สัญชาตญาณเบื้องหลังฟังก์ชันความหนาแน่นของการแจกแจงแบบ t

12

ฉันกำลังศึกษาเกี่ยวกับการแจกแจงค่า t ของนักเรียนและฉันเริ่มสงสัยว่าจะได้รับฟังก์ชันความหนาแน่นของการแจกแจงแบบ t (จากวิกิพีเดีย, http://en.wikipedia.org/wiki/Student%27s_t-distribution ) ได้อย่างไร:

f (t) = \frac{Γ (\frac{v + 1}{2})}{\sqrt{v π} Γ (\frac{v}{2})} {(1 + \frac{t^{2}}{v})}^{- \frac{v + 1}{2}}

$f(t) = \frac{\Gamma(\frac{v+1}{2})}{\sqrt{v\pi}\:\Gamma(\frac{v}{2})}\left(1+\frac{t^2}{v} \right)^{-\frac{v+1}{2}}$

โดยที่คือองศาอิสระและคือฟังก์ชันแกมม่า สัญชาตญาณของฟังก์ชั่นนี้คืออะไร? ฉันหมายถึงถ้าฉันดูฟังก์ชันความน่าจะเป็นแบบกระจายมวลแบบทวินามมันก็สมเหตุสมผลสำหรับฉัน แต่ฟังก์ชั่นความหนาแน่นของการแจกแจงแบบ t ทำให้ฉันไม่เข้าใจเลย ... มันไม่ง่ายเลยตั้งแต่แรกพบ หรือสัญชาตญาณเพียงว่ามันมีรูปทรงระฆังและมันตอบสนองความต้องการของเรา? $v$ $\Gamma$

ขอบคุณสำหรับความช่วยเหลือใด ๆ :)

probability normal-distribution t-distribution

— jjepsuomi
แหล่งที่มา

3

การกระจายนี้มีการตีความทางเรขาคณิตที่ง่าย (และสวย) ถึงแม้ว่านักศึกษา (1908) ได้รับรูปแบบของไฟล์ PDF นี้เป็นครั้งแรกผ่านการเดาที่ชาญฉลาด (สนับสนุนโดยการจำลอง Monte-Carlo) แต่ฟิชเชอร์ (c. 1920) ได้รับการโต้แย้งทางเรขาคณิตเป็นครั้งแรก สาระสำคัญก็คืออธิบายการกระจายตัวของอัตราส่วนของความสูงของ (จุดกระจายแบบสม่ำเสมอ) บน - ขอบเขตและรัศมี (ระยะห่างจากแกน): กล่าวอีกนัยหนึ่งแทนเจนต์ของละติจูด บัญชีผู้ใช้หนึ่งของการนี้จะมีให้ ณevolvedmicrobe.com/Literature/GeometricTDistribution.pdf

f

$f$

ν + 1

$\nu+1$

— whuber

9

หากคุณมีตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐานและตัวแปรสุ่มไคสแควร์อิสระพร้อม df ดังนั้น $Z$ $Q$ $\nu$

$T = Z/\sqrt{Q/\nu}$

มีการแจกแจงแบบด้วย df (ฉันไม่แน่ใจว่าแจกจ่ายเป็นอะไร แต่มันไม่ใช่ ) $t$ $\nu$ $Z/Q$ $t$

การสืบทอดที่แท้จริงเป็นผลลัพธ์ที่ได้มาตรฐานอย่างเป็นธรรม Alecos ไม่ได้สองวิธีที่นี่

เท่าที่สัญชาตญาณไปฉันไม่มีสัญชาตญาณเฉพาะสำหรับรูปแบบการทำงานที่เฉพาะเจาะจง แต่บางความรู้สึกทั่วไปของรูปร่างสามารถรับได้โดยพิจารณาว่าการกระจาย (อิสระโดย ) ไคอิสระในส่วนที่ถูกต้อง ลาด: $\sqrt \nu$

ป้อนคำอธิบายรูปภาพที่นี่

โหมดอยู่ต่ำกว่า 1 เล็กน้อย (แต่ใกล้ถึง 1 เมื่อ df เพิ่มขึ้น) โดยมีโอกาสที่ค่าจะสูงกว่าและต่ำกว่า 1 การแปรผันในหมายความว่าความแปรปรวนของจะมากกว่า ของZค่าของสูงกว่า 1 จะนำไปสู่ค่า -value ที่ใกล้กับ 0 มากกว่าในขณะที่ค่าที่ต่ำกว่า 1 จะส่งผลให้ค่าค่าที่มากกว่า 0 คือ $\sqrt{Q/\nu}$ $t$ $Z$ $\sqrt{Q/\nu}$ $t$ $Z$ $t$ $Z$

ทั้งหมดนี้หมายความว่าค่าจะเป็น (i) ตัวแปรมากขึ้น (ii) ยอดแหลมมากขึ้นและ (iii) หนักกว่า tailed กว่าปกติ เมื่อ df เพิ่มขึ้นกระจุกตัวอยู่ที่ประมาณ 1 และจากนั้นจะเข้าใกล้ปกติมากขึ้น $t$ $\sqrt{Q/\nu}$ $t$

ป้อนคำอธิบายรูปภาพที่นี่

('ยอดแหลมที่ค่อนข้างมากกว่า' ส่งผลให้ยอดเขาที่แหลมกว่าเล็กน้อยเทียบกับการแพร่กระจาย แต่ความแปรปรวนที่ใหญ่กว่าจะดึงจุดศูนย์กลางลงซึ่งหมายความว่าจุดสูงสุดนั้นต่ำลงเล็กน้อยเมื่อลดระดับ df)

นั่นคือสัญชาตญาณว่าทำไมดูเป็นอย่างนั้น $t$

— Glen_b -Reinstate Monica
แหล่งที่มา

1

คำอธิบายของฉันค่อนข้างเลอะเทอะ แน่นอนว่ามันคือสแควร์รูทของตัวแปรสุ่มแบบกระจายของไคสแควร์หารด้วยองศาอิสระ

— นักวิเคราะห์

@Analyst ฉันทำแบบเดียวกันมากกว่าหนึ่งครั้ง

— Glen_b -Reinstate Monica

9

คำตอบของ Glen เป็นคำตอบที่ถูกต้อง แต่จากมุมมองแบบเบย์มันก็มีประโยชน์เช่นกันถ้าคิดว่าการแจกแจงแบบ t เป็นการผสมผสานแบบต่อเนื่องของการแจกแจงแบบปกติที่มีความแปรปรวนต่างกัน คุณสามารถหาที่มาที่นี่:

นักเรียนเป็นส่วนผสมของ Gaussian

ฉันรู้สึกว่าวิธีนี้ช่วยปรีชาของคุณเพราะมันชัดเจนว่าการแจกแจงแบบทีเกิดขึ้นเมื่อคุณไม่รู้ความแปรปรวนที่แน่นอนของประชากรของคุณ

— เอริค
แหล่งที่มา

2

ฉันสร้างแอนิเมชันของการแจกแจงทีเป็นส่วนผสมของการแจกแจงแบบปกติที่นี่: sumsar.net/blog/2013/12/t-as-a-mixture-of-normals

— Rasmus Bååth