากตัวอย่างปกติ

อัพเดท 25 มกราคม 2014: ความผิดพลาดได้รับการแก้ไขแล้ว โปรดเพิกเฉยค่าที่คำนวณได้ของค่าที่คาดหวังในภาพที่อัปโหลด - มันผิด - ฉันไม่ลบภาพเพราะมันได้สร้างคำตอบให้กับคำถามนี้

อัพเดท 10 มกราคม 2014: พบข้อผิดพลาด - พิมพ์ผิดทางคณิตศาสตร์ในหนึ่งในแหล่งที่ใช้ กำลังเตรียมการแก้ไข ...

ความหนาแน่นของสถิติการสั่งซื้อขั้นต่ำจากการรวบรวมตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง iid ด้วย cdfและ pdfคือ $n$ $F_X(x)$ $f_X(x)$

f_{X_{(1)}} (x_{(1)}) = n f_{X} (x_{(1)}) {[1 - F_{X} (x_{(1)})]}^{n - 1} [1]

$f_{X_{(1)}}(x_{(1)}) = nf_X(x_{(1)})\left[1-F_X(x_{(1)})\right]^{n-1} \qquad [1]$

หากตัวแปรสุ่มเหล่านี้เป็นมาตรฐานปกติแล้ว

f_{X_{(1)}} (x_{(1)}) = n ϕ (x_{(1)}) {[1 - Φ (x_{(1)})]}^{n - 1} = n ϕ (x_{(1)}) {[Φ (- x_{(1)})]}^{n - 1} [2]

$f_{X_{(1)}}(x_{(1)}) = n\phi(x_{(1)})\left[1-\Phi(x_{(1)})\right]^{n-1} = n\phi(x_{(1)})\left[\Phi(-x_{(1)})\right]^{n-1}\qquad [2]$ ดังนั้นค่าที่คาดหวังคือ

E (X_{(1)}) = n \int_{- \infty}^{\infty} x_{(1)} ϕ (x_{(1)}) {[Φ (- x_{(1)})]}^{n - 1} d x_{(1)} [3]

$E\left(X_{(1)}\right) = n\int_{-\infty}^{\infty}x_{(1)}\phi(x_{(1)})\left[\Phi(-x_{(1)})\right]^{n-1}dx_{(1)}\qquad [3]$

ที่เราได้ใช้คุณสมบัติสมมาตรของมาตรฐานปกติ ในโอเวน 1980 , p.402, eq. [ n, 011 ] เราพบว่า

\int_{- \infty}^{\infty} Z φ (Z) {[Φ (a Z)]}^{ม.} d Z = \frac{a ม.}{(\sqrt{a^{2} + 1}) (\sqrt{2 π})} \int_{- \infty}^{\infty} φ (Z) {[Φ (\frac{a Z}{\sqrt{a^{2} + 1}})]}^{ม. - 1} d Z [4]

$\int_{-\infty}^{\infty}z\phi(z)\left[\Phi(az)\right]^m dz= \frac {am}{(\sqrt {a^2+1})(\sqrt {2\pi})}\int_{-\infty}^{\infty}\phi(z)\left[\Phi\left(\frac {az}{\sqrt {a^2+1}}\right)\right]^{m-1}dz\qquad [4]$

การจับคู่พารามิเตอร์ระหว่าง eqs $[3]$ และ $[4]$ ( $a=-1$ , $m=n-1$ ) ที่เราได้รับ

E (X_{(1)}) = - \frac{n (n - 1)}{2 \sqrt{π}} \int_{- \infty}^{\infty} φ (x_{(1)}) {[Φ (\frac{- x_{(1)}}{\sqrt{2}})]}^{n - 2} d x_{(1)} [5]

$E\left(X_{(1)}\right) = -\frac {n(n-1)}{2\sqrt{\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\phi(x_{(1)})\left[\Phi\left(\frac {-x_{(1)}}{\sqrt 2}\right)\right]^{n-2}dx_{(1)}\qquad [5]$

อีกครั้งในโอเว่น 1980 หน้า 409, eq [ n0,010.2 ] เราพบว่า

\int_{- \infty}^{\infty} [\prod_{i = 1}^{m} Φ (\frac{h_{i} - d_{i} z}{\sqrt{1 - d_{i}^{2}}})] ϕ (z) d z = Z_{m} (h_{1}, . . ., h_{m}; {ρ_{i j}}) [6]

$\int_{-\infty}^{\infty}\left[\prod_{i=1}^{m}\Phi\left(\frac{h_i-d_iz}{\sqrt {1-d_i^2}}\right)\right] \phi(z)dz= \mathcal Z_m(h_1,...,h_m;\{\rho_{ij}\})\qquad [6]$

โดยที่เป็นมาตรฐานหลายตัวแปรปกติเป็นคู่ที่ชาญฉลาดและค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์1 $\mathcal Z_m()$ $\rho_{ij}=d_id_j,\; i\neq j$ $-1\le d_i\le 1$

การจับคู่และเรามี, , , และ $[5]$ $[6]$ $m=n-2$ $h_i=0,\;\forall i$

\frac{d_{i}}{\sqrt{1 - d_{i}^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow d_{i} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \forall i \Rightarrow ρ_{i j} = ρ = 1 / 3

$\frac{d_i}{\sqrt {1-d_i^2}} = \frac 1{\sqrt 2} \Rightarrow d_i = \pm \frac 1{\sqrt 3} \forall i \Rightarrow \rho_{ij} = \rho = 1/3$

เมื่อใช้ผลลัพธ์เหล่านี้ eqจะกลายเป็น $[5]$

E (X_{(1)}) = - \frac{n (n - 1)}{2 \sqrt{π}} Z_{n - 2} (0, . . ., 0; ρ = 1 / 3) [7]

$E\left(X_{(1)}\right) = -\frac {n(n-1)}{2\sqrt{\pi}}\mathcal Z_{n-2}(0,...,0;\rho=1/3)\qquad [7]$

ความน่าจะเป็นแบบปกติหลายตัวแปรมาตรฐานนี้ของตัวแปรที่มีความสัมพันธ์เชิง Equi-correlated ซึ่งประเมินทั้งหมดที่ศูนย์ได้เห็นการสอบสวนเพียงพอและวิธีการต่าง ๆ ในการประมาณและคำนวณได้มา ความคิดเห็นที่กว้างขวาง (ที่เกี่ยวข้องกับการคำนวณหลายตัวแปรปริพันธ์น่าจะเป็นปกติทั่วไป) เป็นแคนด์ (1963) Gupta ให้ค่าที่ชัดเจนสำหรับค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์และมากถึง 12 ตัวแปร (ซึ่งครอบคลุมการรวบรวม 14 ตัวแปร) ผลลัพธ์คือ(คอลัมน์สุดท้ายผิด) :

ป้อนคำอธิบายรูปภาพที่นี่

ตอนนี้ถ้าเราแสดงกราฟว่าค่าของการเปลี่ยนแปลงกับเราจะได้รับ $\mathcal Z_{n-2}(0,...,0;\rho=1/3)$ $n$

ป้อนคำอธิบายรูปภาพที่นี่

ดังนั้นฉันจึงมาถึงคำถาม / คำขอสามข้อของฉัน:
1) ใครสามารถตรวจสอบวิเคราะห์และ / หรือตรวจสอบด้วยการจำลองว่าผลลัพธ์สำหรับค่าที่คาดหวังนั้นถูกต้อง (เช่นตรวจสอบความถูกต้องของ eq ) $[7]$

2) สมมติว่าวิธีการที่ถูกต้องใครบางคนสามารถให้วิธีแก้ปัญหาสำหรับบรรทัดฐานที่มีค่าเฉลี่ยไม่เป็นศูนย์และความแปรปรวนที่ไม่ใช่ศูนย์? ด้วยการเปลี่ยนแปลงทั้งหมดที่ฉันรู้สึกเวียนหัวจริงๆ

3) ค่าของความน่าจะเป็นอินทิกรัลน่าจะเปลี่ยนแปลงได้อย่างราบรื่น แล้วประมาณด้วยฟังก์ชันของ ? $n$

— Alecos Papadopoulos
แหล่งที่มา

ผลลัพธ์ของคุณไม่ถูกต้อง นี่เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นโดยไม่มีการคำนวณใด ๆ เพราะในตารางของคุณเพิ่มขึ้นเมื่อขนาดตัวอย่าง ; โดยชัดแจ้งค่าคาดหวังขั้นต่ำของตัวอย่างจะต้องเล็กลง (เช่นกลายเป็นลบมากขึ้น) เมื่อขนาดตัวอย่างใหญ่ขึ้น $E[X_{(1)}]$ $n$ $n$

ปัญหานี้เกิดจากแนวคิดรวบยอดค่อนข้างง่าย

โดยย่อ: ถ้า ~ด้วย pdf : $X$ $N(0,1)$ $f(x)$

... ดังนั้นไฟล์ pdf ของสถิติลำดับที่ 1 (ในตัวอย่างขนาด ) คือ: $n$

... รับที่นี่โดยใช้OrderStatฟังก์ชั่นmathStaticaด้วยโดเมนการสนับสนุน:

จากนั้นสำหรับสามารถรับได้อย่างง่ายดายเหมือนกับ: $E[X_{(1)}]$ $n = 1,2,3$

กรณีที่แน่นอนคือประมาณซึ่งเห็นได้ชัดว่าแตกต่างจากการทำงานของคุณที่ -1.06 (บรรทัดที่ 1 ของตารางของคุณ) ดังนั้นดูเหมือนว่ามีบางอย่างผิดปกติกับการทำงานของคุณ (หรือบางทีอาจเป็นความเข้าใจของฉัน . $n = 3$ $-0.846284$

สำหรับการได้รับการแก้ปัญหาแบบปิดมีความยุ่งยากมากขึ้น แต่ถึงแม้ว่าการรวมสัญลักษณ์จะพิสูจน์ได้ยากเราก็สามารถใช้การรวมตัวเลข (เพื่อความแม่นยำโดยพลการหากต้องการ) นี่เป็นเรื่องง่ายมาก ... ที่นี่เช่นเป็นสำหรับขนาดตัวอย่างถึง 14 โดยใช้Mathematica : $n \ge 4$ $E[X_{(1)}]$ $n = 1$

 sol = Table[NIntegrate[x g, {x, -Infinity, Infinity}], {n, 1, 14}]

{0. , -0.56419, -0.846284, -1.02938, -1.16296, -1.26721, -1.35218, -1.4236, -1.48501, -1.53875, -1.58644, -1.62999, -1.66799, -1.67099}

ทุกอย่างเสร็จเรียบร้อย. ค่าเหล่านี้เห็นได้ชัดว่าแตกต่างจากค่าในตารางของคุณ (คอลัมน์ด้านขวา)

ในการพิจารณากรณีทั่วไปของผู้ปกครองให้ทำตามขั้นตอนข้างต้นโดยเริ่มจาก pdf ทั่วไปทั่วไป $N(\mu, \sigma^2)$

— wolfies
แหล่งที่มา

ขอบคุณสำหรับคำตอบ. จริง ๆ แล้วฉันเห็นว่ามีบางอย่างผิดปกติกับผลลัพธ์ที่เป็นตัวเลขหลังจากนั้นทั้งหมดค่าที่คาดหวังควรเพิ่มขึ้นในขนาดที่แน่นอนแทนที่จะลดลงเมื่อเพิ่มขึ้น ฉันออกจากคำตอบตามเดิมเพื่อดูว่าฉันจะได้รับข้อมูลเชิงลึกจากคำตอบใด ๆ หรือไม่ ฉันยังคงค้นหาในระดับทฤษฎีที่ว่าเป็นความผิดพลาดของผู้ต้องสงสัยที่ถูกใช้สมการแรกที่ผมจากโอเว่น (เพราะสองได้รับการยืนยันจากแหล่งอื่น ๆ ) ... โดยวิธีการที่คุณสามารถตรวจสอบว่า EQ นี้ใน โพสต์ของฉัน (เป็นการแปลงแบบสแตนด์อโลน) ถูกต้องหรือไม่ ฉันจะขอบคุณ

n

$n$

4

$4$

— Alecos Papadopoulos